結(jié)合幾何動(dòng)力學(xué)卡通頭發(fā)生成

摘 要:提出了一種結(jié)合幾何動(dòng)力學(xué)的卡通頭發(fā)生成方法。它包括頭發(fā)的幾何建模和動(dòng)力學(xué)模擬兩個(gè)部分。在幾何建模階段:用戶導(dǎo)入一個(gè)頭部模型，交互指定頭發(fā)生長區(qū)域控制點(diǎn)和頭發(fā)模型中心控制點(diǎn)，系統(tǒng)自動(dòng)生成卡通頭發(fā)的幾何模型。在動(dòng)力學(xué)模擬階段:引入基于網(wǎng)格的逆向動(dòng)力學(xué)實(shí)現(xiàn)卡通頭發(fā)運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:系統(tǒng)通過簡單的用戶交互能夠制作出令人滿意的卡通頭發(fā)。

關(guān)鍵詞:卡通頭發(fā)建模; 動(dòng)畫; 基于網(wǎng)格逆向動(dòng)力學(xué)

中圖分類號:TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)06-2384-03

doi:10.3969/j.issn.10013695.2010.06.111

Cartoon hair generation by combining geometric kinematics

REN Yangchun， ZHAO Hongde， GENG Weidong

(State Key Lab of CADCG， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China)

Abstract:This paper presented a cartoon hair generation method that combining geometric kinematics. This method included geometric modeling and kinematics simulation. In modeling part: first user loaded a head model and set the control point of hair， this system generated geometric model of the hair automatically. In simulation part: this paper introduced meshbased inverse kinematics to generate cartoon hair animation. Experimental results show that: with simple interaction， the system can produce satisfactory cartoon hair.

Key words:cartoon hair modeling; animation; meshbased inverse kinematics

0 引言

頭發(fā)是卡通人物最主要的視覺元素之一，改變頭型可以完全改變一個(gè)人物的外觀和形象。同時(shí)，卡通人物的頭發(fā)往往還蘊(yùn)涵著人物的個(gè)性和情緒，所以在卡通人物的設(shè)計(jì)中，頭發(fā)的設(shè)計(jì)對塑造人物形象和人物性格起到關(guān)鍵性的作用。傳統(tǒng)卡通頭發(fā)創(chuàng)作需要卡通動(dòng)畫師一幀一幀地繪制，這不僅要求卡通動(dòng)畫師有高超技術(shù)水平和創(chuàng)作經(jīng)驗(yàn)，而且使得卡通創(chuàng)作效率低。

為了提高創(chuàng)作效率，研究人員提出了一些利用計(jì)算機(jī)輔助卡通頭發(fā)創(chuàng)作的方法。本文將它們分為卡通頭發(fā)建模、繪制和運(yùn)動(dòng)三個(gè)方面。在頭發(fā)建模方面，文獻(xiàn)[1]使用了曲線對單根頭發(fā)建模，該方法比較簡單，容易實(shí)現(xiàn)，但沒有卡通頭發(fā)成簇的效果，同時(shí)這種模型因?yàn)轭^發(fā)數(shù)量多，計(jì)算量大，很難實(shí)現(xiàn)頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[2~5]利用三維空間中的多邊形對頭發(fā)進(jìn)行建模，中間的控制點(diǎn)控制整個(gè)頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)，邊上的曲線控制頭發(fā)的外形，這種模型更加符合卡通頭發(fā)數(shù)量少、聚合成簇的特點(diǎn)，能取得比較好的效果。文獻(xiàn)[6]提出了一種三維的頭發(fā)簇，與二維多邊形模型相比，增加了頭發(fā)的厚度，這種模型生成的效果也比較好。在繪制方面，文獻(xiàn)[3]提出了一種風(fēng)格化卡通頭發(fā)繪制，首先繪制頭發(fā)輪廓，再添加漫射光和高光的效果，獲得較好的卡通效果。文獻(xiàn)[8]利用二色調(diào)方法，對卡通頭發(fā)進(jìn)行高光模擬，該方法使頭發(fā)簇看上去很自然地粘結(jié)在了一起，形成卡通外觀。文獻(xiàn)[5]使用了幀緩沖和深度緩沖技術(shù)來繪制卡通頭發(fā)。在運(yùn)動(dòng)方面，文獻(xiàn)[2]提出了一種卡通頭發(fā)重用的技術(shù)。從現(xiàn)有的卡通頭發(fā)中提取出運(yùn)動(dòng)參數(shù)，再運(yùn)用到新的卡通角色上。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于模擬的頭發(fā)運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[6]在頭發(fā)上添加了動(dòng)態(tài)的粒子，在這些粒子之間使用彈簧來模擬，再使用簡單的牛頓定理和胡克定理來簡單地模擬頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[4] 使用了對關(guān)鍵幀進(jìn)行插值的方法實(shí)現(xiàn)了卡通頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。

