運用導數解決含參函數問題的策略

以函數為載體，以導數為工具，考查函數性質及導數應用為目標，是最近幾年函數與導數交匯試題

的顯著特點和命題趨向.運用導數確定含參數函數的參數取值范圍是一類常見的探索性問題，主要是求存在性問題或恒成立問題中的參數的范圍.解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，通

過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.解決的主要

途徑是將含參數不等式的存在性或恒成立問題根據其不等式的結構特征，恰當地構造函數，等價轉化為

含參函數的最值討論.

歷年高考試題中也常出現此類問題，且涉及的知識面廣，綜合性強，不少考生在處理這類問題時，不知道確定參數范圍的函數關系或不等關系從何而來.本

文通過一些實例介紹這類問題相應的解法，期望對考生的備考有所幫助.

一、含參函數中的存在性問題

利用題設條件能溝通所求參數之間的聯系，建立方程或不等式(組)求解.這是求存在性范圍問題

最顯然的一個方法.

【例1】 已知函數f(x)=12x²+1nx，若存在x0∈[1，e]使不等式f(x0)≤m，求實數m的取值范圍.

解:(1)f(x)=12x²+lnx(x>0)，f′(x)=x+1x，由x∈[1，e]，f′(x)>0得函數f(x)在區

間∈[1，e]為增函數，則當x∈[1，e]時，f(x)∈[12，1+12e²].故要使存在x0∈[1，e]使不等式

f(x0)≤m成立，只需m≥12即可.

【例2】 已知函數f(x)=4x3x²+3的定義域為[0，2].

(1)求f(x)的值域.

(2)設g(x)=13ax3-a²x(a≠0)，若對任意的x1∈[0，2]總存在x2∈[0，2]使得

f(x1)-g(x2)=0，求實數a的取值范圍.

解:(1)∵0≤x≤2，

∴f(x)≥0.

①當x=0時，f(x)=0;

②當0

f(x)=43×1x+1x≤43×121x=23(當且僅當x=1時取“=”).

綜合①②得0≤f(x)≤23.

(2)設函數g(x)在[0，2]上的值域為A，∵x1∈[0，2]總存在x2∈[0，2]使得f(x1)-g(x2)=0，

∴[0，23]A.而g′(x)=ax²-a²，

①當a<0時，g′(x)<0，函數g(x)在[0，2]上為遞減函數，g(0)=0，g(2)=83a-2a²<0，不符合題意.

②當a>0時，g′(x)=a(x+a)(x-a)，若02a<0，g(2)=83a-2a²≥2313≤a≤1.

若a>2，即a>4時，g′(x)<0，函數g(x)在[0，2]上為遞減函數，

∴g(2)=83a-2a²<0，g(0)=0，不滿足，∴[0，23]A.綜合①②得13≤a≤1.

二、含參函數中的恒成立問題

可先利用題設條件建立變量的關系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數關系，從而使這

種具有函數背景的范圍問題迎刃而解，再由已知變量的范圍求出函數的值域，即為所求變量的范圍.類

型有:(1)雙參數中知道其中一個參數的范圍;(2)雙參數中的范圍均未知.

【例3】 已知函數f(x)=1nx-ax(a∈R).

(1)討論f(x)在[1，e]上的單調性;

(2)若f(x)

解:

(Ⅰ)f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=1x+ax²=x+ax²，顯然x²>0.

(1)當a≥-1時，x+a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數;

(2)當a≤-e時，x+a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數

(3)當-e≤a<-1時，令f′(x)=0得x=-a， 于是:

當1≤x≤-a時，令f′(x)<0，∴f(x)在[1，-a]上為減函數;

當-a≤x≤e時，令f′(x)>0，∴f(x)在[-a，e]上為增函數.

綜上可知，當a≥-1時，f(x)在[1，e]上為增函數;當a≤-e時，f(x)在[1，e]上為減函數;

當-e≤a<-1時，時f(x)在[1，-a]上為減函數，在[-a，e]上為增函數.

(Ⅱ)由f(x)2.

令g(x)=xlnx-x²，要使a>xlnx-x²在[1，+∞)恒成立，只需a>g(x).

而g′(x)=lnx-2x+1.

令ψ(x)=lnx-2x+1，則ψ′(x)=1x-2.

∵x≥1，∴ψ′(x)<0.∵x≥1，∴ψ(x)在[1，+∞)上單調遞減，∴ψ′(x)≠ψ(1)=-1<0，

因此g′(x)<0.故g(x)在[1，+∞)上單調遞減，則g(x)≤g(1)=-1，∴a的取值范圍是(-1，+∞).

【例4】 設函數f(x)=x4+ax3+2x²+b(x∈R，a，b∈R).

(1)若函數f(x)僅在x=0處有極值，求實數a的取值范圍;

(2)若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，求實數b的取值范圍.

解:(1)f′(x)=4x3+3ax²+4x=x(4x²+3ax+4).要函數f(x)僅在x=0處有極值，

則x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根，即對于x∈R，4x²+3ax+4≥0恒成立.

∴Δ=9a²-64≤0-83≤a≤83.

(2)由a∈[-2，2]得Δ=9a²-64<0，即x∈R，4x²+3ax+4>0恒成立，

∴x<0f′(x)<0，x>0f′(x)>0，因此f(x)在[-1，1]上先減后增.

為了使任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，則

f(-1)≤1，f(1)≤1b≤-2-a，b≤-2+a，

∴b≤-4.

【例5】 已知f(x)=7x²-28x-a，g(x)=2x3+4x²-40x，當x∈[-3，3]時，f(x)≤g(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

解:設F(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x²+12x-c，則由題可知F(x)≤0對任意x∈[-3，3]恒成立.

令F′(x)=-6x²+6x+12=0，得x=-1或x=2，而F(-1)=-7a，F(2)=20-a，F(-3)=45-a，F(3)=9-a，

∴F(x)max=45-a≤0.∴a≥45.即實數a的取值范圍為[45，+∞).

【例6】 已知函數f(x)=ax-ax-2lnx(a>0)，

g(x)=2ax.

(1)求f(x)的單調區間.

(2)若對區間[1，e]上任意x1和x2總有f(x1)<g(x2)，求實數a的取值范圍.

解:(1)f′(x)=ax²-2x+ax²(x>0)，令h(x)=ax²-2x+a.

①當Δ=4-4a²≤0，即a≥1時，h(x)=0f′(x)≥0，∴當a≥1時f(x)在(0，+∞)上是單調遞增函數.

②當Δ=4-4a²>0，即02a<11+1-a²a>1.

∴當02a)和(1+1-a²a，+∞)上是單調遞增函數，在(1-1-a²a，1+1-a²a)上是單調遞減函數.

綜合①②得，當a≥1時，f(x)的單調遞增區間是(0，+∞);

∴當02a)和(1+1-a²a，+∞)，單調遞減區間是(1-1-a²a，1+1-a²a).

(2)由(1)得f(x)在[1，e]上是單調遞減函數或先減后增，∴f(x)在[1，e]上的最大值為f(1)或f(e).而f(1)=0，f(e)=ae-ae-2.

而g(x)在[1，e]上是單調遞減函數，∴gmin(x)=g(e)=2，要使對區間[1，e]上任意x1和x2總有f(x1)2-1.

關于運用導數解決含參函數問題的策略還有很多，參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性

較強，對于某些“含參函數”題目，不一定用某一種方法，還可用多種方法去處理.這就要求我們養成良好

的數學思維，有良好的觀察與分析問題的能力，靈活的轉化問題能力，使所見到的“含參函數”問題能更有

效地解決.