基于極大模理想點法的投資組合決策模型分析

摘 要 基于馬克維茨投資組合模型的均值一方差理論，構建一種投資組合收益和風險在一定范圍的雙目標線性模糊優化模型，并嘗試采用極大模理想點法來求解該模型.最后，給出一實際算例，對一具體投資組合模型進行研究，結果表明:本文所采用的極大模理想點法是可行的、有效的;本文所采用的算法比已有文獻給出的模糊線性規劃法具有更加廣泛意義的優化結果.

關鍵詞 投資組合;理想點法;線性規劃;有效解;有效邊界

中圖分類號 F830文獻標識碼:A

1 引 言

投資決策的核心問題是收益與風險，在均衡無套利的市場中，投資者在高風險高收益和低風險低收益之間，根據自己對收益和風險的偏好進行著權衡.1952年，Markowitz發表了奠基性的論文“Portfolio Selection”^[1]，并在該文中，最早提出了投資組合的均值-方差(Mean Variance，簡記為MV)模型.在該模型中，用預期收益來衡量投資組合的收益，用預期收益的方差來衡量投資組合的風險.MV模型主要表現為兩種模型:風險給定的情況下收益最大化單目標優化模型;收益給定的情況下風險最小化單目標優化模型.Arenas^[2]等人提出了一種求解投資組合模型的模糊目標規劃方法.Huang^[3]等人給出了求解不確定性投資組合選擇模型的一種新方法.Wang^[4]等人研究了一系列的模糊投資組合問題，并且對于實例給予相關理論分析和探討.Bilbao^[5]等人對于投資組合選擇模型提出了一種模糊折衷規劃方法.而本文主要是在MV模型的基礎上，構建一個收益和風險在一定范圍內的雙目標線性模糊優化模型:即通過投資比例調節幅度把普通約束條件(各個投資比例和為1)轉化為模糊約束條件(各個投資比例和接近1).然后，應用極大模理想點法來求解該模型.最后，給出一實際例子，說明該文所給出的極大模理想點法可行的，有效的，并且比文獻[6]所提出的方法更優越.

2 模型描述

投資者進行投資i(i=1，…，n)種風險資產，他們的收益率，風險損失率和所占的投資比例分別為:ri，σi，xi(i=1，…，n).現要求利潤率r達到a以上， 風險σ控制在b以內.那么對應的雙目標線性規劃模型為:

經 濟 數 學第 27 卷

第3期鄧 雪等:基于極大模理想點法的投資組合決策模型分析

min σ=∑ni=1σixi，

max r=∑ni=1rixi，

s.t. ∑ni=1σixi≤a，

∑ni=1rixi≥b，

∑ni=1xi=1，

xi≥0，i=1，2，…，n.(1)

同時，注意到投資者選擇如何配置風險資產來最好地符合他對風險和收益的權衡，并不一定要求投資比例和一定為1.即根據實際情況，為達到對風險和收益的權衡，投資比例和可以大于1，也可以小于1.那么可以把對于權重的等式約束轉化為不等式約束，更加符合實際情況.即把模型(1)轉化為雙目標模糊線性極小化模型:

min σ=∑ni=1σixi，

min (-r)=-∑ni=1rixi，

s.t. ∑ni=1σixi≤a，

∑ni=1rixi≥b，

∑ni=1xi≤1+μ，

∑ni=1xi≥1-μ，

xi≥0，i=1，2，…，n，(2)

其中μ為投資比例調節幅度，調節幅度μ的大小可以根據投資者的個人偏好程度來確定.

3 極大模理想點法介紹

3.1 極大模理想點法基本思想

為簡化記號，把一種決策變量用向量形式表示:x=(x1，…，xn)T;用向量形式表示m個目標函數，簡稱為模型的向量目標函數:f(x)=(f1(x)，…，fm(x))T;可行域:X.從而，多目標極小化模型記為

min x∈Xf(x).(3)

對于多目標極小化模型，為使各個目標函數均盡可能地極小化，先分別求出各目標函數的極小值，然后讓各目標盡量接近各自的極小值來獲得它的解.設對應的m個分目標函數fi(x)(i=1，…，m)極小化后各自得到最優解xi，即:fi(xi)=min x∈Xfi(x)(i=1，…，m).若各個xi(i=1，…，m)均相同，則記x*=xi(i=1，…，m).這說明x*為模型(3)的絕對最優解，因而x*=xi(i=1，…，m)即為所求的解.

但是，在一般情況下，各個xi(i=1，…，m)不全相同，并記:f*i=fi(xi)，i=1，…，m.由于各個最小值f*i分別是對應目標fi最理想的值，故通常把由它們組成的目標空間Rm中的點f*=(f*1，…，f*m)T叫做模型(3)的理想點.現在目標空間Rm中引進帶權重的極大模‖#8226;‖w

權重的極大模評價函數為:

u(f)=‖f-f*‖w

以式(4)為評價函數，把求解(3)的問題歸為求解如下數值極小化問題:

min x∈X u(f(x))=min x∈X‖f(x)-f(x*)‖w

則上述極小化問題的最優解就是在問題(3)在可行域X內目標函數f(x)與理想點f*之間的“距離”盡可能小的解.因為這類求解方法主要是利用了使所考慮的目標盡可能接近問題的理想點這一思想，故叫做極大模理想點法.

3.2極大模理想點法步驟

Step1 求理想點.求出各目標的極小點和極小值:

f*i=fi(xi)=min x∈Xfi(x)，i=1，…，m.(6)

Step2 檢驗理想點.

1)若x1=…=xm，則輸出:x*=xi(i=1，…，m).

2)若x1，…，xm不全同，則進行第3步.