上述的工作取得了一定的成果，但是沒有在效率和效果上達(dá)到統(tǒng)一，這個(gè)主要是由于卡通頭發(fā)運(yùn)動(dòng)不符合物理特性，并且運(yùn)動(dòng)過程中存在不一致性造成的。本文的方法實(shí)現(xiàn)了效率和效果的統(tǒng)一。 

本文提出了一種結(jié)合幾何動(dòng)力學(xué)的卡通頭發(fā)生成方法。該方法使用對樣本的非線性插值，避免了幾何模型變換中出現(xiàn)不自然現(xiàn)象，使生成的頭發(fā)運(yùn)動(dòng)更符合卡通特性;同時(shí)用戶可以指定控制點(diǎn)和控制點(diǎn)的路徑，使用戶對頭發(fā)可控性強(qiáng)，可以取得風(fēng)格化的效果。用戶首先通過交互，設(shè)定頭發(fā)的生長區(qū)域和頭發(fā)模型的控制線。系統(tǒng)結(jié)合頭發(fā)的參數(shù)，形成頭發(fā)的幾何模型，并把生成的模型作為網(wǎng)格逆向動(dòng)力學(xué)樣本，用戶只需設(shè)定頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)路徑，就能實(shí)現(xiàn)頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。

1 卡通頭發(fā)整體流程

本文的整體處理流程如圖1所示。

在幾何建模階段:用戶交互指定控制點(diǎn)，系統(tǒng)自動(dòng)確定頭發(fā)的生長區(qū)域;然后用戶設(shè)定頭發(fā)的控制線和頭發(fā)模型參數(shù)，系統(tǒng)自動(dòng)生成對應(yīng)的幾何模型，當(dāng)前系統(tǒng)支持多個(gè)頭發(fā)模型;為了使卡通頭發(fā)更加逼真，允許用戶添加發(fā)髻。在動(dòng)力學(xué)驅(qū)動(dòng)頭發(fā)運(yùn)動(dòng)階段:本文把基于網(wǎng)格的逆向動(dòng)力學(xué)運(yùn)用到卡通頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)中;對于一個(gè)頭發(fā)模型，用戶建立該模型的幾個(gè)狀態(tài)，再指定模型運(yùn)動(dòng)控制點(diǎn)以及該控制點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，系統(tǒng)就能自動(dòng)計(jì)算每個(gè)時(shí)刻的頭發(fā)模型，從而形成頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。

2 頭發(fā)幾何模型

通過觀察卡通頭發(fā)，發(fā)現(xiàn)處于頭皮表面的頭發(fā)基本處于靜止?fàn)顟B(tài)，可使用靜態(tài)模型對這些頭發(fā)進(jìn)行建模，同時(shí)把這些頭發(fā)所在區(qū)域定義為頭發(fā)生長區(qū)域，其他頭發(fā)利用交互建立參數(shù)化幾何模型。

2.1 頭發(fā)區(qū)域設(shè)定

用戶在頭部模型上交互設(shè)定頭發(fā)區(qū)域控制點(diǎn)，系統(tǒng)根據(jù)這些控制點(diǎn)自動(dòng)計(jì)算頭發(fā)的生長區(qū)域。

用戶在頭部模型指定控制點(diǎn)(圖2(a))，系統(tǒng)自動(dòng)連接控制點(diǎn)和頭部頂點(diǎn)，并連接相鄰的控制點(diǎn)，得到一組三角形(圖2(b));對每個(gè)三角形，通過兩次線性插值，生成更多的控制點(diǎn)(圖2(c));最后對每個(gè)控制點(diǎn)，判斷它是否在頭部模型內(nèi)部，如果位于模型內(nèi)部，就對其進(jìn)行外推操作，使其位于頭部模型的表面(圖2(d))。

