顧及參考點點位誤差的八方向模糊不均勻劃分模型

摘 要:基于經典模糊集建立了模糊方向模型，在四方向模型中各方向是等角劃分;在八方向模型中四個主要方向各占60°，四次要方向各占30°。提出建立模糊方向區間來描述目標地物與參考點之間的方向關系，用一對帶有符號的隸屬度來表示目標在原子方向的隸屬關系，使方向關系的描述更精細。利用二型模糊集理論建立了顧及參考點點位誤差的八方向模糊不均勻劃分模型，討論了方向主隸屬度成員函數和隸屬度的不確定性。由于參考點點位誤差引起方向隸屬度誤差，增加了方向關系的不確定性。該模型充分考慮了參考點點位誤差、認知習慣和目標對象在參考點各原子方向的權重，顧及了多方面確定或不確定的信息，在方向關系近似描述中有較大的應用前景。

關鍵詞:八方向不均勻模糊劃分模型; 二型模糊集; 模糊方向區間;位置誤差; 方向隸屬度誤差

中圖分類號:TP208

文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)02-0479-04

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.02.020

8-direction asymmetry fuzzy model considering reference point’s location error

GUO Ji-fa1，2， WANG Rui-fang3， PENG Guang-xiong2

(1.Graduate School， Chinese AcademyofSciences， Beijing 100049， China;2.Institute of Remote Sensing Applications， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100101， China; 3. Zhengzhou Technical School for Surveying Mapping， Zhengzhou 450005， China)

Abstract:In 4 fuzzy directions model the space was divided into four equal angle partitions， each main direction has 60 degrees and each secondary direction has 30 degrees in 8 fuzzy directions model. This paper proposed a new method for describing the cardinal directions between reference point and target object through constructing fuzzy direction interval value， used a couple of membership grade values with sign for describing direction to describe the membership in an atom-direction， this method was more elaborate than others. Introduced an 8-direction asymmetry fuzzy model based on type-2 fuzzy sets which took the location error of reference point into account， discussed the primary membership function and the uncertainty of primary membership grade too. The uncertainty of cardinal direction increase because of the direction membership grade error conduced by location error of reference point. This model took the location error of reference point， considered cognize habit and ratio about object in each direction into account， certain and uncertain information in this model， and it should have wonderful application potential in spatial relationship description and reasoning.

Key words:8-direction asymmetry fuzzy model; type-2 fuzzy sets; fuzzy direction interval value; location error; direction membership grade error

0 引言

由于地理信息固有的不確定性，人們在日常生活中表征空間方向的 “東”“南”“西”“北”等方向概念的模糊性，要求空方向關系表達和推理也是模糊的。文獻[1，2]總結比較了目前用于描述空間方向關系的各種模型，包括錐形模型、最小外切矩形模型、2D-String等投影模型、Freksa-Zimmermann模型、方向關系矩陣模型和方向Voronio圖模型。文獻[3]基于錐形的方法，利用梯形隸屬函數建立空間方向關系的模糊表達。杜世宏等人[4，5]對方向關系矩陣模型中原子方向分界線進行模糊化來對空間進行模糊劃分，對于同一區域，建立細節方向關系描述模型。文獻[6]利用目標對象與方向關系矩陣模型中原子方向分界線的拓撲關系，對方向關系矩陣模型進一步細化。文獻[7]利用目標對象在原子方向區域的面積比進行模糊化。文獻[8]用等寬度帶劃分空間的方法討論了多尺度下的空間方向問題。

