一種基于灰色關聯分析和超效率DEA的MCDM模型

摘 要:針對多屬性決策問題(MCDM)權重難以客觀確定的缺陷，提出一種基于灰色關聯分析和超效率數據包絡分析(DEA)的混合算法研究MCDM。對MCDM進行建模，利用灰色關聯分析計算各屬性的點關聯度，為了得到各屬性的相對最優灰關聯度并將其充分排序，利用超效率DEA改進灰色關聯分析模型。該混合算法能夠更加客觀地確定權重向量，并且突破權重和為1的限制，使得均一的權重更加靈活;同時，可以得到各屬性的相對最優灰色關聯度，超效率DEA能夠增強模型對灰關聯度的分辨能力。通過北京市商品房空置影響因素的實例分析驗證了該混合算法的有效性。

關鍵詞:灰色關聯分析; 超效率數據包絡分析; 權重; 多屬性決策; 空置商品房

中圖分類號:TP39

文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)02-0526-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.02.034

MCDM model based on gray correlation analysis andsuper-efficiency DEA

LI Ling1， LIU Jian-yong1， FU Cheng-qun1， WU Zhong-jun1，2

(1. Engineering Institute of Engineering Corps， PLA University of Science Technology， Nanjing 210007， China; 2. Command Engineering Institute of Chemical Defense， Beijing 102205， China)

Abstract:In view of the defect that the weights of multiple criteria decision making (MCDM) are hard to determine objectively， this paper proposed a hybrid model combined gray correlation analysis with super-efficiency DEA (data envelopment analysis). On the basis of gray correlation analysis， it calulated the point correlation degree of each criterion. In order to obtain relative optimal gray correlation degree of each criterion and rank them completely， suggested the super-efficiency DEA method. The hybrid model could ascertain the weight vector more objectively. It broke through the constraint that the sum of each weight vector was equal to 1， thus the homogeneous weight could be more flexible. The improved model could lead to relative optimal gray correlation degree of each criterion. Super-efficiency DEA could enhance the discernment ability as well. It stu-died the influence factors of vacant commercial housing in Beijing city.The results show that the correlation order of influence factors. The numerical example illustrates the availability and efficiency of the hybrid model.

Key words:gray correlation analysis; super-efficiency DEA; weight; MCDM; vacant commercial housing

0 引言

MCDM廣泛應用于生產計劃制定、生產效率分析、影響因素決策等多種問題。在MCDM問題中，決策者通過分析比較不同性質的屬性對相似決策單元進行評估及排序[1， 2]。灰色關聯分析方法是一種典型的屬性辨識和解析工具，它根據分析對象的取值頻率與常見分布取值頻率的相似程度來判斷評價對象的分布規律。它具有所要求的試驗數據少、易于流程化、計算過程簡單等特點[3， 4]。然而，傳統的灰色關聯分析方法在解決MCDM時常常出現屬性權重難以客觀確定的問題，而且權重系數一旦被確定則用于所有決策單元的灰關聯度計算，這種均一性的權重往往不能得到最優結果。

DEA是一種評價決策制定單元(DMU)相對有效性的非參數方法，是一種常用且重要的分析工具和研究手段[5， 6]。它能夠與灰色關聯分析很好地結合，通過求解各DMU和數據有效前沿面的相對距離確定各灰關聯屬性的相對最優權重系數及關聯度。然而，傳統的CCR(charnes， cooper and rhodes)模型得到的相對最優關聯度可能存在同時有效的情況，即效率值都為1。在這種情況下，對DMU的比較不能將其充分排序，本文利用一種改進的DEA模型，即超效率DEA模型解決這一問題[7~9]。與一般的DEA模型不同，超效率DEA將評價單元的參考集去除被評價單元本身，將評價單元與其他所有評價單元的線性組合作比較，其得到的超效率值能夠將相對最優灰關聯度進行充分排序，具有更好的分辨能力。本文還通過北京市商品房空置影響因素的實例分析驗證了該混合算法的有效性。