2.2 幾何模型建立

本文在文獻(xiàn)[3，6]的卡通頭發(fā)模型的基礎(chǔ)上，將模型半徑變化參數(shù)由單參數(shù)改成雙參數(shù)，從而增加了頭發(fā)設(shè)計(jì)的靈活性。用戶通過簡單的交互，即可設(shè)計(jì)出理想的卡通頭發(fā)幾何模型，具體過程如圖3所示。

2.2.1 頭發(fā)生長點(diǎn)

首先，本文把頭部模型中心點(diǎn)作為坐標(biāo)系中心，建立坐標(biāo)系。用戶在頭部模型上確定頭發(fā)生長點(diǎn)P(a，b，c)之后，系統(tǒng)將把平面z=c作為該頭發(fā)模型的交互平面(圖3(a))，在這個(gè)平面上，用戶可以指定或修改頭發(fā)控制點(diǎn)(圖3(b))，當(dāng)系統(tǒng)處于新建控制點(diǎn)狀態(tài)，用戶在平面上點(diǎn)擊便新建一個(gè)控制點(diǎn)(圖3(b)中的點(diǎn));當(dāng)系統(tǒng)處于編輯控制點(diǎn)狀態(tài)，用戶在平面上點(diǎn)擊，系統(tǒng)把離該點(diǎn)最近的點(diǎn)作為編輯點(diǎn)，用戶可以移動(dòng)編輯點(diǎn)進(jìn)行修改。這種方法使用戶操作簡單和直觀。

2.2.2 頭發(fā)外表面控制

在每個(gè)中心控制點(diǎn)，都有一個(gè)橢圓確定模型表面控制點(diǎn)，如圖4所示。

每個(gè)控制點(diǎn)對應(yīng)橫截面橢圓水平和垂直方向半徑:

hr=HR×sin(t+α)×πt+α+β(1) 

vr=VR×sin(t+α)×πt+α+β(2)

其中:hr、vr分別表示模型橫截面的水平、垂直半徑;HR、VR從整體上控制模型的大小; α、β控制模型半徑的變化;t表示控制點(diǎn)在整個(gè)模型中的位置。

在每個(gè)控制點(diǎn)對應(yīng)橢圓上采樣同樣數(shù)目的點(diǎn)(圖3(c))，并將相鄰橢圓對應(yīng)的點(diǎn)相連，形成頭發(fā)的模型(圖3(d))。

2.2.3 頭發(fā)模型旋轉(zhuǎn)和發(fā)髻添加

對于生成的頭發(fā)模型，可以繞頭發(fā)的生長點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，取得不同角度的效果(圖3(e))。為了取得更加逼真的效果，系統(tǒng)允許用戶添加發(fā)髻。用戶只要指定發(fā)髻的位置、長度和顏色，系統(tǒng)就能自動(dòng)在頭發(fā)模型表面對應(yīng)的位置添加發(fā)髻。

3 頭發(fā)運(yùn)動(dòng)模擬

利用生成的頭發(fā)幾何模型，本文引入文獻(xiàn)[8]基于網(wǎng)格的逆向動(dòng)力學(xué)對頭發(fā)模型進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，形成頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。

基于網(wǎng)格的逆向動(dòng)力學(xué)是對樣本網(wǎng)格進(jìn)行非線性插值來生成新網(wǎng)格模型的算法。因?yàn)檩斎霕颖揪W(wǎng)格只有三維坐標(biāo)信息，缺少局部外形屬性，無法知道每個(gè)點(diǎn)和其他點(diǎn)的關(guān)系，所以在逆向動(dòng)力學(xué)中需要把三維坐標(biāo)信息轉(zhuǎn)換成一個(gè)特征向量，里面包含了樣本模型中每個(gè)三角形的變形梯度。首先隨機(jī)地選擇一個(gè)模型作為參考模型，變形梯度描述了參考模型中的一個(gè)三角形到另外一個(gè)模型中對應(yīng)三角形的變換。把所有樣本對應(yīng)的特征向量形成的空間稱為特征空間。基于網(wǎng)格逆向動(dòng)力學(xué)就是在特征空間中，在部分點(diǎn)約束下進(jìn)行的一種有意義的變形。對于參考模型P0和另外一個(gè)樣本模型P(都具有m個(gè)頂點(diǎn)和n個(gè)三角形)，需要計(jì)算P對應(yīng)的特征向量f。P中的一個(gè)三角形變形梯度就是一個(gè)雅可比的仿射變換矩陣，它使P0中一個(gè)三角形的位置變成了P中對應(yīng)三角形的位置。但是三角形的仿射變換并不能惟一確定三角形的旋轉(zhuǎn)方式，因此，在每個(gè)三角形模型中添加第四個(gè)元素:

V4=V1+n|n|(3)

其中:n是三角形三個(gè)頂點(diǎn)所在平面的法線。這樣，模型中頂點(diǎn)數(shù)量變成了m+n。模型中第j個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)v對應(yīng)的仿射變換為

Φj(v)=Tjv+tj(4)

其中:Tj是一個(gè)3×3的變形梯度矩陣，它包含了旋轉(zhuǎn)、縮放和偏置信息，tj表示了位移信息。對式(4)求雅克比矩陣，得到變形梯度:

Tj=DpΦj(5)

因?yàn)門j和三角形頂點(diǎn)Vk是線性的關(guān)系，所以可以從樣本P中提取出一個(gè)線性的操作G，使

f=Gx(6)其中:x=(x1，…，xn，y1，…，yn，z1，…，zn)∈R3n是樣本網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)組成的向量; f是把m個(gè)三角形的變形梯度矩陣展開并且連接成的一個(gè)特征向量;矩陣G中的系數(shù)僅僅與參考網(wǎng)格P0中頂點(diǎn)的位置相關(guān)。

把一個(gè)特征向量反轉(zhuǎn)換成一個(gè)全局的三維坐標(biāo)，可以通過下面函數(shù):

x=arg minx|Gx-f|(7)

其中:x是希望求得的網(wǎng)格模型; f是一個(gè)特征向量，它是樣本網(wǎng)格特征向量的非線性插值的結(jié)果。但因?yàn)樘卣飨蛄肯鄬τ诰W(wǎng)格坐標(biāo)具有全局平移不變性，所以至少要固定一個(gè)點(diǎn)，才能使結(jié)果惟一。

由于特征向量是樣本上點(diǎn)坐標(biāo)的線性組合，如果再對樣本進(jìn)行線性插值，容易導(dǎo)致生成的網(wǎng)格不自然，這里采用對樣本網(wǎng)格進(jìn)行非線性插值，問題就變成:

x，w=arg minx|Gx-M(w)|(8)

其中:M是對樣本的特征向量非線性組合的一個(gè)函數(shù)，w是非線性插值系數(shù)。這是一個(gè)非線性的最小二乘方問題，可以使用牛頓高斯迭代算法求解。

因?yàn)榛诰W(wǎng)格逆向動(dòng)力學(xué)采用樣本的非線性插值和直觀的交互，可以應(yīng)用到網(wǎng)格的變形和網(wǎng)格的動(dòng)畫，本文把該方法應(yīng)用到卡通頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)中。

在系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)中，首先利用本文的幾何建模方法，生成同結(jié)構(gòu)的頭發(fā)幾何模型作為樣本(圖5(a)~(c))，用戶選擇模型上的一個(gè)點(diǎn)作為運(yùn)動(dòng)控制點(diǎn)(圖5(a)~(c)中黑色點(diǎn));接著由用戶設(shè)定頭發(fā)運(yùn)動(dòng)控制點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑(圖5(d))，再在路徑上采樣得到一系列點(diǎn)，然后把每個(gè)采樣點(diǎn)和頭發(fā)的根部作為約束點(diǎn)，利用基于網(wǎng)格的逆向動(dòng)力學(xué)算法計(jì)算該時(shí)刻的頭發(fā)模型，最后形成卡通頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)(圖6)。

圖6是對控制點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑采樣了40個(gè)點(diǎn)，計(jì)算得到的網(wǎng)格，圖中分別為第5、10、15、20、25、30、35和40幀的效果。從結(jié)果可以看出，使用基于網(wǎng)格的逆向動(dòng)力學(xué)實(shí)現(xiàn)的卡通頭發(fā)運(yùn)動(dòng)可以提高創(chuàng)作的效率，動(dòng)畫師只要對樣本建立模型，就能夠創(chuàng)作出一段動(dòng)畫;對生成模型的可控性比較強(qiáng)，模型是樣本模型非線性插值的結(jié)果，所以可以調(diào)整樣本模型來控制最后生成的模型;對模型運(yùn)動(dòng)可控性好，用戶只要指定頭發(fā)控制點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，生成的網(wǎng)格模型就能沿著該路徑運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)束語