根據文獻[1，9]和筆者的研究認為，目前在空間方向關系描述中存在以下問題:

a)目前常用的模型如錐形模型、MBR模型均是對空間的硬性劃分;一些文獻采用的以一定寬度的區間作為主方向的過渡帶或者作為模糊區間，而這一做法帶有主觀性。

b)對于原子方向內部目標實體的方向隸屬程度不能很好地表達。

c)沒有為各原子方向建立一套有效的模糊隸屬函數。由于空間數據位置誤差，由此建立的原子方向隸屬度也應有誤差，但是目前的研究沒有對模糊方向隸屬度的不確定性進行討論。

d)地理實體的方向關系的表達與自然語言描述不符。

空間方向關系框架模型需要考慮參考對象、目標對象、觀測者的位置、框架模型對空間的劃分，還需要研究各方向片之間的關系。筆者首先利用模糊理論建立了參考點無誤差的八方向模糊不均勻劃分模型。由于空間數據固有的不確定性，利用二型模糊集能夠顧及隸屬度誤差的優勢，建立了考慮模糊方向隸屬度誤差的八方向模糊不均勻劃分模型，詳細討論了主隸屬函數的建立方法，并對模糊方向隸屬度的不確定性進行了評定，筆者認為利用二型模糊理論分析空間對象間的方向關系更合理。

1 八方向不均勻模糊劃分模型

1.1 四方向模糊劃分

空間四方向模糊劃分指過參考點的左斜線、右斜線，將空間分為東、南、西、北四塊區域，如圖1(a)所示。各方向的隸屬函數如圖1(b)所示，其中方向北的隸屬函數可以用式(1)表示。類似地通過四方向的隸屬函數可解得東、南、西、北四方向的模糊劃分角度分別為π4、34π、54π、74π，分界處的隸屬度均為0.5。任意方位角在[0，π4]、[π4，34π]、[34π，54π]、[54π，74π]、[74π，2π]的隸屬度可通過方向隸屬函數求得，主要屬于某方向由式(2)確定。

μN(θ)=-2π(θ-π2)

0≤θ≤π2

0

π2<θ≤32π

2π(θ-32π)

32π<θ≤2π(1)

μθ=max(μA(θ)，μB(θ))(2)

式(2)中，A，B∈{N，E，S，W}，A≠B。

1.2 八方向不均勻模糊劃分模型

空間八方向模糊劃分可以認為是四方向模糊劃分的細化，也可以認為是突出圖1(a)中隸屬度為0.5附近的角度區間。取μNE(θ)=2×∧(μN，μE)，μSE(θ)=2×∧(μS，μE)，μSW(θ)=2×∧(μS，μW)，μNW(θ)=2×∧(μN，μW)，得到NE、SE、SW、NW四個方向的隸屬函數，其中東北方向的隸屬函數可用式(3)描述。

μNE(θ)=4πθ

0≤θ≤π4

-4π(θ-π2)

π4<θ≤π2

0

π2<θ≤2π(3)

通過聯立北和東北方向隸屬函數，可求得北和東北方向的模糊劃分，類似地可求八元方向的模糊劃分，如表1所示。在各分界點的隸屬度均為0.67，八方向對空間的劃分如圖2所示。

表1 八方向模糊區間劃分

NNEESESSWWNW

區間[0，π/6]、[(11/6)π，2π][π/6，π/3][π/3，(2/3)π][(2/3)π，(5/6)π][(5/6)π，(7/6)π][(7/6)π，(4/3)π][(4/3)π，(5/3)π][(5/3)π，(11/6)π]

夾角60°30°60°30°60°30°60°30°

要確定某方位角屬于某方向，首先用各原子方向的隸屬函數求得任意方位角在八區間的隸屬度，然后利用式(4)確定屬于某方向。

μθ=max(μA(θ)，μB(θ)，μC(θ))(4)

式(4)中，A，B，C∈{N，NE，E，SE，S，SW，W，NW}，A≠B≠C，μθ∈[0.67 1]。

這種劃分是基于隸屬度的模糊劃分，各原子方向所占的角度不一樣。其中N、E、S、W各占60°，而NE、SE、SW、NW各占30°。所以該模型不是空間方向的硬性劃分，突出了東、南、西、北四方向的主要地位，符合人們的習慣。

