常紅利邊界復合二項模型紅利期望現值

摘 要 在完全離散的復合二項風險模型基礎上，考慮常紅利邊界策略下的紅利支付問題.通過兩種不同的方法，得到了紅利期望現值所滿足的兩個方程.由這些方程特殊性質，在比較寬松的條件下，通過建立相應的迭代過程，求解出了直到破產發生時紅利期望現值的近似值.

關鍵詞 復合二項過程;常紅利邊界;紅利期望現值;壓縮映射;迭代

中圖分類號 O211文獻標識碼:A

1 模型及基本假設

首先，先給出對完全離散復合二項風險模型的簡要描述，取定一個時間單位a后， 可以假設在任意一個時間區間[(n-1)a，na]， n=0，1，…， 中，僅可能出現兩種情況:或有一次索賠發生，或沒有索賠發生.不失一般性，以下不妨設a=1. 用P(n)=1-(n)表示在該時間單位內有一次索賠發生這一事件;以εn=0表示在這個時間單位內沒有索賠發生這一事件.假定ε1，ε2，…，εn，…，為獨立同分布(i.i.d)的隨機變量序列，且滿足:

Pr(εn=1)=p; Pr(εn=0)=q (0

在上述假定下，定義

N(n)=ε1+ε2+…+εn，n≥0 .(1)

這里約定N(0)=0，那么，N(n)便表示到第n個時間單位末為止所發生的索賠次數.顯然{N(n):n≥0}是以p為參數的二項序列.

再假定，如果在時間區間((n-1)，n]內有索賠發生，那么在該時間區間內的終端由保險公司支付索賠額.

用Xn表示保險公司所支付的第n個索賠額.當取定一錢幣單位后，可以假定Xn為僅取正整數值的隨機變量，并設X與諸Xn同分布，稱之為個體索賠額，其分布函數記為P(n)=1-(n)，概率分布律記為p(k)，k=1，2，…，那么到第n個時間單位末保險公司所支付的索賠總額Sn則由

Sn=X1ε1+X2ε2+…+XNεn，n≥0.(2)

給出這里約定S0=0.再假定保險公司所支付的索賠額X1，X2，…，也是獨立同分布的隨機變量，且與{ε1:n≥0}獨立. 則索賠總額序列{Sn:n≥0}便是復合二項序列.

用Mi，M2…，表示每次索賠的時間間隔，它是僅取正整數值的隨機變量; 用Ln=∑nk=1Mk表示第n次索賠的時間.已知Mi，i=1，2，…，與L1同分布，對于復合二項過程其有共同的概率分布g(t)=Pr (Mi=t)=p(1-p)t-1，其中t=1，2，…，且假設{Mi:i≥1}與{Xi:i≥1}獨立.

為了維持保險業務的正常運作，假設保險公司在每個時間區間的始端收取1個錢幣單位的保險費.這樣保險公司在時刻n的盈余U(n)可表述為

U(n)=u+n-Sn (n=0，1，…)，(3)

其中，u=U(n)為初始盈余.若再假定u僅取非負整數值，則上述模型稱為完全離散的復合二項風險模型.

上述復合二項模型(3)，先后有許多學者用不同的方法對其進行了研究，并對該模型進行了相應的推廣，到目前為止已經得到了許多重要的風險量的研究結果.例如最終破產概率，破產前一刻的盈余和破產赤字的分布，關于此模型的一些參考文獻可以參看文獻[2-4，6-8]等等.

本文中，對復合二項風險模型作一修正，引入一個常數邊界策略b(b≥0)，即在某個時刻若盈余超過b，則將超過b的盈余部分作為紅利支付給股東，之后盈余處于水平b直到下次索賠發生.關于離散模型的隨機支付紅利可以參考文獻[1，9]，更多的紅利的模型還可見文獻[10]第九章第4節等.在此以{Ub(n)}表示該修正盈余過程，以D(u，b)表示直到破產發生以前紅利現值總和(貼現因子為0

V(u，b)=E[D(u，b)|U(0)=u].

