立體幾何不確定問題一例通

在立體幾何問題的解決過程中，我們會碰到一些不確定問題，如幾何對象位置關系的不確定、運動變化過程的不確定等.解決這些問題時，分類討論是基本邏輯方法，分類時，要依據研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類，然后逐類解決.

例1 矩形ABCD的邊CD上有一動點E，AB=a，AD=b，如圖(1)，沿AE將△ADE折起得直二面角D1-AE-B，設BD1=d，如圖(2)，求d的最小值.

點撥 首先求出d的表達式.

作DH⊥AE于H，相應地，有D1H⊥AE于H，連結BH.設∠DAE=，則有DH=bsin，AH=bcos，D1H=bsin，于是在△ABH中，由余弦定理得BH2=AB2+AH2-2AB#8226;AHcos(-)=a2+b2cos2-absin2.

又D1-AE-B是直二面角，即平面D1AE⊥平面ABCE，由D1H⊥平面ABCE可知 D1H⊥BH，故在Rt△D1BH中，d2=D1H2+BH2=a2+b2-absin2.

其次，對通過對a，b大小的討論，來確定sin2的最值，從而確定d的最小值.

答案 (1)若b≤a，則當=時，dmin=;

(2)若b>a，則當點E與C重合，即tan=時，有最大值，此時sin2=，dmin=.

提示 在本例中，d=不難得到，而a，b的大小關系的討論卻容易忽視，有些同學誤以為sin2=1當，即=時，d取到最小值.因此，對于幾何圖形問題，我們一定要注意圖形的多樣性和復雜性，不可想當然.

類題練習 有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，5a(a>0).用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，求a的取值范圍.

答案 (1)拼成三棱柱時，將第二個放置在第一個上面，并使兩底重合，這時三棱柱的全面積為S1=12a2+48;

(2)拼成四棱柱時，有3中拼法.

①將底邊長為3a、高為的面重合，這時四棱柱的全面積S2=24a2+36;

②將底邊長為4a、高為的面重合，這時四棱柱的全面積S2=24a2+32;

③將底邊長為5a、高為的面重合，這時四棱柱的全面積S2=24a2+28，全面積最小的是S2=24a2+28，由題設，由12a2+48<24a2+28即3a2-5<0，解得0

責任編校 徐國堅