1.3 以點為參考的模糊方向關系細節描述

點與點的方向關系較容易。對于點與線和面的方向關系，文獻[8]用方向關系矩陣來描述方向關系，顯然，當兩個目標有相同的面積，在某原子方向上也有相同的面積時，兩個目標的方向將不能很好地區分。而在日常生活中，人們通常以“北偏東”的語句來描述近似方向關系。由上文可知，當直線位于方向軸線上時隸屬度為1;當直線不在方向軸線上時，點線方向關系的隸屬度是一個區間。

定義1 在點線方向關系中，除了直線在N、NE、E、SE、S、SW、W、NW各方向軸上，在其他區域均為一個模糊區間，這個區間為模糊方向區間。模糊方向區間表示為

[a b]，0.67≤a≤1，0.67≤b≤1，∈{+ -}

其中:“+”“-”表示方向軸的順時針方向和逆時針方向。

以參考點為中心作一參考圓，參考圓的半徑視地圖尺度而定。直線在參考圓上的投影構成了直線方向范圍，如圖3(a)所示。通過參考圓求得直線在參考圓上投影的起止角θ1和θ2，通過八原子方向的隸屬函數確定起止角在各方向的隸屬度，然后利用式(4)確定直線各部分所處的方向，如圖3(b)所示。

通過模糊方向區間數，不同的地理實體在原子方向內的方向關系可以很好地區分。點面方向關系的確定與點線方向關系確定方法類似。

2 擴展的八方向模糊不均勻劃分模型

由于參考點不可避免地存在點位誤差，那么在參考點的各方向均存在一定的偏差。在GIS的矢量數據中，二維隨機點的位置不確定性常用誤差橢圓來度量，參考點在任意方向θ上的位置偏差可用誤差橢圓在θ方向上兩條切線之間的范圍表示，如圖4(a)所示。為了求得方向偏差，兩條方向切線與參考圓相交，得到一段圓弧，該圓弧對應的夾角即為方向偏差，圖4(a)中的θN、θNE、θE就是參考點在N、NE、E三個方向上的方向偏差。

2.1 任意方向角偏差的計算

以(x0，y0)為圓心、橢圓傾斜角的負值(-θ0)旋轉誤差橢圓，得到標準誤差，如圖4(b)所示。相應的任意方向角為θ′=θ-θ0，該方向上切線斜率為K=tan(θ′)。該點對應的誤差橢圓方程為

(x-x0)2E2+(y-y0)2F2=1(5)

該誤差橢圓上任意點的斜率為

K=F2E2×x-x0y-y0(6)

取K=K′，聯立方程式(5)和(6)，即可求得橢圓上兩個與圓曲線斜率相等的點:

x=±E2K′(EK′)2+F2+x0(7)

y=±F2(EK′)2+F2+y0(8)

求得兩點t1、t2，由K′和t1、t2得到一組平行線l1、l2:

l1:y=K′×(x-xt1)+yt1

l2:y=K′×(x-xt2)+yt2(9)

兩平行線的距離為dθ=K′×(xt2-xt1)+yt2-yt11+(K′)2。將點t1、t2投影到單位圓，可以得到圓弧t1t2，因為弧t1t2很短，可用dθ代替弧t1t2的長度;因為圓為單位圓，那么t1t2的弧長可表示為t1t2的圓心角。dθ即是參考點在任意方向θ上的方向偏差τθ。

2.2 方向隸屬函數的不確定性分析

參考點的點位誤差在任意方向軸上均服從正態分布，且方差為dθ/2。投影到參考圓上后得到的方向偏差也服從正態分布，且方差為τθ/2。圖5(a)為模糊方向東的隸屬度概率分布。那么對于任意方位角θ，在[θ-τθ/2，θ+τθ/2]，均有相同的隸屬度μθ。在圖5(a)中將該區間投影到水平面上，即可得到如圖5(b)所示的圖形。

