集合多“陷阱” 望君須謹慎

集合是高中數學的最基本的概念之一.在每年的高考中必考，且以選擇題為主，難度并不大，屬高考試題中的基礎題.但它涉及到中學數學的各個環節，稍不注意，就會出錯.如何跳出出題者所挖的陷阱，是每個學生急需解決的難題.根據本人多年的教學經驗，總結出一個結論:細節決定成敗.

細節1、注意代表元的形成

【例1】 已知M={y|y=x+1}，N={(x，y)|x²+y²=1}，則M∩N中元素個數是 .

錯解:由y=x+1，x²+y²=1得x=0，y=1，或x=-1，y=0，有2組解，所以應填2.

錯析:上述解法把集合M、N中元素為誤認為了點集，由定勢思維考慮兩者之間的位置關系.

正解:集合M中的元素形式是數集，集合N中的元素形式是點集，數集與點集沒有公共部分.故填0個.

【例2】 設集合A={y|y=x²+1，x∈R}，B={x|y=x+2}，求A∩B.

錯解:顯然A={y|y≥1}，B={x|y≥2}.所以A∩B=B.

錯析:錯因在于對集合中的元素不理解，集合A中的元素是y，是表示函數的值域.但集合B中的元素為x，是表示函數的定義域.

正解:A={y|y≥1}，B={x|x≥0}，故A∩B=A.

妙招:要認識一個集合，可從兩方面入手，一看元素，代表元什么;二看屬性.從而確定該集合表示的意義，是數集還是點集，是函數的定義域還是值域等.解決這一類問題時，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它們所具有的形式，才能準確地判斷集合間的關系，從而進行相關的運算.

細節2、檢驗集合中元素的互異性

【例3】 設A={x|x²+(b+2)x+b+1=0，b∈R}，

求A中所有元素之和.

錯解1:集合A中的元素是方程的根，故由根與系數

的關系可知，兩根之和為-(b+2).

錯解2:由x²+(b+2)x+b+1=0得(x+1)(x+b



+1)=0.

當b=0時，x1=x2=-1，此時A中的元素之和為-2;

當b≠0時，x1+x2=-b-2.

錯析:上述解法犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的特性——互異性.

正解:集合A中的元素是方程的根，由于Δ=(b+2)²-4(b+1)=b²，故當b=0時，方程有兩重根-1，由集合中元素的互異性，集合A={-1}，所以元素之和為-1;當b≠0時，x1+x2=-b-2.

妙招:集合元素的確定性、互異性、無序性在解題中有重要的指導作用，若忽視這一點則差之毫厘則失之千里.因此要注意分類討論，注意求得結果后再代入檢驗.

細節3、牢記空集的特殊性

【例4】 設集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|ax+1=0}且A∩B=B，求實數a的值.

錯解:由A={2，3}，B={-1a}，又A∩B=B，故BA，所以a=-12或-13.

錯析:忽視了B=.

正解:由A={2，3}，B集合是方程ax+1=0的根，當a=0時，方程無根，此時集合B為空集，滿足題意;當a不為0時，B={-1a}，所以a=-12或-13.綜合可得a=-12或-13或0.

妙招:解有關集合問題時，要特別注意集合是否為空集，空集是任意集合的

子集，是非空集合的真子集.如果在解題中忽略空集，容易漏解.

細節4、深刻理解補集的概念

【例5】 設全集U={2，3，a²+2a-3}，A={|2a-1|，2}，錯析:導致錯誤的原因是沒有考慮到AU.

正解:當a=2時，|2a-1|=3∈U，符合題意;當a=-4時，|2a-1|=9U，不符合題意.故a=2.

妙招:在解集合的諸多問題里，要注意已知條件，養成細心、規范解題的好習慣.

細節5、注意等價轉換

【例6】 設集合A={(x，y)|y+1x-1=1}，B={(x，y)|(a-1)x+y=1}，且M∩N=，求實數a.

錯解:集合A表示直線y=x-2上的點的集合，集合B表示直線y=(1-a)x+1

上的點的集合.又A∩B=(即兩直線平行時)，故1-a=1，即a=0.

錯析:將集合A轉化為直線y=x-2上的點的集合是不等價的，它應除去點(1，

-1).

正解:集合A表示直線y=x-2上的不包括點(1，-1)的點的集合，集合B

表示直線y=(1-a)x+1上的點的集合.由A∩B=(即兩直線平行時)，故

1-a=1，即a=0，或當集合B表示的直線過這個點時，也符合A∩B=，所

以把點(1，-1)代入直線y=(1-a)x+1，解得a=3.故a=0或3.

妙招:對于用集合語言敘述的問題，求解時往往需轉化為代數語言或幾何語

言，如果轉化不等價，就會導致錯誤.解題時要注意條件的充分性、必要性和充

要性，熟練三種語言的相互轉化.

細節.6、要深刻題意，尤其是符號的含義

【例7】 如圖所示，A、B是兩個非空集合，定義A-

B={x|x∈A且xB}，則A

-(A-B)是下圖中的().

A.Ⅰ

B.ⅡC.Ⅲ

D.Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ

錯解:因A-(A-B)表示屬于B而不屬于A，應選C.

錯析:錯解對新定義符號“-”的理解不當，導致A-(A-B)在遷移運用

時出現錯誤.

正解:A-(A-B)的正確理解應是屬于A而不屬于集合A-B，而A-B為圖

中的區域I，故A-(A-B)應為圖中的區域Ⅱ，應選B.

妙招:集合中符號語言具有抽象性，準確理解集合中符合的含義是解決問題的關鍵，對于某些新定義的集合問題，需要準確把握即時定義，理解定義中新符號的含義，“以舊帶新”實現問題的轉化.

以上就是我們在學習集合必須注意的六個細節，把握好這些細節，即可學好集合知識，就能跳出陷阱，做到“高考送分題，一分也不能少”.

(責任編輯 金 鈴)