聚焦高考中概率的“交匯性”

多知識點交匯題常見于歷年高考試卷中，從新教材推廣使用起就不斷出現新知識交匯題，再加上各省單獨命題，這種題型逐步演變，發展趨于成熱，逐漸凸現一些特色，其中以概率為主脈，輔以集合、函數、數列、方程、不等式、三角函數、算法，線性規劃、平面向量等為載體的應用題，對概率進行多角度、全方位的考查，成為高考的一大亮點和熱點.本文就近三年高考題和有關各省市模擬試題解析概率與相關知識的“交匯性”.供讀者參考.

一、概率與集合的交匯

【例1】 (2009，福建)從集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一個.

(Ⅰ)記性質r:集合中所有元素之和為10，求所有取出的非空子集滿足性質r的概率.

(Ⅱ)記所取出的非空子集的元素個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望.

評析:主要考查等可能事件概率，根據集合性質，采用分類討論和整合思想，結合排列、組合知識，求出基本事件的總數和某事件包含的基本事件的個數m、n，再利用等可能事件概率公式，從而求解.

二、概率與向量的交匯

【例2】 (2007，湖北)連擲兩次骰子得到的點數分別為m和n.記向量a=(m，n)與向量b=(1，-1)的夾角為θ，則θ∈(0，π2)的概率是 .

A.512 B.112 C.712 D.56

解法一:由向量夾角的定義及圖形可直觀地得出，當點A(m，n)位于直線y=x上及其下方時，滿足α∈(0，π2]，點A(m，n)的總個數為6×6.又位于直線

y=x上及其下方的點A(m，n)有6+1+2+3+4+5=21(個)，故所求α∈(0，π2]的概率為2136=712.

解法二:由向量的夾角公式，得cosα≥0，從而m-n≥0.

顯然當m-n≤0時，有6種可能，根據對稱性，m-n>0與m-n<0的可能性相同，即各有15種可能.故所求概率為6+1536=712.

評析:主要考察古典概型問題，由于把擲骰子問題與平面向量融為一體，使問題顯得新穎別致.本題解法一利用數形結合方法，解答簡捷清晰;解法二利用對稱法求解，思路別致.本題求解時，要注意不能忽略夾角范圍中的π/2.

三、概率與數列的交匯

【例3】 (2008，山東)在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號1，2，…，18的10名火炬手，若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數列的概率為().

A.115 B.168 C.1306 D.1408

評析:主要考查古典概型問題，關鍵是根據等差數列定義，求出基本事件數.此類問題，常從概率著手，得出數列的通項公式或遞推公式，再通過數列的有關計算解決概率問題.

四、概率與方程、不等式的交匯

【例4】 (2008，浙江)一個袋中裝有若干個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是25;從袋中任意摸出2個球，至少得到1個球的概率是79.

(Ⅰ)若袋中共有10個球，求白球的個數;

(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于710并指出袋中哪種顏色的球的個數最少.

解:(Ⅰ)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設袋中白球的個數為x，則P(A)=1-C²10-xC²10=79，得到x=5.故白球有5個.

(Ⅱ)證明:設袋中有n個球，其中y個黑球，由題意得y=25n，所以2y

記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球”為事件B.

P(B)=25+35×yn-1≤25+35×12=710.

所以白球的個數比黑球多，白球個數多于25n，紅球的個數少于n5，故袋中紅球的個數最少.

評析:本題第一問題是概率和方程構建.直接求白球的個數不易求，據等可能事件公式，由概率問題轉化成方程問題，從而使問題迎刃而解.第二問題是概率和不等式綜合.先通過概率計算得出幾個關系式，再比較大小，轉化成不等式問題求解.

注意:對于“至多”“至少”類的問題，常轉化成求其對立事件的概率問題，即“正難則反”的解題策略.

五、概率與三角函數的交匯

【例5】 (2009，山東)在區間[-1，1]上隨機取一個數x，cosπx2的值介于0到12之間的概率為().

A.13 B.2π C.12 D.23

評析:本題主要考查了三角函數.由自變量x的取值范圍，得到函數值cosπx2的范圍，再由長度型幾何概型求得.幾何概型是教材新增內容，是課改區高考的熱點，必須引起足夠的重視.

六、概率與線性規劃交匯

【例6】 (2007，寧夏)設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0.

若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程式有實根的概率.

解:設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實根”.

當a>0，b>0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b.

試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，構成事件A的區域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，故所求的概率P=3×2-12×2²3×2=23.

評析:本題主要考查幾何概率、一元二次方程的根和線性規劃中不等式組表示區域，關鍵是把事件的空間轉化為與之對應的區域，利用幾何知識，把問題轉化成各種幾何概型的概率問題.

注意:在幾何概型中只涉及一個變量的問題，可以考慮以長度為測度;出現兩個變量的問題，可以考慮以面積為測度;而出現三個變量的問題時，可以考慮以體積為測度.

七、概率與算法交匯

【例7】 甲、乙兩人玩游戲，規則如流程圖所示，求乙勝的概率.

評析:通過設計程序流程圖求概率，考查學生對算法的含義及對程序框圖的理解及古典概率，此類題創新性強，實用價值高.

八、概率與統計相交匯:

【例8】 (2007，遼寧)某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位:小時)進行了統計，統計結果如下表所示:

分組[500，900][900，1100][1100，1300][1300，1500][1500，1700][1700，1900][1900，+∞)

頻數4812120822319316542

頻率

求:(1)將各組的頻率填入表中;

(2)根據上述統計結果，計算燈管使用壽命不足1500小時的頻率;

(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管3支，若將上述頻率作為概率，試求至少有2支燈管的使用壽命不足1500小時的概率?

解:(1)

分組[500，900][900，1100][1100，1300][1300，1500][1500，1700][1700，1900][1900，+∞)

頻數4812120822319316542

頻率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042

(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以燈管使用壽命不足1500小時的頻率為0.6.

(3)由(2)知，1支燈管使用壽命不是1500小時的概率P=0.6，根據n次獨立重復實驗中事件恰好發生k次的概率公式可得

P3(2)+P3(3)=C²3×0.6²×0.4+0.63=0.648

所以至少有2支燈管的使用壽命不足1500小時的概率是0.648.

評析:本題主要考查頻率、概率，總體分布的估計、獨立重復試驗等基礎知識，考查運用統計的有關知識解決實際問題的能力.n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率，它既是概率加法公式的應用，又是離散型隨機變量分布列的重要鋪墊.

總之，通過以上的例題的解析可知，概率題已將它的“觸角”伸向四面八方，求解時，關鍵是通過對事件的分析確定問題屬于何種類型，再“對號入座”將其納入通常的軌道中去求解.因此只要全面、熟練掌握有關內容的“雙基”，與概率“交匯”的綜合題便可迎刃而解.

(責任編輯 金 鈴)