從一道高考題看一題多解

題目:某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分(如圖). 現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花. 不同的栽種方法有_____種.(以數字作答)

分析:為了正確解答本題，首先必須準確理解題意，抓住花圃布局的要求，看清圖形中6個部分的關系;明確每個部分只種同一種顏色的花，相鄰部分應種不同顏色的花;而且4種顏色的花都要種上，缺一不可.對這些條件要求，稍有疏忽、遺漏或曲解，都會引致解答出錯.其次，應設計好周全而又不出現重復計數的推算程序，關鍵是推算過程中分步、分類的安排要合理且嚴密;最后，乘法原理和加法原理的運用，以及數值計算還得無誤，方能得出正確的答數.

解法1:先看一個命題:將圓分為n(n≥2)個扇形，有m種不同顏色可供選擇，每個扇形用m種不同顏色之一染色，要求相鄰扇形所染的顏色不同，問有多少種染色方法?

設有an種方法，將扇形按順時針編號a1、a2…an，從a1開始依次對扇形染色，使得除a1和an外，相鄰扇形不同色，得到m(m-1)n-1種不同的染色方法.這些方法分為兩類，a1和an不同色，有an種;a1和an同色，有an-1種。因此，an+an-1=m(m-1)n-1.不難求得:an=(m-1)(-1)n+(m-1)n………(*)

先排1區，從4種花中選出1種栽種在1區，有4種.把剩下的5個區視為一個圓環，5個部分和3種花，令n=5，m=3，則這5個部分栽種方法為(m-1)(-1)n+(m-1)n=-2+32=30，故不同的栽種方法有共有4×30=120種.

解法2:將6個區域分4組，不同組栽種不同顏色的花，同一組栽種同一顏色的花.因為區域1與其它5個區域都有公共邊，所以為了栽種方案合乎題意，分在同一組的區域至多只能有2個.因而，由圖形可知，不同分組法有且只有5類，如下表(表中數字為區域號):

每一類分組法，都有A44種不同的栽種方法.應用加法原理，得到所有符合題意的不同栽種方法的種數為N=5A44=120.

解法3 :按區域的順序，依次安排各區域所栽種的花的顏色:第1區，可種4色花中的任一種，有4種不同的栽種法;接著，第2區，因與第1區相鄰，兩區花色必須不同，所以，第2區只能從3色花中任選一種栽種，有3種不同種法;跟著，第3區，因與第1、2區都有邊界，所以，只有2種不同栽種法;隨后，第4區，與2區無邊界，與1、3區都有邊界.因此，可分兩類情形:

第一類:在第4區中栽種與第2區同一色的花，有1種栽法;至此，只栽種了3種不同顏色的花，因此，第5、6區域，應有一個區域栽種第4種顏色的花，而另一區域可選的花色只有1種(這是因為與之相鄰的三個區域，已種上不同顏色的3種花). 從而，在第5、6區域栽花的不同方式有2種;

第二類:在第4區域中栽種與第2區域不同顏色的花，有1種栽法;不過，與第一類不同的是:至此，4種不同顏色的花都被栽種了.往后，第5區域栽花有兩種選擇:一種是栽與第2區域同色花，緊接著，第6區域有2種栽種方法;第五區域另一種栽花法，是栽種與第2區域不同顏色的花，只有1種選擇(因為它不能與1、4區域同色)，緊接著，由于1、2、5三個區域已栽種3種不同顏色的花，故第6區域只有1種栽花的選擇.

綜上，應用乘法原理和加法原理，得不同栽花的方法種數為N=4×3×2×(1×2+1×2+1×1)=120.

解法4:因為區域1與其它5個區域都有公共邊，所以當區域1栽種一種顏色的花之后，該顏色的花就不能栽于其它區域.因而可分兩步走，考慮如下:

第一步，在區域1中，栽上一種顏色的花，有4種栽法;

第二步，在剩下的五個區域中，栽種其它三種顏色的花.為此，可將2至6號五個區域分成3組，使同一組中的不同區域沒有公共邊.這樣的分組法有且只有5類，如下表(表中數字為區域號):

對每一類分得的3個組，將3種顏色的花分別栽于各組，共有A33種栽法.

應用乘法原理和加法原理，得合乎題意要求的不同栽種方法的種數為N=4×5A33=120.

解法5:由于第1、2、3區兩兩都有邊界，所以這3個區所栽的花，彼此必須不同顏色.因而，第一步可從4種顏色的花任取3種分別栽在這3個區域上，共有C34A33種栽法. 其次將另一顏色的花栽于4、5、6三個區中的一個區或兩個區，即分為兩類情形:

第一類:栽在4、5、6的一個區域中，有3種情形:

情形1:栽于4區，則6區只有一種顏色的花可栽(因為必須不同于4、1、2區的顏色)，進而，5區周邊三個區域已栽上3種不同顏色的花，故5區也只有一種顏色的花可栽;

情形2:栽于6區，則與情形1同理，4、5區域分別只有1種顏色可栽;

情形3:栽于5區，由于5、1、2三個區已栽上不同顏色的花，6區只有1種栽法;同理，4區也只有1種栽法.

第二類:栽于4、5、6中的兩個區，只有栽于4、6兩個區域的一種情形，這時5區有2種栽法(因為5區的周邊只有兩色花).

綜上，應用乘法原理與加法原理，得不同栽種方法的種數為N=C34A33(1×1+1×1+1×1+2)=120.

解法6:分兩類情況考慮:

第1類:第1、2、3、5等四個區域栽種不同顏色的4種花，共有P44種栽法.對于每一種栽法，第4、6區分別都只有1種顏色的花可栽.

第2類:第1、2、3、5等四個區域栽種不同顏色的3種花，共有2C34P33種栽法.對于每一種栽法，要么2、5區栽同色花，要么3、5區栽同色花.對于前者，第6區有2種顏色的花可供選栽，第4區只能栽第4種顏色的花;對于后者，第4區有2種顏色的花可供選栽，第6區只能栽第4種顏色的花.即無論何種情形，第4、6區的栽法都是2種.

綜上，不同栽種方法的種數為N=A44+2×2C34A33=120.

責任編校 徐國堅