具有長(zhǎng)時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

摘 要:針對(duì)同時(shí)出現(xiàn)長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了帶不確定性的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。基于一定的數(shù)據(jù)包丟失率，系統(tǒng)被建模成帶結(jié)構(gòu)事件率約束的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。利用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式相關(guān)知識(shí)，結(jié)合異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，推出了使不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并給出了保證系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的數(shù)據(jù)傳輸成功率滿足范圍;最后利用MATLAB仿真的數(shù)值例子驗(yàn)證了此方法的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞:網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng); 長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延; 李亞普諾夫方法; 線性矩陣不等式; 不確定性; 異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng); 指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào):TP273;TP393文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-3695(2010)06-2283-04

doi:10.3969/j.issn.10013695.2010.06.082

Analysis of stability for networked control systems withlarge delays and packet losses

JIANG Lianlian1， YANG Guanghong1， DAN Yufang2， WANG Hailang3

(1.School of Information Science Engineering， Northeastern University， Shenyang 110004， China; 2.School of Computer， Chongqing University， Chongqing 400044， China; 3.School of Electrical Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China)

Abstract:For network control systems with long networkinduced time delays and packet losses，this paper investigated stability of uncertain networked control systems. Modeled system as an asynchronous system constrained by configuration event rates based on a certain packet loss rate. By using Lyapunov method， linear matrix inequality description and combining asynchronous dynamical stability theory， derived sufficient conditions for exponential stability of uncertain network control system and presented the scope of data transmission success rate ensuring system exponentially stable. Finally， verified a numerical example with MATLAB simulation effectiveness and feasibility of this method.

Key words:networked control systems (NCS); long networkinduced delay; Lyapunov theory; linear matrix inequality (LMI); uncertainty; asynchronous dynamical system; exponentially stable

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems，NCS)是利用專用或公用數(shù)據(jù)通信網(wǎng)絡(luò)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)連接構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖1所示。與分布式控制系統(tǒng)相比，其在通信網(wǎng)絡(luò)上建立閉環(huán)控制回路，具有簡(jiǎn)單、快捷、連線少、可靠性高、易實(shí)現(xiàn)信息共享、易維護(hù)和擴(kuò)展、成本低等優(yōu)點(diǎn)。正因如此，近年來，以現(xiàn)場(chǎng)總線為代表的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)得到了前所未有的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，為進(jìn)一步促進(jìn)國家的以信息化帶動(dòng)工業(yè)化的發(fā)展創(chuàng)造了條件。但因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)的引入，系統(tǒng)在傳感器與控制器和控制器與執(zhí)行器之間就會(huì)因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定、節(jié)點(diǎn)沖突、帶寬限制等原因?qū)е聰?shù)據(jù)延遲和數(shù)據(jù)包丟失。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延分為長(zhǎng)時(shí)延和短時(shí)延。大于一個(gè)采樣周期的時(shí)延叫長(zhǎng)時(shí)延(τ>nT，n∈(2，3，4，…));反之，則為短時(shí)延。而數(shù)據(jù)包丟失可分為異步丟失和隨機(jī)丟失[1]。對(duì)異步丟失，Zhang Wei[2]將有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為具有事件速率約束的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，推導(dǎo)出了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。而對(duì)于隨機(jī)丟失，Nilsson[3]用具有兩個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈描述了數(shù)據(jù)包丟失的模型，提出了解決數(shù)據(jù)丟包的兩種方法，即使用舊的控制信號(hào)或者利用丟失數(shù)據(jù)包的估計(jì)值計(jì)算新的控制信號(hào)。對(duì)丟包同時(shí)存在于反饋通道和前向通道的情形，Xiong等人[4]考慮了丟包過程為任意并服從馬爾可夫鏈[5]分布的NCS建模、分析和綜合方法。Ishii[6]對(duì)數(shù)據(jù)包丟失和有限帶寬情況作了相應(yīng)研究。但以上研究大部分均局限于時(shí)延小于一個(gè)周期情況下的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。本文將對(duì)具有長(zhǎng)時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究。

具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中:τk表示網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯對(duì)控制系統(tǒng)的綜合效應(yīng);xk表示由傳感器節(jié)點(diǎn)采樣后的被控對(duì)象的狀態(tài);vk、uk分別為控制器的輸出及其在執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)接收端的鏡像;S表示數(shù)據(jù)傳輸成功事件，即有新的控制量作用于被控對(duì)象;表示數(shù)據(jù)傳輸失敗事件，即無新的控制量作用于被控對(duì)象。

1 相關(guān)引理

引理[7]1 對(duì)于異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)x(k+1)=fs(x(k))。其中s=1，2，…，N。事件1，2，…，N的發(fā)生率分別為r1，r2，…，rN。其中0≤rs≤1，且∑Ns=1rs=1。若存在Lyapunov函數(shù)V(x(k))，滿足

β1‖x(k)‖2≤V(x(k))≤β2‖x(k)‖2

其中:β1>0，β2>0，且存在標(biāo)量α>0，αs>0，滿足

V(x(k+1))-V(x(k))≤(α-2i-1)V(x(k))