1 基于灰色關聯分析的MCDM模型

1.1 MCDM問題

對于MCDM問題，通過分析比較不同屬性對決策單元進行評估研究，其數學模型表示如下:

A1 A2 … AnD=C1C2Cmx11x12…x1nx21x22…x2nxm1xm2…xmn(1)

Y=[y1y2…yn](2)

ω=[ω1ω2…ωn](3)

其中:A1，A2，…，An為n個觀察點;C1，C2，…，Cm為m個屬性;xij為第i個屬性、第j個觀察點的值;ω為權重向量，ωk為第k個觀察點的權重。

1.2 基于灰色關聯分析的MCDM建模

由上述定義，將數據進行如下處理:

x1(0)(k)=x1k/x1; k=1，2，…，n

x2(0)(k)=x2k/x2; k=1，2，…，n



xm(0)(k)=xmk/xm; k=1，2，…，n

其中:xi為第i個屬性的n個觀察點的平均值，得到m個新的序列

X1={x1(0)(1)，x1(0)(2)，…，x1(0)(n)}

X2={x2(0)(1)，x2(0)(2)，…，x2(0)(n)}



Xm={xm(0)(1)，xm(0)(2)，…，xm(0)(n)}

上述均值化過程能夠消除不同屬性量綱的影響，同樣對母屬性進行均值化得到:

X0={x0(0)(1)，x0(0)(2)，…，x0(0)(n)}

其中:x0(0)(k)=yk/Y(k=1，2，…，n)，Y為母屬性的n個觀察點的平均值。

令M={1，2，…，m}，N={1，2，…，n}，得到

Δ1=mini∈M{mink∈N|x0(0)(k)-xi(0)(k)|}

Δ2=maxi∈M{maxk∈N|x0(0)(k)-xi(0)(k)|}

Δ3=|x0(0)(k)-xi(0)(k)|

d0i(k)=Δ1+λΔ2Δ3+λΔ2;k=1，2，…，n(4)

其中:d0i(k)為Xi和X0在第k個觀察點的相對距離，稱其為Xi和X0在第k個觀察點的關聯度;λ為分辨系數，通常取0≤λ≤1，一般取λ=0.5。由權重ωk≥0，k∈N，令r0i=∑nk=1ωkd0i(k)，i∈M，r0i即為Xi和X0的關聯度，它反映了第i個屬性和母屬性之間的關聯程度，通過比較r0i可以對各子屬性與母屬性之間的關聯程度進行排序，為決策者提供所需信息。

為了計算r0i，需要確定灰關聯度權重向量ωk。在確定權重向量時主要存在以下問題:

a)通常的方法是采用專家打分、經驗取值及AHP方法，然而這些方法人為因素較大，得到的結果往往過于“主觀性”。

b)一旦權重系數被確定，則將其用于每個屬性的關聯度計算，這種均一性的方法使得權重系數對某些屬性有利，而對其他屬性不利，因此所得關聯度缺乏公正性。

c)傳統的方法要求權重和為1，這一方法是基于統一權重的思想，各屬性的關聯度不一定最優。

利用DEA方法，將其與灰色關聯分析結合，可以解決以上問題。

2 基于超效率DEA的灰關聯分析模型

2.1 超效率DEA

傳統的CCR模型中，當多個DMU為有效時，則會出現這些DMU之間無法比較的問題。超效率DEA模型的參考集不包括被評價的偽裝方案DMU0本身，將評價單元與其他所有評價單元的線性組合作比較。將某個DMU能增加其投入而保持相對有效性的最大比例值稱為超效率值，該值顯然可能大于1。在CCR模型中結果為有效的DMU，通過比較超效率化得到的超效率值可解決DMU充分比較的問題。

設有n個DMU，輸入指標數為m，輸出指標數為s。Xj=(x1j，x2j，…，xmj)T為輸入數據集，Yj=(y1j，y2j，…，ysj)T為輸出數據集，其中j=1，2，…，n。評價單元第j0(下標為0，下同)決策單元DMU0的超效率DEA模型(相對于DEA(CCR)模型而言):

max h0=∑sr=1μryr0

s.t.∑mi=1ωixi0=1

∑mi=1ωixij-∑sr=1μryrj≥0

j=1，2，…，n(j≠0)

