零點(diǎn)的多維視角

“零點(diǎn)”是高中數(shù)學(xué)新課程的新概念，由定義可知函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根是緊密聯(lián)系在一起的，這對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力和思維能力有較高的要求.下面通過一則二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，探求零點(diǎn)問題的處理策略.

【例】 已知函數(shù)y=x²-mx+4在[-1，1]上有零點(diǎn)，求m的取值范圍.

策略一、實(shí)根分布

函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的零點(diǎn)，是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是二次方程ax²+bx+c=0的根.分析一元二次方程實(shí)根的分布，是解決這類的問題的最一般的方法，從而可以將二次函數(shù)在指定區(qū)間上的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為二次方程在指定區(qū)間上有解.

解:設(shè)f(x)=x²-mx+4.

(1)當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)=0，即1+m+4=0，可得m=-5;

(2)當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=0，即1-m+4=0，可得m=5;

(3)當(dāng)方程在(-1，1)上有且只有一個(gè)解時(shí)，f(-1)#8226;f(1)<0，即(1+m+4)(1-m+4)<0，解得m<-5或m>5;

(4)當(dāng)方程在(-1，1)上有兩個(gè)解時(shí)，

Δ≥0，-10，f(1)>0m≤-4或m≥4，m>2，1-m+4>0m無解，

綜合可得:當(dāng)m≥5或m≤-5時(shí)，函數(shù)y=x²-mx+4在[-1，1]上有零點(diǎn).

將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根分布問題時(shí)一定要注意結(jié)合圖象，從判別式、對(duì)稱軸、函數(shù)值的大小、開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的等價(jià)條件，特別要注意區(qū)間的端點(diǎn).

策略二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化.借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根，

也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而起到優(yōu)化解題的目的.

解:函數(shù)y=x²-mx+4在[-1，1]上有零點(diǎn)，即方程x²-mx+4=0在[-1，1]上有解.設(shè)y=mx，y=x²+4，則方程x²-mx+4=0在[-1，1]內(nèi)有解就是函數(shù)y=x²+4在[-1，1]內(nèi)的圖象與y=mx

的圖象有交點(diǎn).

作出y=x²+4與y=mx的圖象如右.

由圖象可知:當(dāng)m≥5或m≤-5時(shí)，函數(shù)y=x²-mx+4在[-1，1]上有零點(diǎn).

策略三、參數(shù)分離

含參變量問題的分類討論，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，尤其是含參變量方程的根的分布及含參變量函數(shù)的值域問題.問題中通常有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的參數(shù)和變量，只要通過分離變量，就能把多變量問題轉(zhuǎn)化為單一變量問題.

解:原方程可變形為:mx=x²+4.

(1)當(dāng)x=0時(shí)，方程mx=x²+4無解;

(2)當(dāng)x≠0時(shí)，方程可變形為:m=x+4x，x∈[-1，0)∪(0，1]，因?yàn)楹瘮?shù)y=x+4x在[-1，0)遞減，故y∈(-∞，-5];函數(shù)y=x+4x在(0，1]遞減，故y∈[5，+∞)，所以此函數(shù)的值域?yàn)?-∞，-5]∪[5，+∞)，故當(dāng)m∈(-∞，-5]∪[5，+∞)時(shí)，方程m=x+4x(x∈[-1，0)∪(0，1])有解.

綜上所述，當(dāng)m≥5或m≤-5時(shí)函數(shù)y=x²-mx+4在[-1，1]在上有零點(diǎn).

通過將原方程適當(dāng)?shù)淖冃危阉優(yōu)閙關(guān)于x的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域使得問題得以解決，方程變形時(shí)應(yīng)注意變化前后的等價(jià)問題.

策略四、正難則反

有些數(shù)學(xué)問題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，不妨打破思維常規(guī)實(shí)行“正難則反”策略，轉(zhuǎn)化為考慮問題的相反方面，往往能絕處逢生、簡化運(yùn)算過程.本題由于根的分布問題，分類較為復(fù)雜，常常出現(xiàn)分類重復(fù)或者遺漏的情形，現(xiàn)從問題的反面情況來考慮.

解:考慮方程x²-mx+4=0在[-1，1]上無實(shí)數(shù)根，可分為以下三種情況:

設(shè)f(x)=x²-mx+4.

(1)Δ<0，即m²-16<0，解得-4

(2)Δ≥0，m2<-1，f(-1)>0m≤-4或m≥4，m<-2，1+m+4>0-5

(3)Δ≥0，m2>1，f(1)>0m≤-4或m≥4，m>2，1-m+4>04≤m<5.

綜合以上三點(diǎn)可得-5

故當(dāng)m≥5或m≤-5時(shí)，方程x²-mx+4=0在[-1，1]上有解.

(責(zé)任編輯 金 鈴)