αr11αr22…αrNN>α>1

則該系統(tǒng)的指數(shù)是穩(wěn)定的。

引理[8]2 對(duì)α>1，如果狀態(tài)軌跡滿足以下條件

limk→∞αk‖xk‖=0

其中α為系統(tǒng)的衰減率，則異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的指數(shù)是穩(wěn)定的。

引理[9]3 給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、D和E。其中Y是對(duì)稱的，則

Y+DFE+ETFTDT<0

對(duì)所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε>0，使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2 系統(tǒng)建模

考慮被控對(duì)象方程為

x#8226;(t)=Ax(t)+Bu(t)(1)

其中:x∈Rn為狀態(tài)向量，u∈Rp為控制向量，A和B是適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣。

當(dāng)事件S發(fā)生時(shí)，vk成功傳輸?shù)綀?zhí)行器，此時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中的時(shí)滯的影響，則有

u(t)=uk-1，tk-1+τk-1

對(duì)于(m-1)h<τk≤mh(m=1，2，…，M)，令τ′k=τk-(m-1)h，則由式(1)和(2)，可得系統(tǒng)離散時(shí)間模型為

x(k+1)=Gx(k)+H0(τk)v(k-m+1)+H1(τk)u(k-m)u(k)=v(k)G=eAh，H0(τk)=∫h-τ′k0eAtdtB， H1(τk)=∫hh-τ′keAtdtB(3)

當(dāng)事件發(fā)生時(shí)，vk未能傳輸?shù)綀?zhí)行器，則

u(t)=u(k-1)，tk-1+τk-1

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k-1)u(k)=u(k-1)(5)其中:H=∫h0eAtdtB。

為了將兩種情況的模型歸一化，在此定義增廣向量

ξk=[x(k)u(k-1)u(k-2) … u(k-m)]T

由式(3)和(5)可得

ξ(k+1)=(μ(∏1-∏2)+∏2)ξ(k)+

(μ(Γ1-Γ2)+Γ2)u(k)(6)

μ=0 當(dāng)事件發(fā)生時(shí)1 當(dāng)事件S發(fā)生時(shí)

∏1=G+DF(τk)E10…H0(τk)H1(k)00…000I 00 00…I0

∏2=GH0…00I0…000I0000…0I，Γ1=0I00，Γ2=0000

則具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可以等效為如圖1所示的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

由于τk為時(shí)變不確定的，則H0(τk)，H1(τk)也是時(shí)變不確定矩陣。其具有如下形式:

H0(τk)=∫h-τ′k0eAtdtBH1(τk)=∫hh-τ′keAtdtBH0(τk)=0+DF(τk)E H1(τk)=1-DF(τk)E

當(dāng)τk為時(shí)變參數(shù)時(shí)，式(6)的系數(shù)矩陣可以描述為

∏1=G+DF(τk)E10…0+DF(τk)E1-DF(τk)E00…000I 0000…I0(7)

因此，式(6)可以看做具有不確定參數(shù)的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

對(duì)式(6)，選取無記憶的狀態(tài)反饋控制器:

u(k)=Kx(k)(8)

其中:K∈Rp×n為控制器的增益。將控制器方程帶入式(10)，可得系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)方程為

ξ-(k+1)=(μ(Ψ1-Ψ2)+Ψ2)ξ-(k)(9)

ξ-(k)=x(k)x(k-1)x(k-2)x(k-m)

Ψ1=G+DF(τk)E10…H0(τk)H1(τk)KI0…00

0I 00 00…I0

Ψ2=G+DF(τk)E1HK0…00I0…000I0000…0I

當(dāng)τk為時(shí)變不確定時(shí)，則有

Ψ1=Ψ-1+F(τk)，Ψ2=Ψ-2+F(τk)1

其中Ψ-1=G0…0K1KI0…000I 00 00…I0

Ψ-2=GHK0…00I0…000I0000…0I，=D000

=[E1 0 … EK -EK]

1=[E1 0 … 0 0]

3 穩(wěn)定性分析

為了討論方便，在此考慮如圖1所示的只在控制器與執(zhí)行器之間存在數(shù)據(jù)包丟失和時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型。而對(duì)于兩個(gè)通道均存在丟包和時(shí)延的系統(tǒng)，也可以通過類似的方法將系統(tǒng)建模成含有四個(gè)模態(tài)的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，然后再利用異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

假設(shè)事件S的發(fā)生率為r，則事件的發(fā)生率為1-r，此時(shí)系統(tǒng)可被看做是具有兩個(gè)事件的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

定理1 對(duì)于由式(9)所描述的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，設(shè)事件S、的發(fā)生率分別為r，1-r。其中，0

V(ξ-(K))=ξ-T(K)X-1ξ-(K)(10)

其中:X為對(duì)稱正定矩陣，以及標(biāo)量α1>1，0<α2<1，α>0，ε1>0，ε2>0使得下列不等式成立

αr1…α1-r2>α>1(11)

-X+ε1TΨ-1X0*-α-21XXT**-ε1I<0(12)

-X+ε2TΨ-2X0*-α-22XXT1**-ε2I<0(13)

