基于綜合誤差的對角負載穩健波束合成器

摘 要:在穩健的波束合成器中，采用對角負載的校正方法能有效克服誤差影響。與傳統的對角負載穩健波束合成器相比，新算法一方面綜合考慮多種誤差影響，建立相應數學模型;另一方面，在求解最優對角負載值時，對協方差矩陣進行了預處理，消除了部分誤差影響，從而使對角負載校正方法更加有效。計算機仿真證明了新算法的有效性。

關鍵詞:穩健波束合成器;對角負載;協方差矩陣

中圖分類號:TN911

文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)02-0523-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.02.033

Diagonal loading robust beamformer based on miscellaneous errors

ZENG Hao，ZHANG Lei，YANG Shi-zhong，LIU Ling

(College of Communication Engineering， Chongqing University，Chongqing 400030，China)

Abstract:In order to calibrate the array errors， diagonal loading is used in the robust beamformer. Compared with the traditional beamformer， the new algorithm outperformed in two sides. One was that all kinds of errors were considered with the correct math models. On the other hand， the covariance matrix was preprocessed before calculating the optimum diagonal loading factor， which could get rid of some errors and improve the performance of diagonal loading method. The error models， approaches of preprocessing and diagonal loading factor calculating were proposed. Furthermore， the simulations certify the virtue of the new algorithm.

Key words:robust beamformer; diagonal loading; covariance matrix

自適應波束合成技術利用信號不同空間來向，通過對接收信號進行復數加權，實現主瓣對準期望信號，零陷對準干擾，從而提高系統輸出信干噪比。該技術廣泛應用于通信、雷達、語音、聲納系統中[1~4]。但是，由于實際系統中存在各種誤差，導致波束合成器無法達到理想效果。為了克服誤差影響，實現穩健波束合成器，對角負載的校正方法由于實現簡單而成為研究熱點。文獻[5，6]介紹了多種對角負載方法。文獻[5]雖然提出了一種對角負載的改進算法，但當快拍數很小時，這種方法效果就不是很好了;文獻[6]中僅考慮了陣元間的互耦誤差對系統的影響;文獻[7]介紹了G-analysis分析方法求解最優負載值，完成穩健波束合成，但這也只針對有限快拍誤差。新算法通過對陣元位置誤差、通道不一致誤差、有限快拍誤差和陣元互耦誤差進行數學建模，綜合考慮各種誤差影響。首先，對協方差矩陣進行預處理，去除耦合干擾，然后再利用G-analysis分析方法求解最優負載值，從而提高傳統對角負載穩健波束合成器的性能。

1 誤差源模型

考慮由N個全向天線陣元組成的均勻線陣，陣元間距為信號半波長?？臻g具有一個期望信號s0(t)，功率為σ20，波達方向θ0;同時，存在J個干擾信號sj(t)，功率為σ2j，波達方向θj，j=1，…，J。所有信號都是窄帶遠場不相關信號。陣列接收信號矢量可以表示為

x(t)=s0(t)a0+∑Jj=1sj(t)aj+n(t)=

∑Jj=0sj(t)aj+n(t)(1)

其中:a0為期望信號方向矢量;aj為干擾信號方向矢量;n(t)是陣列高斯熱噪聲矢量，其功率為σ2。方向矢量可以表示為

aj=[e-jkjp1 … e-jkjpN]T(2)

其中:kj為該信號的波數矢量，由信號波達方向決定;pn則是第n個陣元的坐標矢量，顯然n=1，…，N。

對應陣列的陣元位置誤差體現在陣元坐標的誤差上。假設第n個陣元偏離理論位置Δpn，則此時的信號方向矢量為

a^j=[e-jkj(p1+Δp1) … e-jkj(pN+ΔpN)]T=

diag(e-jkjΔp1 … e-jkjΔpN)×aj=Δjaj(3)

其中:diag()表示以自變量為對角元素的對角矩陣，即Δj是以e-jkjΔpn為對角元素的N×N的對角矩陣，其中n=1，…，N。通常假設每個陣元位置誤差值Δpn是高斯分布。

對于每個陣元接收信號，由于所經過的射頻、中頻的物理通道是不相同的，各個通道的增益也是不同的。這里，增益包括幅度不同，也包括相位不同。假設第n個陣元接收信號可以表示為

x^n(t)=(1+gn)ejφnxn(t)(4)

其中:gn和φn都是高斯分布，則系統的接收數據可以表示為

x^(t)=diag((1+g1)ejφ1 … (1+gN)ejφN)x(t)

=Γx(t)(5)

