基于小波變換和Tucker分解的彩色圖像數字水印

摘 要:提出了一種通過小波變換和Tucker分解將水印信息同時嵌入彩色圖像R、G、B通道的水印算法。首先對彩色圖像R、G、B三通道進行小波變換，然后將獲得的三個低頻系數構成三階張量，再經過Tucker分解后獲得核心張量，通過在核心張量中嵌入水印信息使得水印信息擴散到原彩色圖像的R、G、B三個分量中。通過實驗表明，本算法對于壓縮、噪聲、濾波、縮放等攻擊具有一定的魯棒性，并與在同樣嵌入規則下，直接將Tucker分解應用于彩色圖像的算法比較，該算法具有更好的穩定性。

關鍵詞:Tucker分解; 彩色圖像數字水印; 小波變換

中圖法分類號:TP391

文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)02-0798-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.02.112

Color image watermark based on DWT and Tucker decomposition

XIA Jian-ping， ZHOU Ji-liu， HE Kun， LIU Chang， WANG Dong-fang

(College of Computer Science， Sichuan University， Chengdu 610065， China)

Abstract:This paper proposed a new color image watermarking algorithm based on DWT and Tucker decomposition. Applied DWT to R，G，B channel correspondingly， and used three low frequent coefficients to construct a 3-level tensor. Embedding the watermark into the core tensor， which got form Tucker decomposition， could diffuse the watermark into R，G，B. The experiment results indicate that this algorithm is robust to compress，noise，filter and geometric distortion. And the algorithm is better than the only Tucker based color image algorithm in a certain extent.

Key words: Tucker decomposition;color image digital watermark;DWT

數字水印技術是將一種數字信息嵌入載體中，從而達到信息隱藏的目的。數字水印有很多應用，如版權保護、指紋識別、拷貝保護、廣播監控、數據鑒定、數據隱藏[1]。

魯棒性數字水印具有在經過信號處理和幾何變換后仍能從載體提取出水印信息的特點。許多的水印算法表明，在頻率域[2~6]添加水印信息，在魯棒性方面是優于在空間域添加水印信息的。在頻率域嵌入水印信息是通過將水印信息擴散到空間域所有像素點來增加水印的魯棒性，但是直接對頻率域信息修改可能對圖像質量影響較大。在文獻[7~9]提出的彩色圖像水印算法都是選取彩色圖像的某個或多個顏色通道嵌入水印信息，使得水印信息擴散到一個分量，或者根據人類視覺特性，在不同顏色通道嵌入不同強度的水印信息，而沒有達到同時將水印信息擴散到R、G、B三個分量。

在現實生活中，彩色圖像數字水印更具有實際價值。為了方便對彩色圖像進行處理，且使得水印信息能同時擴散到R、G、B通道，而不是單獨對不同分量嵌入不同強度的水印信息，本文在彩色圖像數字水印過程中引入張量的概念。張量是高維數據表達方法，使用張量存儲和處理圖像，可以避免對圖像向量化造成的像素間信息的丟失。Tucker分解[10]是張量分解的一種方法，Tucker分解后可以獲取核心張量和一系列正交矩陣。與矩陣SVD分解類似，奇異值矩陣代表了原矩陣的主要能量，而核心張量代表了原張量的主要能量。在核心張量中嵌入

水印信息，可以達到將水印信息擴散的目的，并且核心張量代表了原張量的主要能量，具有一定的穩定性。為了增加水印信息的魯棒性，本文先對彩色圖像的三個通道應用小波分解，將獲取的三個低頻系數矩陣構成一個三階張量，然后對張量進行Tucker分解，在獲得的核心張量中嵌入水印信息。通過在核心張量中嵌入水印信息，避免了直接對DWT低頻系數的修改，同時將水印信息擴散到所有低頻系數。在提取水印的過程中，通過在張量分解過程中獲得的特征矩陣和核心張量作為密鑰提取水印信息。