從圖5(b)可以看出，任意方位角對模糊方向東的隸屬度μ(θ)不是惟一值，而是一個隸屬區間[μl(θ)，μh(θ)]，說明隸屬度存在誤差。

經典模糊數學不能處理這種隸屬度帶有誤差的模糊集。針對這一缺陷，美國控制論專家L.A.Zadeh針對數據的不確定性，于1976年再次提出了模糊二型理論，經過數十年的研究，二型模糊理論已成功應用于生物、通信、金融和自動控制等領域。文獻[10]給出了二型模糊集的定義和主隸屬度不確定性的度量方法。二型模糊集可分為二型一般模糊集合和二型區間模糊集。其中二型一般模糊集是指二型模糊集中次隸屬成員函數為一般函數的模糊集;當次隸屬函數是一型區間模糊集時成為二型區間模糊集[11]。在圖5(a)中以垂直x軸作一豎直面與曲面相交，其交線是一任意曲線，該曲線即為二型模糊集的次隸屬函數，顯然，該方向模糊集是二型一般模糊集;圖5(b)中多邊形所圍的區域即為該二型模糊集的主隸屬函數的不確定性區域。

1)確定不確定多邊形的上邊界和下邊界

多邊形的上邊界通過式(10)和(11)確定。多邊形的下邊界通過式(12)和(13)確定。當π2-dπ22≤θ≤π2+dπ22時，隸屬度為1，稱為左、右肩;當-d02≤θ≤d02，π-dπ2≤θ≤π+dπ2時，隸屬度為0，稱為左、右底。

μLT(θ)=2π(θ+dθ2)，-d02≤θ≤π2-dπ22(10)

μRT(θ)=-2π(θ-π-dθ2)，π2+dπ22≤θ≤π+dπ2(11)

μLB(θ)=2π(θ-dθ2)，d02≤θ≤π2+dπ22(12)

μRB(θ)=-2π(θ-π+dθ2)，π2-dπ22≤θ≤π-dπ2(13)

2)隸屬函數的簡化

從上面分析可以看出，任意方位角的次隸屬函數是一復雜曲線，難以用數學公式表示，在實際應用中，須對其簡化。目前對一般二型模糊集的求解是其研究的一個難點，尚未有一種公認的合理方法。對于一般二型模糊集的簡化通常有兩種方法[12]:a)將一般二型模糊集簡化為二型區間模糊集，然后對主隸屬函數離散化;b)將一般二型模糊集離散化，包括對主隸屬函數和次隸屬函數的離散化。在此關心的是方向隸屬度的誤差，因此，可以采用第一種方法。

3)方位隸屬度的不確定性的度量

顯然，對于任意角θ屬于北的隸屬度的不確定性，可用上邊界與下邊界的差值來度量，可用式(14)計算。

將該方法擴展到N、NE、E、SE、S、SW、W、NW八個模糊方向，確定各模糊方向隸屬度的上邊界、下邊界、左右肩和左右底，各方向的模糊隸屬度分布如圖6所示。圖中粗線即為隸屬度上界，細線即為隸屬度下界，通過兩條曲線可確定參考點在任意方向上的方向隸屬度誤差。

U=μLT(θ)

-d02≤θ≤d02

μLT(θ)-μLB(θ)d02≤θ≤π2-dπ22

1-μLB(θ)π2-dπ22≤θ≤π2

1-μRB(θ)π2≤θ≤π2+dπ22

μRT(θ)-μRB(θ)π2+dπ22≤θ≤π-dπ2

μRT(θ)π-dπ2≤θ≤π+dπ2

(14)

3 實例分析

在圖3中，若不考慮參考點點位誤差，那么直線AB在N、NE、E方向的隸屬度如表2所示，在其他方向的隸屬度為0。

表2 點線八方向關系模糊區間

NNEE

區間[0.17，π/6][π/6，π/3][π/3，1.16]