其中:Γ也是一個N×N的對角矩陣。

當考慮陣元互耦時，陣列接收信號為

x^(t)=Cx(t)(6)

其中，互耦矩陣[8]

C=(ZA+ZT)(Z+ZTI)-1(7)

式中ZA為陣元自阻抗，而

ZT=ZA(8)

符合表示取共軛，Z則是復阻抗矩陣

Z=ZA+ZTZ12…Z1NZ21ZA+ZT…Z2NZN1ZN2…ZA+ZT(9)

其中:Zij(i≠j)表示陣元i和j之間的互阻抗?；ヱ钫`差不同于陣元位置誤差和通道不一致誤差，互耦誤差矩陣不是一個隨機矩陣，而是確定值。由天線基本理論，對于天線長度l為半波長m倍的陣元天線，其自阻抗為

ZA=30[0.577+ln(2πm)-Ci(2πm)+j Si(2πm)](10)

其中:ln()表示自然對數，表達式

Ci(u)=∫u-∞cos xxdx(11)

Si(u)=∫u-∞sin xxdx(12)

平行天線陣元互阻抗則可以表示為

Zij=30[2Ci(u0)-Ci(u1)-Ci(u2)]-j30[2Si(u0)-Si(u1)-Si(u2)](13)

其中:

u0=β|i-j|d(14)

u1=β(l2+(|i-j|d)2+l)(15)

u2=β(l2+(|i-j|d)2-l)(16)

其中:d是相鄰陣元間距;β是相位常數。

β=2πλ(17)

正是因為互耦誤差的不同性質，對于互耦誤差校正可以采取特殊方式，這也是協方差矩陣預處理要解決的問題。

綜合考慮各種誤差時，由式(1)(3)(5)(6)得到誤差情況下的陣列接收信號矢量

x^(t)=CΓ(∑Jj=0sj(t)Δjaj+n(t))(18)

2 協方差矩陣預處理

陣列接收信號協方差矩陣定義為

Rx=E[x(t)xH(t)](19)

將式(1)帶入式(19)可以得到

Rx=∑Jj=0σ2jajaHj+σ2I(20)

當考慮系統各種誤差時，把式(18)代入協方差矩陣定義式(19)，得

R^x=C Γ(∑Jj=0σ2jΔjajaHjΔHj+σ2I)ΓHCH(21)

在實際系統中，由于信號功率無法準確獲得，采用估計方法獲得協方差矩陣。假設陣列接收信號連續K次采樣，得到K個快拍數據，則無誤差時估計值為

Qx=1KXXH(22)

有誤差時估計值為

Q^x=1KX^X^H(23)

其中，數據矩陣由K次快拍構成

X=[x(1) … x(K)](24)

X^=[x^(1) … x^(K)](25)

正如上文闡述，陣元位置誤差和通道不一致誤差由于是隨機誤差，不能從解析表示的角度進行校正。但互耦誤差是一個可以計算的確定值，也就是互耦矩陣C是已知的。在對協方差矩陣作進一步處理前，可以通過預處理消除互耦誤差。比較式(20)和(21)，新的協方差矩陣為

E^x=C-1Q^x(CH)-1(26)

預處理后的協方差矩陣Ex再通過對角負載的方式，對有限快拍誤差、陣元位置誤差和通道不一致誤差進行校正。

3 對角負載校正方法

在過去的文獻中， 對角加載因子大多是通過定性分析估計得到，這些方法運算簡單， 但是缺乏理論依據， 無法證明得到的是最佳對角加載因子。在文獻[7] 中， Xavier運用G-analysis方法很好地解決了這個問題。但是，文獻中僅僅考慮了有限快拍誤差，并沒有對其他誤差存在時的情況進行分析，而這也是新方法要解決的一個重要問題。

結合式(21)和(26)，在預處理條件下，理論上新的協方差矩陣為

Ex=Γ(∑Jj=0σ2jΔjajaHjΔHj+σ2I)ΓH≈∑Jj=0σ2jvjvHj+σ2I(27)

此時，相當于把陣元位置誤差和通道不一致誤差歸結為方向矢量誤差，這個有誤差的方向矢量為

vj=ΓΔjaj(28)

對角負載的校正方法是可以處理方向矢量誤差的，所以同樣可以采用G-analysis方法進行最優對角負載值的估計。同時，式(27)說明，誤差下的協方差矩陣與式(20)具有相同的形式，從而文獻[7]的結論是可以直接利用的，只是個別參數需要用新模型下對應量替代。

按照輸出信干噪比最大準則定義代價函數

f(α)=(1-cp(α))2q(α)(29)