則式(9)是指數(shù)穩(wěn)定的，且

r>-logα2logα1-logα2(14)

證明 在此取Lyapunov函數(shù)為

V(ξ-(K))=ξ-T(K)X-1ξ-(K)(15)

則為了滿足條件

V(ξ-(k+1))-V(ξ-(k))≤(α-2i-1)V(ξ-(k))(16)

即

V(ξ-(k+1))≤α-2iV(ξ-(k))(17)

由式(10)和(17)可得:

ξ-T(k)ΨTiX-1Ψiξ-(k)≤α-2iξ-T(k)X-1ξ-(k)(18)

上式成立的充分條件是

ΨTiX-1Ψi≤α-2iX-1(19)

由Schur補(bǔ)，上式等價(jià)于:

-XΨi*-α-2iX-1<0(20)

對(duì)其分別左乘、右乘diag(I，X)，上式等價(jià)于

-XΨiX*-α-2iX<0(21)

則

-XΨ-iX+F(τk)jX*-α-2iX<0，j={，1}(22)

即

-XΨ-iX*-α-2iX+0F(τk)[0 jX]+[0 jX]TF(τk)0T<0j={，1}(23)

由引理3，可將式(23)化為

當(dāng)i=1時(shí)，

-XΨ-1X*-α-21X+ε10[T 0]+ε-110XT[0 X]<0(24)

當(dāng)i=2時(shí)，

-XΨ-2X*-α-22X+ε20[T 0]+ε-120XT1

[0 E1X]<0(25)

則式(24)和(25)分別等價(jià)于式(12)(13)。可得引理1的兩個(gè)條件都成立，則閉環(huán)系統(tǒng)式(9)是指數(shù)穩(wěn)定的。由式(19)可以得到，λ2max(Ψi)<α-2i，i=1，2。已知數(shù)據(jù)傳輸無數(shù)據(jù)包丟失時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則α1>1。在考慮數(shù)據(jù)傳輸中存在數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是未知的，在此，令0<α2<1。對(duì)式(11)取對(duì)數(shù)，即可得到系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定時(shí)數(shù)據(jù)傳輸成功率應(yīng)滿足的范圍。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

假定系統(tǒng)被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程如下:

x#8226;(t)=0.15-0.75-1.20.3x(t)+-11u(t)

取采樣周期為h=0.1 s，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化，即可得新的狀態(tài)方程參數(shù):

G=1.02-0.07682-0.12291.035，H=-0.10470.10780=0.5263-1.2281，1=-0.63101.3358D=0.82660.66570.8933-0.7912，E=0.1276-1.6533

根據(jù)已知數(shù)據(jù)傳輸無數(shù)據(jù)包丟失時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，狀態(tài)反饋控制器增益為

K=[-0.231 -4.65]

取M=2，α1=1.013，α2=0.8，在此可求得r>0.8699，然后利用LMI工具箱中的feasp求解器，可得

X=0.0300-0.01000.0000-0.01000.0012-0.00030.00000.0012-0.0003-0.00000.0000-1.9240-0.0002-0.00000.11910.00010.0000-0.0913

-0.0000-0.00000.00010.0000-0.00000.0000-1.92400.1191-0.09131.4750-0.09130.0700-0.09735.2166-3.99940.0700-3.99943.0662

由圖2~4的仿真曲線可以看出，對(duì)于存在不確定性和數(shù)據(jù)包丟失的系統(tǒng)，在一些參數(shù)給定的情況下，只要數(shù)據(jù)包傳輸成功率滿足一定的條件，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)穩(wěn)定;當(dāng)數(shù)據(jù)包傳輸成功率不滿足定理給定范圍時(shí)，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)就表現(xiàn)出不穩(wěn)定。要判定有通信時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的NCS的指數(shù)穩(wěn)定性，可先給定滿足定理1的一組αi，通過MATLAB的LMI工具箱求得滿足定理1的正定矩陣P，如果有可行解，則系統(tǒng)的指數(shù)是穩(wěn)定的，但定理1是系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，如果無可行解，系統(tǒng)的指數(shù)不一定穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

本文對(duì)存在大于一個(gè)采樣周期時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)作了研究。其中還將隨機(jī)時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響轉(zhuǎn)換為未知有界不確定項(xiàng)，在此基礎(chǔ)上，通過利用異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法的相關(guān)理論，分析了存在不確定性的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件，并得到了一些性能指標(biāo)。

對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，現(xiàn)有的研究成果雖然在研究方法、分析角度及策略上展現(xiàn)了豐富的多樣性，卻更多的是單層次、單目標(biāo)的研究、且為分析方便，對(duì)網(wǎng)絡(luò)承載能力、網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行性能和控制系統(tǒng)性能三者之間耦合關(guān)系進(jìn)行了不同程度的簡(jiǎn)化。由于網(wǎng)絡(luò)的引入現(xiàn)有的理論還不能直接應(yīng)用到該系統(tǒng)中，整體性能的優(yōu)化和提高還有待進(jìn)一步深入，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)本身是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)，NCS的研究又是一個(gè)復(fù)雜龐大的新穎課題，新的控制策略有待形成系統(tǒng)性的理論。

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