ωi，μr≥0，i，r(5)

2.2 超效率DEA改進灰色關聯分析

為計算r0i，利用上述超效率DEA模型對灰色關聯分析進行改進。構造輸入值均為1的m維輸入向量，將MCDM中的每一個屬性看做一個DMU，其相應輸出值為該點的點關聯度值。輸入/輸出結構如圖1所示。

基于超效率DEA模型改進灰色關聯分析，得到以下混合模型:

max r0i=∑nk=1ωkd0i0(k)

s.t. ω0×1=1

ω0×1-∑nk=1ωkd0i(k)≥0

i=1，2，…，m(i≠i0)

ωk，ω0≥0，k(6)

其中:ω0為輸入值權重，ωk(k=1，2，…，n)為輸出值權重，即為灰色關聯度中各屬性點的權重，每一屬性分別對應n個權重值。式(6)可以簡化為以下模型:

max r0i=∑nk=1ωkd0i0(k)

s.t. ∑nk=1ωkd0i(k)≤1

i=1，2，…，m(i≠i0)

ωk≥0，k(7)

求解式(7)得到最優解為ωk及r0i，分別為第i0個屬性的權重和相對最優灰色關聯度。在傳統的灰色關聯分析中，要求權重和為1，當權重被確定后，用于每一屬性的關聯度計算，這樣導致了無法得到每一屬性的相對最優關聯度。式(7)克服了以上缺點，對于每一屬性，模型給出相應的權重向量及相對最優灰色關聯度，結果更加客觀、合理。 對m個屬性計算m次式(7)，對得到的r0i值進行排序，可以得到該m個屬性與母屬性的關聯度排序，即r0i值越大則子屬性與母屬性越相關。

通過對MCDM問題進行數學描述，提出利用灰色關聯分析方法對其進行建模，進而利用超效率DEA方法對灰關聯模型進行改進優化。這樣兩階段建模改進MCDM得到的混合模型不但發揮了灰色系統所需數據少、計算簡單的優點，還利用超效率DEA克服了權重的弊端。同時，混合模型在最優關聯度及其分辨與排序上更具優勢，是一種較好的解決MCDM問題的方法。

3 實例分析

商品房空置面積的影響因素是復雜的，它受經濟、社會、人口、環境、政策等因素的影響，其主要影響因素如圖2所示。

根據北京市2007年國民經濟和社會發展統計公報及北京市統計年鑒，2000—2007年北京市空置商品房影響因素如表1所示。屬性C1~C8為影響因素子屬性，最后一行為商品房空置面積數據，作為灰色關聯分析的母屬性。

表1 2000—2007年北京市商品房空置面積及影響因素

影響因素20002001200220032004200520062007

C1/元/平方米4919.05062.04764.04737.05052.96274.08280.012436.0

C2/億元3161.03710.54330.45023.86060.36886.37870.39006.2

C3/萬平方米1365.61707.42384.42593.73067.03770.93193.92891.7

C4/億元522.1783.8989.41202.51473.31525.01719.91995.8

C5/元10349.711577.812463.913882.615637.817653.019978.021989.0

C6/萬人1058108011181151118712861333.31379.9

C7/億元2923.23536.34389.75293.56122.38315.89515.09155.3

C8/平方米/人16.7517.6218.2018.6719.0919.4520.0620.30

商品房閑置面積/萬平方米627.4774.0919.01123.41044.11374.21039.71136.2

對表1數據進行灰色關聯分析，得到各屬性的點關聯度，分別利用傳統灰關聯分析方法、CCR模型和本文提出的混合模型進行權重的優化和關聯度計算，結果及對比如表2所示。對于灰關聯分析，基于傳統權重確定方法，八個影響因素的排序為

C2C5C3C7C1C6C8C4

其中:“”表示優于，即子屬性與母屬性的關聯程度更接近。可以看出，商品房平均售價C1的關聯度過小，不符合市場實際情況。對于CCR模型，C1、C2、C3、C5及C7的關聯度均為1，因此無法將其充分排序。利用超效率DEA模型對其進行優化，可以將其區分開來，該八個影響因素的排序為