其中:c=N/K(30)

p(α)=1N∑Nn=1λnα+λn(31)

q(α)=aH0(E^x+αI)-1E^x(E^x+αI)-1a0(aH0(E^x+αI)-1a0)2(32)

其中λn為E^x的特征值。需要指出，文獻[7]中代價函數定義表示有誤，應為原定義的倒數，即式(29)所示，這一點可以從下文仿真中得以驗證。當代價函數f(α)最小值時對應的αDL即為最優對角負載值

αDL=arg minα f(α)(33)

以往研究表明，最優對角負載值是一個大于協方差矩陣最小特征值、小于最大特征值的一個量。所以，如果E^x特征值為

λ1≥λ2≥…≥λN(34)

而λn對應特征矢量為en，則在[λN λ0]區間內對式(33)進行搜索就可以找到αDL。而且，為了進一步減少運算量，式(32)的矩陣求逆運算可以通過特征值和特征矢量來完成。具體表示為

q(α)=∑Nn=1|aH0en|λn(α+λn)2/(∑Nn=1|aH0en|2α+λn)2(35)

根據對角負載校正方法，在MP方式下的波束合成器的最優權矢量為

w=(E^x+αDL)-1a0aH0(E^x+αDL)-1a0(36)

此時的輸出信干噪比為

SINR=wHRswwH(Ri+Rn)w(37)

其中，期望信號協方差矩陣、干擾信號協方差矩陣和噪聲協方差矩陣分別為

Rs=σ20a0aH0(38)

Ri=∑Jj=1σ2jajaHj(39)

Rn=σ2I(40)

4 計算機仿真

假設空間均勻線陣N=5，陣元間距d=λ/2，而陣元天線長度l=λ/2，即m=1。空間期望信號為波達方向u0=cosθ0=0，SNR0=20 dB，存在兩個干擾信號，u1=0.4，u2=-0.6，功率INR1=10 dB，INR2=20 dB。

仿真按如下步驟進行:

a)根據式(10)和(13)，計算出陣元自阻抗ZA和互阻抗Zij，進而求解互耦矩陣C。

b)對輸入信號進行K次采樣，按式(25)獲得數據矩陣X^，并由式(23)估計得到協方差矩陣Q^x。

c)對協方差矩陣按式(26)進行預處理，得到消除互耦誤差協方差矩陣E^x。

d)對協方差矩陣E^x進行特征分解，得到N個特征值λn和相應特征向量en。

e)采用波達方向估計算法估計出信號個數和相應的波達方向，通常采用MUSIC算法。因為該算法既可以達到超分辨性能，同時運算量也較最大似然算法小，從而獲得期望信號方向矢量a0。事實上，由于誤差存在，對波達方向估計時也需要采用誤差校正方法，只是這個內容超出本文研究范圍。

f)由前兩步結果，代入式(29)，對α進行搜索，得到最小值時的αDL作為對角負載值。

g)代入式(36)，計算出權矢量值w。實際的穩健波束合成器到此就完成了全工作。但為了比較新算法與傳統算法的性能，仿真還需完成以下工作。

h)由式(37)計算出陣列輸出SINR，并與傳統方法進行比較，同時描繪出陣列方向圖。

圖1為不進行任何校正時，只考慮一種誤差情況的陣列輸出SINR。仿真說明，有限快拍誤差可以靠增加快拍數進行改善，而陣元位置誤差、通道不一致誤差和互耦誤差不能通過增加快拍數進行改善，這也是必須采用諸如對角負載校正方法的原因。圖2是K=100時MUSIC空間譜估計結果。仿真比較了無誤差情況Rx、有誤差但沒有協方差矩陣預處理Q^x的傳統算法和進行協方差矩陣預處理E^x的改進算法三種情況。仿真表明，協方差矩陣預處理的改進算法的估計誤差更小。

圖3是式(29)對α的搜索曲線，曲線最小值對應的橫坐標就是該快拍下的最優對角負載值αDL。這些曲線表明，只有采用式(29)的表達方式，f(α)才有最小值，這與文獻[7]對該代價函數定義有一定區別。圖4是無校正算法采用文獻[7]的傳統對角負載校正算法和增加協方差預處理校正的改進對角負載算法對陣列輸出SINR改善的仿真結果，說明采用協方差矩陣預處理的改進算法可提高系統的輸出SINR和系統性能。

5 結束語

對協方差矩陣的對角負載校正可以提高系統的輸出性能，同時從仿真分析可知，對協方差矩陣先進行預處理，再求得對角負載因子，然后再對協方差矩陣加載，要比直接對協方差矩陣對角加載更能提高系統的性能。

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