本文實(shí)現(xiàn)了結(jié)合幾何動(dòng)力學(xué)的卡通頭發(fā)的原型系統(tǒng)。本文選取“科科”“天眼”和“曹娥”三個(gè)卡通人物，利用本文方法實(shí)現(xiàn)了卡通頭發(fā)運(yùn)動(dòng)片段。對于一個(gè)20個(gè)控制點(diǎn)的模型，有1 520個(gè)三角形網(wǎng)格，對于每一幀的模型，需要求解稀疏矩陣，目前普通的機(jī)器上只能達(dá)到2 fps，所以無法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)動(dòng)畫。圖7展示了《科科》中科科頭發(fā)的建模和運(yùn)動(dòng)結(jié)果，科科頭發(fā)結(jié)構(gòu)比較簡單，運(yùn)動(dòng)過程也比較簡單。圖8展示了《天眼》中天眼頭發(fā)建模和運(yùn)動(dòng)結(jié)果，頭發(fā)結(jié)果稍微復(fù)雜，并且添加了發(fā)髻。圖9展示了《孝女曹娥》中曹娥頭發(fā)建模和運(yùn)動(dòng)結(jié)果，系統(tǒng)支持多個(gè)頭發(fā)簇的運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法可以創(chuàng)建多種頭發(fā)模型，而且能快速驅(qū)動(dòng)卡通頭發(fā)的運(yùn)動(dòng)。

本文的主要技術(shù)貢獻(xiàn)為:a)提出了一種卡通頭發(fā)創(chuàng)作流程，用于簡單交互就能設(shè)計(jì)出卡通頭發(fā)幾何模型; b)把基于網(wǎng)格逆向動(dòng)力學(xué)運(yùn)用到卡通頭發(fā)模擬，取得了較好的效果。

該方法還存在一些不足:a)只能用于頭發(fā)簇比較少的模型，對于頭發(fā)簇比較多的模型，很難用這種方法實(shí)現(xiàn);b)長發(fā)模型的所有控制點(diǎn)都在一個(gè)平面上，所以生成的模型也在同一平面上，限制了模型形狀;c)頭發(fā)運(yùn)動(dòng)是孤立的，沒有與頭部運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來。

下一步將研究設(shè)計(jì)更加方便的交互接口，使動(dòng)畫師使用更加方便，并實(shí)現(xiàn)頭發(fā)運(yùn)動(dòng)和頭部運(yùn)動(dòng)或外力作用的結(jié)合。參考文獻(xiàn):

[1]MAO X Y， KOUICHI K， KATO H， et al.Interactive hairstyle modeling using a sketching interface[C]//Lecture Notes in Computer Science.2002.

[2]EIGI S， YOSUKE K， SHIGEO M， et al.Hair motion cloning from cartoon animation sequences [C]//Proc of Computer Animation and Virtual Worlds.2006.

[3]JUNG S， MICHAEL H R M. A stylized cartoon hair renderer[C]//Proc of the 2006 ACM SIGCHI International Conference on Advances in Computer Entertainment Technology.2006.

[4]MARTIN C， PIERRE M J， CHARLES D， et al.Nonphotorealistic rendering of hair for animated cartoons[C]//Proc of GRAPHICON.2004.

[5]MAO X Y， KATO H， IMAMIYA A， et al. Sketch interface based expressive hairstyle modeling and rendering[C]//Proc of the International Conference on Computer Graphics. 2004.

[6]PAUL N， WEN T .Modeling and animating cartoon hair with NURBS surfaces[C]//Proc of the International Conference on Computer Graphics. 2004.

[7]EIJI S， YU Y Z， KEN A， et al.Simulationbased cartoon hair animation[C]//Proc of the 13th International Conference in Central Europe on Computer Graphics， Visualization and Computer Vision.2005.

[8]ROBERT W S， MATTHIAS Z，CRAIG G， et al.Meshbased inverse kinematics[C]//Proc of ACM SIGGRAPH.2005.

[9]MAO X Y， ISOBE S， ANJYO K， et al. Sketchy hairstyles[C]//Proc of International Conference on Computer Graphics. 2005.