2紅利期望現值

對于離散時間復合二項風險模型，由于它的索賠時間間隔Mi，i=1，2，…，服從截0幾何分布，且由于幾何分布具有無記憶性，于是可知盈余過程Ub(n)具有獨立增量性.運用兩種方法對破產時刻之前所支付紅利的期望現值進行求解.

首先以第一次索賠的時間L1為更新時間點進行考慮，可得

D(u，b)=0×I(U(L1-)≤b，U(L1<0))

+D(u+L1-XL1，b)vL1I(U(L1-)≤b，U(L1)≥0)+[D(b+1-XL1，b)+D1]vL1I(U(L1-)>b，U(L1)≥0)

+D1vL1I(U(L1-)>b，U(L1)<0)，(4)

其中D1為(0，L1-1]時間段內所支付的紅利總量在時間點L1時的值.由于在每個時點只支付1個單位的紅利， 則易知D1的值可以表示為

D1=v-1+v-2+…v-(u+L1-1-b)=1v-1(1-v-(u+L1-1-b)).(5)

在式(4)兩邊求期望并結合式(5)，可得紅利期望現值滿足的方程為

V(u，b)=∑b+1-ut=1∑u+tk=1V(u+t-k，b)vtp(k)g(t)+∑

為了運用迭代法對(6)進行求解，以下先要介紹一些有關壓縮映射的定義及重要的定理.

定義 以S=(S，d)表示一個距離空間.定義一個映射T:S→S，它被稱為S上的壓縮映射當且僅當存在一個正的實數α<1，使得對于任意的x，y∈S有下式成立

d(Tx，Ty)≤αd(x，y).

對于壓縮映射有下面一些性質，可以參考[5].

引理1 假設S=(S，d)表示一個完備的距離空間，并且假設S≠，T:S→S，是S上的壓縮映射.那么根據不動點原理知該映射存在唯一的不動點，即存在一個x∈S，有Tx=x.

引理2在上述引理1的假設條件下，定義一個迭代序列xn如下，對于任意的x0∈Sx0，x1=Tx0，x2=Tx1=T2x0，…，xn=Tnx0，…，則xn收斂于映射T的唯一不動點x，其中前向估計誤差為

d(xn，x)≤αn1-αd(x0，x1).(7)

后向估計誤差為

d(xn，x)≤α1-αd(xn-1，xn). (8)

現在來求解遞推方程(6)，以S表示{0，1，…，b}上的所有的實值函數的集合，在該空間中定義距離為

d(x，y)=max u|x(u)-y(u)|， u=0，1，…，b，

其中，x，y∈S，S=(S，d)顯然是一個完備的距離空間.V(u，b)為一增函數，顯然有V(u，b)∈S，則對于任意的y=y(u)∈S，定義映射

Ty=∑b+1-ut=1∑u+tk=1y(u+t-k)vtp(k)g(t)+∑

易知T(y(u))∈S.因此T為S→S上的映射.如果P(b+1)<1或者v<1，可證T是一個壓縮映射.實事上，對于任意的y(u)，z(u)∈S，有

d(Tx，Tz)≤max 0≤u≤b{∑b+1-ut=1∑u+tk=1|y(u+t-k)-z(u+t-k)|vtp(k)g(t)

根據引理1，則方程(6)存在唯一的解.在S上任選一個非負的實值函數V0(u)，并定義一個迭代序列{Vn(u)}為

V0(u)，V1(u)=TV0(u)，V2(u)=T2V0(u)，…，Vn(u)=TnV0(u)，…，(10)

則根據引理2，有定理:

定理1 在假設條件P(b+1)<1或者v<1下，方程(6)有唯一的解

V(u，b)=lim n→

作為V(u，b)的近似， Vn(u)的誤差估計式滿足

max 0≤u≤b|Vn(u)-V(u，b)|≤αn1-αmax 0≤u≤b|V0(u)-V1(u)|，(12)

其中α=P(b+1)∑

以下從另一種角度來考慮紅利期望現值的求解，以單位時間點1為更新時間點對紅利現值進行研究，得

D(u，b)=0×I(U(0)≤b，U(1)<0)+D(u+1-X1ε1，b)vI(U(0)≤b，U(1)≥0)

