用“線定界,點定域”的方法作出平面區(qū)域

線性規(guī)劃是一個相對獨立、難度不大的內(nèi)容，一般在每年的高考中都會有考查.在高考中線性規(guī)劃的主要考查形式是“利用線性規(guī)劃求最值”，但求最值必須通過可行域來實現(xiàn)，即作出正確的平面區(qū)域是第一要務(wù).因此，能熟練利用“線定界，點定域”的方法作出平面區(qū)域是基礎(chǔ).“線定界，點定域”作出平面區(qū)域的一般方法為:

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出直線Ax+By+C=0;

(2)在直線的一側(cè)任取一點P(x0，y0)，特別地，當(dāng)C≠0時，常把原點(0，0)作為特殊點;

(3)若Ax0+By0+C>0，則包含點P的半平面為不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域，不包含點P的半平面為不等式Ax+By+C<0所表示的平面區(qū)域.

例1 畫出不等式組x-2y+1>0，x+2y+1≥0，1≤|x-2|≤3表示的平面區(qū)域.

思路點撥 要作出不等式組表示的平面區(qū)域，就需要先分別作出各不等式表示的區(qū)域，然后再取這些區(qū)域 的公共部分.具體為:(1)先在平面中作出直線x-2y+1=0(虛線)，將原點代入x-2y+1=1>0成立，所以，包含原點一側(cè)的區(qū)域就是x-2y+1>0的區(qū)域;(2)作出不等式x+2y+1≥0的區(qū)域為含原點的直線一側(cè)(實線);(3)作出不等式1≤|x-2|≤3即-1≤x<1或3

上述步驟中的易錯點及解決方法:

(1)作錯直線方程.我們知道直線可由兩點確定，因此可通過找直線上的兩點來確定直線的位置，一般找坐標(biāo)軸上的兩點.

(2)作錯直線的虛與實.應(yīng)牢記不等式中是否有等號，當(dāng)不等式中含有等號時，應(yīng)將直線畫成實線，否則應(yīng)為虛線.

(3)找錯平面區(qū)域.可通過找直線兩側(cè)的點來驗證，一般若直線經(jīng)過原點，則可取坐標(biāo)軸上的點，否則就找原點.

例2 若直線ax+by-3=0與圓x2+y2+4x-1=0切于點P(-1，2)，集合M={(x，y)|x≥0，y≥0，a≤x+y≤b}，求集合M中元素圍成圖形的面積.

思路點撥 要得到集合M的圖形的面積，必須先知道集合M的圖形形狀，因此需得到a，b的值，然后就是線性規(guī)劃的問題了.解題具體步驟為:(1)由直線與圓相切得-a+2b-3=0，=，解得a=1，b=2，所以集合M={(x，y)|x≥0，y≥0，1≤x+y≤2};(2)按“線定界，點定域”的方法得到集合M元素圍成的圖形如圖2;(3)其面積可以看成是一個大三角形的面積減去一個小三角形的面積，即×2×2-×1×1=.

上述步驟中的易錯點及解決方法:

(1)求錯圓心及半徑，或記錯點到線的距離公式.應(yīng)牢記圓(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為(a，b)，半徑為r;點(x0，y0)到直線ax+by+c=0的距離為，特別注意不要忘記絕對號.

(2)無法理解集合M的圖形.其實，從集合M的代表元素可以看出集合M是點集，因此，所有元素能組成圖形，并且組成的圖形就是不等式組x≥0，y≥0，1≤x+y≤2的平面區(qū)域.

練習(xí) 若A為不等式組x≤0，y≥0，y-x≤2表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為( )

A. B. 1C. D. 2

思路點撥 作出不等式組x≤0，y≥0，y-x≤2的平面區(qū)域如圖3所示，則所求區(qū)域的面積就是夾在兩條平行線x+y=-2和x+y=1之間的四邊形的面積，與例2一樣，可以看成是一個大三角形的面積減去一個小三角形的面積，即×2×2-××=，故選C.

責(zé)任編校徐國堅