1 張量及Tucker分解

1.1張量

高維數據 A∈RI1×I2×…×IN可以視為位于張量空間RI1RI2…RIN中的N階張量，RIn是張量空間的向量子空間，高維數據的維數N稱為張量的階。張量是高維數據分析的一種表達方法，將圖像看做張量，避免了將圖像向量化造成的像素間信息的丟失。在圖1顯示了一個三階張量的例子。

1.2張量分解

張量分解有兩種方法，即CP和Tucker分解。CP分解是將張量分解為一個數和一系列向量的乘積的形式;Tucker分解是將原張量分解成核心張量和一系列矩陣的乘積的形式。其中核心張量保留了原張量的主要信息，并具有一定的穩定性。Tucker分解現在已經有了很多的應用，如數據壓縮、數據挖掘、心理測驗學[11]。由于Tucker分解后可獲取一個核心張量，可以用于水印嵌入，本文選擇在Tucker分解中嵌入水印信息。張量在處理過程中不對原張量向量化，所以其運算規則與通常的運算方法有所不同。下面對基本的張量運算規則進行了描述。

定理1[10] Tucker分解。一個張量A∈RI1×I2×…×IN

可以表達為

A=B×1U(1)×2U(2)×…×NU(N)(1)

其中:B為核心張量;U(1)，U(2)，…，U(N)為一系列正交矩陣。

由于投影矩陣U的正交性，可以通過式(1)求得核心張量B為

B=A×1U(1)T×2U(2)T×…×NU(N)T(2)

定義1[11] 張量與矩陣的乘積。張量A∈RI1×I2×…×IN乘矩陣可以表示為A×nU。其中U∈RJn×In。其數學表達式為

(A×nU)(i1，…，in-1，jn，in+1，…，iN)=Inin=1a(i1，i2，…，iN)u(jn，in)(3)

定義2[11] 張量與張量的乘積。張量A∈RI1×I2×…×IN乘張量B∈RI1×I2×…×IN表示為

〈A，B〉=i1i2…iNai1i2…iNbi1i2…iN(4)

定義3[11] 張量矩陣化。對于N階張量A∈RI1×I2×…×IN，其矩陣展開形式A(n)∈RIn×∏n≠kIk張量的元素(i1，i2，…，iN)映射到矩陣元素(in，j)，映射關系為j=1+Nk=1k≠n(ik-1)Jk。圖2顯示了三階張量的矩陣化。

將彩色圖像R、G、B三個顏色通道經過小波變換的低頻系數構成一個三階張量Am×n×p，再將Tucker分解應用于Am×n×p，實現了將R、G、B當做一個整體的目的;同時將水印信息擴散到了R、G、B，彌補了通常方法不能直接將水印信息擴散到R、G、B的不足。Tucker分解后獲得一個三階的核心張量和三個正交矩陣，通過在核心張量嵌入水印信息，達到了水印信息的擴散，并且核心張量具有一定的穩定性。根據Tucker分解思想，其分解結果如圖3所示。

1.3Tucker分解算法

Tucker分解在獲得的核心張量的過程中可以進行降維處理。例如，256×256×3的三階張量，通過Tucker分解可以獲得256×256×3的核心張量，也可以獲得128×128×3的核心張量。對于獲得的核心張量的維數可以指定，但是降維減少了圖像的冗余信息，會導致重構的圖像質量降低。為了保證重構水印圖像的質量，在Tucker分解的過程中，本文Tucker分解算法不進行降維處理。本文張量分解算法在算法1中進行了詳細的描述。在算法1中，將由小波低頻系數構成的三階張量作為輸入，最后根據定義3，將原張量沿1~3階分別矩陣化，然后對獲得的三個矩陣進行SVD分解，獲取矩陣Un(n)，再通過式(2)獲取核心張量。

算法1 Tucker分解

輸入:原始張量A。

輸出:U(n)和B。

1—將A沿第一維矩陣化獲得A(1)，對A(1)進行SVD分解，求得左奇異值向量U1，獲得U1(1)=U1;