隸屬度[0.89+，0.67+][0.67-，0.67+][0.67-，0.74-]

現考慮參考點點位誤差，參考圓半徑為20，當參考點協方差陣分別為D1=2.911.251.251.71和D2=10.913.253.254.71時，直線和參考點的方向關系分別如圖6(a)(b)所示。

在圖6中，虛線表示不考慮參考點點位誤差時的隸屬度分布，粗實線表示方向關系隸屬度下界，細實線表示方向關系隸屬度上界，由上界和下界圍成的區域描述了參考點的方向隸屬度誤差分布。直線AB上五個點的方向隸屬度及誤差如表3所示。

表3 直線的方向隸屬度誤差對比分析

參考點誤差

角度

隸屬方向

0.17

N

0.52

分界點

0.79

NE

1.05

分界點

1.16

E

2.911.251.251.71

隸屬度下界

隸屬度上界

隸屬度誤差

0.8440

0.9439

0.0999

0.6668

0.7419

0.0751

0.9323

1.0000

0.0677

0.6668

0.7279

0.0610

0.7074

0.7709

0.0634

10.913.253.254.71

隸屬度下界

隸屬度上界

隸屬度誤差

0.7995

0.9968

0.1972

0.6668

0.8169

0.1501

0.8526

1.0000

0.1471

0.6668

0.7896

0.1228

0.6797

0.7970

0.1173

當參考點協方差從D1增加到D2時，隸屬于N方向的端點A的隸屬度誤差從0.099 9增大到0.197 2，增量為0.097 3;隸屬于NE方向上內點的隸屬度誤差從0.067 7增大到0.147 4，增量為0.079 7;隸屬于E方向的端點B的隸屬度誤差從0.063 4增大到0.117 3，增量為0.053 9。

從上面的分析可以看出，當考慮參考點點位誤差時，次方向的隸屬度誤差比主方向的隸屬度誤差大，說明作為主方向過渡方向的次方向有比主方向更大的模糊性，這一分析結果與基于模糊熵的分析結果是一致的;同時可看出，當參考點誤差增大時方向隸屬度誤差增大，但是次方向隸屬度誤差增大更明顯，特別地，當參考點誤差為0時，方向隸屬度誤差為0，此時為八方向模糊不均勻劃分模型。

4 結束語

方向關系是重要的模糊空間關系。本文首先建立了八方向模糊劃分模型，通過定義模糊方向區間來詳細表達目標地物與參考點之間的方向關系。由于空間數據固有的不確定性，由此確立的空間目標間的方向關系也具有不確定性[13]，在進行空間關系模糊描述和推理時需要考慮參考點和目標點的不確定性。利用模糊二型理論建立了考慮參考點點位誤差的八方向模糊劃分模型，并對方向隸屬度的不確定性進行了估計。與其他模型相比，該模型具有如下特點:

a)基于隸屬度的八元模糊方向劃分不是等角劃分，其中N、E、S、W四個主要方向各占60°，而NE、SE、SW、NW次要方向各占30°，因此避免了其他模型中硬性劃分的缺陷，符合人們的習慣。

b)通過參考點的點位誤差可以求解模糊方向隸屬度的誤差，構建了考慮參考點點位誤差的八方向模糊劃分模型。

c)由于參考點點位誤差引起方向隸屬度誤差，增加了方向關系的不確定性，但這種增加的不確定性客觀存在，說明模糊方向的二型模糊集描述模型能客觀地描述模糊方向關系。

利用模糊數學給模糊對象建模時通常帶有一定的主觀性。模糊二型理論能夠描述主隸屬度的不確定性，增強了模型的客觀性。筆者認為利用模糊二型理論來進行模糊對象和方向關系的表示更符合實際情況。本文提出的擴展八方向模糊不均勻劃分模型為研究空間方向關系提供了一種新的思路，該模型較好地顧及了人們方向概念的模糊性、參考點點位誤差，符合人們的認知習慣。

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