=D(u+1-X1，b)vI(U(1)≥0，ε1=1)+D(u+1，b)vI(U(0)

+[D(b，b)+1]vI(U(0)=b，U(1)0，ε1=0).(13)

在式(13)兩邊同時求期望，求得紅利期望現值為

V(u，b)=pv∑u+1k=1V(u+1-k，b)p(k)+qvV(u+1，b)I(u

同方法一中類似的步驟可以定義一個距離空間(S，d)，并在該距離空間上定義一個映射.對于任意的y=y(u)∈S，定義以下映射

T1y=pv∑u+1k=1y(u+1-k)p(k)+qvy(u+1)I(u

易知T1(y(u))∈S.因此T1為S→S上的映射.如果P(b+1)<1或者v<1，可證T1是一個壓縮映射.事實上，對于任意的y(u)，z(u)∈S，有

d(T1y，T1z)≤max 0≤u≤b{pv∑u+1k=1|y(u+1-k)-z(u+1-k)|p(k)

+qv|y(u+1)-z(u+1)|I(u

≤max 0≤u≤b|y(u)-z(u)|#8226;max 0≤u≤b{pv∑u+1k=1p(k)+qvI(u

≤max 0≤u≤b|y(u)-z(u)|#8226;[pv∑b+1k=1p(k)+qv]=d(y，z)[pvP(b+1)+qv].

顯然當P(b+1)<1或者v<1，則有pvP(b+1)+qv<1成立，由此知T1為壓縮映射.由上面的結論可得如下定理:

定理2 在假設條件P(b+1)<1或者v<1下，方程(14)有唯一的解V(u，b)=limn→∞Vn(u)=limn→∞Tn1V0(u).(16)

作為V(u，b)的近似，Vn(u)的誤差估計式滿足

max 0≤u≤b|Vn(u)-V(u，b)|≤αn1-αmax 0≤u≤b|V0(u)-V1(u)|，(17)

式中，α=pvP(b+1)+qv.

3 數值計算

考慮所推導的方程(6)與(14)的應用，并通過其相應的迭代過程(9)和(15)來考慮一個具體的實例，與此同時也可通過比較兩個迭代過程各自計算所得到的數值，來驗證方程理論上的正確性.設索賠額與索賠時間間隔的分布都服從如下的截零幾何分布， 即p(t)=g(t)=(1-7/8)(7/8)t-1，(t∈N+={1，2，…}).并假設貼現因子v=0.97，常紅利邊界值b=0，1，2，…，10，通過迭代計算求得相應b值時所對應的紅利期望現值.令初始值V0(u)，根據定理1，由式(12)，在取定max 0≤u≤b|Vn(u)-V(u，b)|<0.000 1的精度下，可以求得第一個迭代過程(9)所對應的最小的迭代步數n的值如表1所示，由此計算得紅利期望現值V(u，b)的近似值如表2.在同樣的誤差精度下，根據定理2，可以求得第二個迭代過程所對應的最小的迭代步數n值如表3所示，并由此得到相應的紅利期望現值V(u，b)的近似值如表4.通過比較表2與表4，可看到運用兩種方法所求得的數值在如上確定的精度下是如此的接近以至于可認為相等.

參考文獻

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TheExpectedPresent ValueofDividendsintheCompoundBinomialModelwithaConstantDividendBarrier

WU Hui， TAN Ji-yang

(School of Mathematics and Computational Science of Xiangtan Univisity， Xiangtan， Hunan 411105，China)

Abstract Based on the fully discrete compound binomial model， the payments of dividends in the presence of constant dividend barrier were studied. We obtained two equations satisfyingthe expected present value of dividends through two different methods. Under a comparative relaxed condition， the approximate solution of the expected present value of dividends until ruin can be computed by setting upthe corresponding iteration processes because of the special property of the equations.

Keywordscompound binomial process;constant dividend barrier;the expected present value of dividends;contraction，iteration