2—將A沿第2維矩陣化獲得A(2) ，對A(2) 進行SVD分解，求得左奇異值向量U2，獲得U2(2)=U2;

…

N—將A沿第N維矩陣化獲得A(n)，對A(n)進行SVD分解，求得左奇異值向量Un，獲得Un(n)=Un;

N+1—求得核心張量B=A×1U(1)T×2U(2)T×…×NU(N)T，輸出U(n)和B。

從上述算法可以看出，對于彩色圖像，本文Tucker分解算法是矩陣分解的推廣;對于灰度圖像的Tucker分解，本文算法就是對其SVD分解。其證明過程如下:

設灰度圖像用張量表示為Am×n，通過算法1獲得1U(m×k)、2U(n×t)，B=A×1UT ×2UT。

根據定義1(張量與矩陣的乘積)，A×1UT 用通常矩陣乘法可以表示為1UT×A;A×2 UT用通常矩陣乘法可以表示為:A×2UA× 1UT×2UT=1UT ×A×2U，則

B=1UT×A×2U(5)

根據定義3(張量矩陣化)，二階張量沿寬的矩陣化分別為對原圖像的轉置，而沿高的矩陣化就是原圖像。在算法1中沿第一維矩陣化并SVD分解得到A=USVT，沿第二維矩陣化并SVD分解得到

AT=VST UTU=1U，V=2U(6)

而S=UTAV，再根據式(5)和(6)可得

S=B

從上面證明可以看出，二階Tucker與SVD分解等價。

2 水印算法

小波分解可以增加水印信息抵抗信號處理的能力，而Tucker分解可以提取原張量的主要能量，增加了抵抗壓縮攻擊的能力。另外，通過Tucker分解可以將水印信息擴散到所有低頻分量中，并且避免了直接對低頻系數的修改。水印信息可以看做是在原始載體圖像中加入的噪聲信息，而在張量分解的過程中，獲取了原張量的主要能量，降低了噪聲信息的影響，使得嵌入水印信息的核心張量在沒有原張量分解過程中獲得的正交矩陣作為密鑰信息的情況下，不能通過直接對水印后圖像的小波低頻系數構成的張量進行Tucker分解獲得，增加了水印信息的安全性。

2.1 水印的產生

使用二值圖像作為水印信息W，并使用花托自同構算法對W作混亂處理。在置亂的過程中使用密鑰k對水印信息加密，獲得水印信息W。

2.2 水印嵌入過程

a)對彩色圖像的R、G、B三個分量進行小波分解，獲得三個低頻系數矩陣LLR、LLG、LLB;然后將低頻系數構成三階張量Am×n×p。

b)對張量Am×n×p進行Tucker分解，獲得核心張量B，特征矩陣U、V和M;再通過Biw=Bi+α× Wi將水印信息嵌入核心張量中。其中α為水印信息強度。然后將B、U、V和M作到為接收者查看水印信息的密鑰，根據式(1)重構獲取水印后的張量。

c)通過逆小波分解，獲取水印后圖像。

2.3 水印提取過程

a)對嵌入水印信息后圖像的R、G、B三個分量進行小波分解，獲得三個低頻系數矩陣LLR、LLG、LLB;然后將低頻系數構成三階張量。

b)根據提供的密鑰信息U、V和M，再通過式(2)獲取嵌入水印信息后的核心張量Bw。

c)根據密鑰信息B，通過W′=Bw-B提取獲得水印信息。

3 仿真實驗結果及分析

在彩色圖像水印算法過程中，本文使用256×256的24位彩色圖像作為載體圖像，使用32×32的二值圖像作為水印信息。圖4顯示了不同彩色載體圖像及提取出的水印信息，其中添加水印信息強度α=64。

本文使用PSNR來衡量水印的不可見性，PSNR的計算定義如下:

PSNR(f， f ′)=10 log10f 2max1MNMi=1Nj=1[f ′(x，y)-f(x，y)]2(7)

采用一化相關值NC作為參考原始水印WI和提取出的水印W之間的相似性度量，定義如下:

NC=ijWI(i，j)WI′(i，j)ij[WI(i，j)]2(8)

表1顯示了不同彩色圖像在添加水印后的PSNR和提取出水印信息的NC。攻擊測試中使用Lena(256×256×3)圖像作為載體圖像。表2顯示了本文算法(DWT-Tucker)和只使用Tucker分解算法在經過不同攻擊后提取出的水印信息。

通過上述實驗表明，本文水印算法對于信號處理和幾何變換攻擊都具有一定的魯棒性，并優于將Tucker分解直接應用于彩色圖像。特別對于壓縮攻擊、縮放攻擊和低通濾波，當壓縮品質因子為5%時，本文方法依然能提取出信息。當水印后圖像縮放到原來的1/4時和低通濾波后，本文算法提取出的水印信息通過人眼依然能夠識別，而只使用Tucker水印算法已經無法辨別水印信息。本文算法對于中值濾波、維納濾波均具有一定的魯棒性。由于本文通過在核心張量嵌入水印信息，而核心張量代表了原張量的主要能量，并且構成三階張量的Tucker分解是經過小波變換后的低頻系數，本文算法對于壓縮、濾波、縮放等攻擊都具有一定的魯棒性。但是對于裁剪攻擊，提取出的水印信息人眼已經不能辨別，這是因為在Tucker分解過程中，經過裁剪攻擊后造成像素丟失，導致不能有效求得嵌入水印信息后的核心張量。

4 結束語

本文提出了一種基于Tucker分解的彩色圖像水印算法。通過將R、G、B三通道信息經過小波變換后的低頻系數組成一個三階張量，然后通過Tucker分解將水印信息擴散到R、G、B三個分量，并將Tucker分解過程中獲取的核心張量和正交矩陣作為接收者提取水印信息的密鑰。通過實驗結果表明，本文方法對于壓縮、濾波、噪聲攻擊等都具有一定的魯棒性。

參考文獻:

[1]MOULIN P， KOTTER R.Data-hidingcodes[J]. Proceedings of theIEEE，2005，93(12): 2083-2126.

[2]PUN C M. A novel DFT-based digital watermarking system for images[C]//Proc ofthe 8th International Conference on Signal Processing. 2006:1245-1248.

[3]XIE Rong-sheng，YANG Shu-guo. A digital watermarking method based on fractal transform in DWT domain[C]//Proc of the 1st International Conference on Modelling and Simulation.2008:424-429.

[4]BARNI M，BARTOLINI F，CAPPELLINI V，et al.A DCT-domain system for robusrtt image watermarking[J]. Signal Processing，1999，66(3):357-372.

[5] HSU C T ， WU J L. Hidden signature in image[J]. IEEE Trans on Image Processing，1999，8(1):58-68.

[6]AL-OMARI R，AL-JABER A.A roust watermarking algorithm for copyright protection[C]//Proc ofComputer Systems and Applications. 2005:90.

[7] BANF M，BARTOLINI F.Multi channel watermarking of color images[J].IEEE Trans on Circuits and Systems for Video Technology，2002，12(3):142-156.

[8]孫光民，于瑤，劉偉平，等.基于小波變換的彩色圖像多分量水印嵌入算法[J].北京工業大學學報，2008，34(5)::471-475.

[9]梁棟，殷兵，于梅，等.基于非抽樣Contourlet 變換的彩色圖像數字水印算法[J].光學學報，2008 ，28(8):1469-1474.

[10]TUCKER L R. Some mathematical notes on three-mode factor analysis[J]. Psychometrika，2006，31(3):279-311.

[11]BADER B W，KOLDAT G.MATLAB tensor classes for fast algorithm prototyping[J]. ACM Trans on Mathematical Software， 2006，32(4):635-653.