Step3 確定權系數.給出表示各目標fi逼近其極小值f*i(i=1，…，m)重要程度的權系數wi≥0(i=1，…，m).

Step4 極小化輔助問題.求解

min λ

s.t. x∈X，

wi(fi(x)-f*i)≤λ，i=1，…，m，

λ≥0.(7)

設得最優解(T，)T，輸出.

4 應用研究

現從上海證券交易所選取5種股票進行投資，這5種股票的收益率和風險損失率分別為:r1=20%，r2=40%，r3=15%，r4=5%，r5=30%;σ1=16%，σ2=30%， σ3=12%，σ4=4%，σ5=45%.要求利潤率達到20%以上， 風險控制在30%以內.那么對應的雙目標模糊線性規劃模型為^[6]:

min σ=16x1+30x2+12x3+4x4+45x5，

max r=20x1+40x2+15x3+5x4+30x5，

s.t. 16x1+30x2+12x3+4x4+45x5≤30，

20x1+40x2+15x3+5x4+30x5≥20，

x1+x2+x3+x4+x5≤1.05，

x1+x2+x3+x4+x5≥0.95，

x1，x2，x3，x4，x5≥0.(8)

模型(8)可以被轉化為極小化模型(9):

minf1=σ=16x1+30x2+12x3+4x4+45x5，

minf2=-r=-20x1-40x2-15x3-5x4-30x5，

s.t. 16x1+30x2+12x3+4x4+45x5≤30，

20x1+40x2+15x3+5x4+30x5≥20，

x1+x2+x3+x4+x5≤1.05，

x1+x2+x3+x4+x5≥0.95，

x1，x2，x3，x4，x5≥0.(9)

現根據極大模理想點法來求解上述模型:

Step1 求出各目標的極小點和極小值:

x1=(0，0.435 7，0，0.514 3，0)T，

f*1=f1(x1)=15.128 2，

x2=(0，1，0，0，0)T，

f*2=f2(x2)=-40.

Step2 x1≠x2，則進行第3步.

Step3 確定權系數.取

w1=0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1，

w2=1-w1.

Step4 求解

min λ

s.t. w1(16x1+30x2+12x3+4x4+45x5-15.13)≤λ，

w2(-20x1-40x2-15x3-5x4-30x5+40)≤λ，

16x1+30x2+12x3+4x4+45x5≤30，

20x1+40x2+15x3+5x4+30x5≥20，

x1+x2+x3+x4+x5≤1.05，

x1+x2+x3+x4+x5≥0.95，

x1，x2，x3，x4，x5≥0，

λ≥0.(10)

由Matlab，對于不同的權重，得到結果見表1.

根據表1中本文方法所得的數據，可得模型(9)的有效邊界(見圖1).

圖1 投資組合模型(9)的有效邊界

5 結 論

表1的數據表明:1)賦予權重不同值時，1=3=5=0，2，4≠0，并且w1>0，取得滿意解時權重和∑5i=1i<1.2)當04>0，并且w1值越小，2所占的比例越大，4所占的比例越小.圖1表明模型(9)的有效邊界幾乎就是一條直線;收益越大，風險則越大;預期收益率r和投資風險σ之間的函數關系十分接近線性關系.

表1的數據也說明，和文獻[6]的結果x*=(0，0.72，0，0.23，0)T，σ(x*)=22.526，r(x*)=29.95進行比較，本文結果包含了不同權重情況下的各種有效解;且文獻[6]的結果和本文的結果w1=0.4，w2=0.6，σ=22.156 0，r=29.460 0較接近.相對文獻[6]結果而言，本文結果更具廣泛性，對于決策者，有更多的選擇.由此說明，本文應用的極大模理想點法比文獻[6]所提出的模糊線性規劃法更優越，具有更大的應用價值.

參考文獻

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[2] ARENAS M， BILBAO A， RODRGUEZ M V. A fuzzy goal programming approach to portfolio selection [J]. European Journal of Operational Research， 2001， 133:287-297.

[3] HUANG J J， TZENG G H， ONG C S. A novel algorithm for uncertain portfolio selection [J]. Applied Mathematics and Computation， 2006， 173:350-359.

[4] WANG S Y， ZHU S S. On fuzzy portfolio selection problems [J]. Fuzzy Optimization and Decision Making， 2002， 1:361-377.

[5] BILBAO A， PREZ B， ARENAS M， RODRGUEZM V. Fuzzy compromise programming for portfolio selection [J]. Applied Mathematics and Computation， 2006， 173:251-264.

[6] 李曦，鄭華盛.利用模糊數學建立的股票投資策略[J]. 南昌航空工業學院學報:自然科學版， 2003， 7(4):90-93.

|[7] 胡毓達.實用多目標最優化[M].上海:上海科學技術出版社，1990.

Analysis on Portfolio Decision Model Based

on Maximum Module Ideal Point Method

DENG Xue1，2， LI Rong-jun2

(1. School of Business Administration， South China University of Technology， Guangzhou，

Guangdong 510640，China;2. Department of Mathematics， School of Science， South China University

of Technology， Guangzhou， Guangdong 510640，China)

AbstractBased on Markowitz’s mean-variance portfolio model theory， we proposed a bi-objective linearly fuzzy optimal model with bound constraints of expected return and risk， and tried to solve it by using maximum module ideal point method. Finally， a numerical example of portfolio model was given to illustrate the proposed model. Compared with the fuzzy linear programming method used in reference， the results show that the used maximum module ideal point method is feasible and effective， andmore comprehensive effective results can be obtained by using maximum module ideal point method.

Keywords portfolio investment; ideal point method; linear programming; effective solution; effective frontier