C2C1C5C3C7C6C4C8

可知，地區生產總值、商品房售價及城鎮居民人均每年可支配收入為影響商品房空置面積最主要的因素，城鎮人口總數、房地產開發投資額及城鎮居民人均住宅使用面積對商品房空置面積的影響較小。

表2 超效率DEA改進灰色關聯分析結果及比較

影響因素20002001200220032004200520062007灰色關聯度基于CCR的灰關聯度基于超效率DEA的灰關聯度

C110.8310.6700.5490.6120.5240.9750.5840.71811.241

C210.9440.9140.8330.7990.9880.5470.4920.81511.464

C310.9840.7810.9020.6340.6380.5960.7660.78811.158

C410.7900.7000.6620.4650.5790.3810.3330.6140.8120.812

C510.8970.7940.6910.8680.6750.7860.7620.80911.236

C610.8250.7110.5890.6500.5080.7170.6650.7080.9160.916

C710.9770.9650.9800.7000.6060.3860.4320.75611.133

C810.8470.7270.5980.6670.4940.6860.6270.7050.4620.462

4 結束語

本文研究了MCDM問題，利用灰色關聯分析求解各屬性的點關聯度，并用超效率DEA模型對灰色關聯分析算法進行改進，優化了權重向量及灰色關聯度，得到的混合模型具有以下優點:

a)它克服了MCDM權重向量難以客觀確定的問題，利用DEA這一非參數估計方法改進模型使得權重更加客觀。

b)傳統算法中不同觀察點的所有屬性對應同一權重，且同一屬性在各觀察點的權重和為1，文中混合算法所得權重突破了權重和為1的限制且更加靈活，能夠得到各屬性的相對最優灰色關聯度。

c)超效率DEA能夠提高傳統DEA模型的分辨能力，將同為DEA有效的關聯度值進行充分排序區分。

進一步研究方向可以將灰色關聯分析擴展到模糊數范圍，對于觀察點的關聯度分析也可以考慮利用超效率DEA進行優化。

參考文獻:

[1]YUN Y B，NAKAYAMA H，ARAKAWA M. Multiple criteria decision making with generalized DEA and an aspiration level method[J]. European Journal of Operational Research， 2004，158(3):697-706.

[2]MAVROTAS G，TRIFILLIS P. Multicriteria decision analysis with minimum information: combining DEA with MAVT[J]. Computers Operational Research， 2006，33(8):2083-2098.

[3]LIU Gou-sheng，YU Jian-guo. Gray correlation analysis and prediction models of living refuse generation in Shanghai city[J]. Waste Mana-gement， 2007，27(3):345-351.

[4]GUAN Xin，HE You，YI Xiao. Gray track-to-track correlation algorithm for distributed multitarget tracking system[J]. Signal Processing， 2006，86(11):3448-3455.

[5]LIU Wen-bin，SHARP J，WU Zhong-min. Preference， production and performance in data envelopment analysis[J]. Annals of Operation Research， 2006，145(1):105-127.

[6]LIANG Liang，YANG Feng，COOK W D，et al. DEA models for supply chain efficiency evaluation[J]. Annals of Operation Research， 2006，145(1):35-49.

[7]LI Ling，LIU Jian-yong，FU Cheng-qun，et al. The camouflage evaluation model based on slack-based measure of super-efficiency DEA[C]//Proc of the 2nd International Symposium on Intelligent Information Technology Application. Los Alamitos: IEEE Computer Society， 2008:181-185.

[8]LIU Jian-yong，LI Ling，WU Zhong-jun， et al. The assessment model of service performance for the third party logistics based on imprecise super-efficiency DEA[C]//Proc of the 8th International Conference of Chinese Logistics and Transportation Professionals. Virginia: ASCE Press， 2008:3603-3608.

[9]YAO Chen. Ranking effcient units in DEA[J]. Omega， 2004，32(3):213-219.