加強思維變通性訓練 提高學生解題能力

摘要:本文通過分析數學思維變通性的主要體現，重點分析了如何通過解題教學訓練學生的觀察能力、聯想能力、問題轉化能力，從而促進學生數學思維的發展，提高解題能力.

關鍵詞:數學思維的變通性;數學能力

數學思維的變通性是指善于根據題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案.數學思維的變通性是高中數學解題思維策略之一，它主要體現在善于觀察、善于聯想以及善于將問題進行轉化三個方面.O.K.吉霍米曾說過:在心理學中，思維被看作為解題活動，雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，訓練思維的最有效辦法是通過解題來實現.因此，在平時的解題教學中，教師要努力提高每一道題的功效，有意識地訓練學生的觀察能力、聯想能力和轉化問題的能力，才能有效地提高學生的解題能力.

一、在解題的教學中，授學生以觀察的方法和技巧，訓練觀察能力.

觀察是解題過程中一種重要的思維能力。教師在指導學生解題時，可以從以下幾個方面進行觀察方法和技巧的訓練.

1.引導學生觀察條件之間的共性，培養觀察的精確性.

就數學而言，有些題目具有本身的結構特征或數形特征，解題思路往往就蘊含在特征之中，因此揭示特征探索解題思路的過程就是培養觀察精確性的過程.

分析:本題若直接求解，無從下手，但如果仔細觀察式子的數量特征:+=1，+=1，…可以發現里面隱藏著解題的關鍵，所以將問題轉化為研究函數f(x)=的結構特征，得出f(a)+f(1-a)=1這一個一般性結論后就易于求解.

2.引導學生觀察已知與求知的聯系，培養觀察的針對性。

這是觀察的重要一環，充分利用已掌握的信息實現由已知求未知的目的.

例如，已知a，b為正數，且a+b=，則+的最大值是 .

通過觀察，發現函數+的平方和2-(a+b)是個定值，且本題是求最值，因此可以馬上聯想到不等式中一些含有平方和的公式，而柯西不等式(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2的左邊剛好有一個平方和這一關系，因此可以逆用柯西不等式進行求解簡單明了得出本題答案.即+≤=.此外，本題也可以通過三角換元的方法進行解答，但過程比以上解法煩瑣.

從以上例子中可以看出，在解題的過程中，必須要注意審題.這樣不僅能從表面形式上發現題目的特點，而且還能從已知條件中發現其隱蔽條件.因此，學生在解題時要認真全面地看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題，真正地提高解題能力.

二、在解題教學中運用創造思維，訓練聯想能力.

聯想是問題轉化的橋梁.稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯、間接而復雜的.因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否利用觀察到的特征，靈活運用有關知識作出到位的聯想，將問題打開缺口，不斷深入.

1.運用聯想思維.

愛因斯坦認為，科學研究真正可貴的因素是直覺思維，同樣，數學解題中聯想靈感迸發也離不開直覺思維，在對問題進行全面的思考之后，不經詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質，迅速得出預感性判斷，可以說聯想是由靈感誘發而產生的.特別是在對一些問題無從下手的情況下，這時需由聯想來產生解題的靈感，使本來困難的題目迎刃而解.

例如，已知3(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a≠b)，求的值.

初看此題，只知道一個等式求一個比值，一個方程是不能求出三個未知數a，b，c的.這時就必須要用整體求解的方法.但在具體的實施過程中，我們發現(a-b)，(b-c)，(c-a)三者之間沒有直接必然的聯系.此時，我們運用聯想思維，由()2=3聯想到一元二次方程根與系數的關系，即可以看成一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0，(a≠b)而就是此方程的一個根，代入此方程也成立，故是方程的根，又因通過觀察知道1也是這個方程的根，因此可以把已知的知識和未知的知識聯系起來，使本來困難重重的解題過程變得非常通暢.

解:∵3(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a≠b)是一元二次方程，

∴，1是一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0，(a≠b)的兩個實根，

由韋達定理得+1=，+1=即=(+1)=3+.

2.由此及彼，拓展聯想空間.

聯系和重組的能力依賴于每個人的聯想空間，因此適時地引導學生對面臨的問題進行聯想是提高解題能力的有效途徑.

例如，已知a，b，c均為正實數，滿足關系式a2+b2=c2，又n為不小于3的自然數，求證:an+bn

思路分析:由條件a2+b2=c2聯想到勾股定理，a，b，c可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如下證法:

證明:設a，b，c所對的角分別為A、B、C，則C是直角，A為銳角，于是

sin A=，cos A=，且0

當n≥3時，有sinn A

于是有sinn A+cosn A

由以上例子可以看出，聯想思維在數學解題中有著不可低估的作用。因此，在數學的教學中，教師對學生的聯想思維的培養是很重要的，在授課特別是在解題的教學中要注重對學生聯想思維的培養.

三、在解題的教學中，適時啟發引導，訓練問題轉化能力

轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法.那么應該如何轉化呢?概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系.

1.復雜向簡單轉化.

我們所遇見的數學題大都是生疏、復雜的.在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯想有關知識，而且要將其轉化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當的轉化，往往能夠使問題很快得到解決.

例如，已知a+b+c=++=1求證a，b，c中至少有一個等于1.

結論沒有用數學式子表示，很難直接證明.因此，應該首先將結論用數學式子表示，轉化成我們熟悉的形式.a，b，c中至少有一個為1，也就是說a-1，b-1，c-1中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了:

證明 ∵++=1，∴bc+ac+ab=abc.

于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc+1)+(a+b+c)=0，

∴a-1，b-1，c-1中至少有一個為零，即a，b，c中至少有一個為1.

很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段.

2.正面向反面轉化。

某些問題，若正面求解比較困難，可從反面來考慮，往往能達到“柳暗花明又一村”的效果.

例如，已知函數f(x)=2x2+mx+n，求證f(1) 、f(2) 、f(3)中至少有一個不小于1.

證明 :(反證法)假設原命題不成立，即f(1) 、f(2) 、f(3)都小于1.

則f(1)<1f(2)<1f(3)<1?圯-1<2+m+n<1-1<8+2m+n<1-1<18+3m+n<1?圯-3

①+③得-11<2m+n<-9，與②矛盾，所以假設不成立，即f(1) 、f(2) 、f(3)中至少有一個不小于1.

反證法被譽為“數學家最精良的武器之一”，它也是中學數學常用的解題方法.當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法.

古人云:“授人以魚，不如授人以漁.”教師不僅要教學生學會，而且更重要的是要學生會學.教師必須讓學生明確不要為解題而解題，在平時的解題教學中努力提高每一道題的功效，有意識地訓練學生的觀察能力、聯想能力以及轉化問題的能力，同時培養學生的思維能力，建構學生自己獨特的數學認知結構，從而增強解題意識，拓寬解題思路，提高思維的變通性，從而促進學生思維的發展.

(作者單位:潮州市職業技術學校)

參考文獻:

[1](美)波利亞.怎樣解題[M].北京:科學出版社，1982.

[2]王桂喜.優化例題教學，提高思維能力[J].高中數學教與學，2007，(3).

責任編輯朱守鋰