一種改進(jìn)的指數(shù)核時(shí)頻表示

摘 要:針對指數(shù)分布只適用于模糊函數(shù)自分量分布沿ξ和τ軸附近的信號(hào)問題，通過將指數(shù)核函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)讓自模糊函數(shù)項(xiàng)盡可能地全部通過指數(shù)核函數(shù)，而互模糊函數(shù)項(xiàng)盡可能地遠(yuǎn)離該指數(shù)核函數(shù)。解決了指數(shù)分布在分析模糊域中不沿ξ和τ軸附近分布的信號(hào)時(shí)時(shí)頻分布效果差的問題，并以Chirp信號(hào)為例進(jìn)行了仿真，其結(jié)果證明該方法算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)，為抑制指數(shù)核的交叉項(xiàng)問題提供了另一種思路。

關(guān)鍵詞:指數(shù)分布; 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn); 自項(xiàng); 交叉項(xiàng)

中圖分類號(hào):TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-3695(2010)06-2078-02

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.06.023

Improved time-frequency representation method using exponential kernels

NING Jinga， ZHU Chang-qianb， ZHU Zhao-kuna

(a. School of Mechanical Engineering， b. School of Computer Communication， Southwest Jiaotong University， Chengdu610031， China)

Abstract:In traditional way， time-frequency representation method using exponential kernel was only suitable in the condition that self-variable was along the ξ and τ axis. This paper proposed an improved time-frequency representation method to solve this problem. Using coordinates rotations， self-terms in fuzzy function could as far as possible all pass the exponential kernels function， and the cross-terms in fuzzy function could far away from the exponential kernels function. Testified this approach effected through a Chirp signal. The simulation result proved that this method can repression the interference satisfactorily， and an ideal time-frequency analysis result can be acquired.

Key words:exponential distribution; coordinates rotation; self-terms; cross-terms

Ville將Wigner-Ville分布(Wigner-Ville distribution，WVD)引入到信號(hào)處理領(lǐng)域，它具有很高的時(shí)頻分辨率，但由于雙線性變換存在嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾，影響了其應(yīng)用。目前抑制交叉項(xiàng)的方法主要是通過對核函數(shù)的研究，使信號(hào)自項(xiàng)得到很好的分離[1～3]。指數(shù)分布是因其核函數(shù)為指數(shù)函數(shù)形式而得名，又因?yàn)槭怯蒀hoi-Williams提出，所以也稱為Choi-Williams(CWD)分布。指數(shù)分布對分析含有多個(gè)頻率分量的信號(hào)可有效地抑制交叉項(xiàng)，并保持信號(hào)時(shí)頻分布的一些期望特性，是一種常用的廣義雙線性時(shí)頻分布。但由于指數(shù)核函數(shù)是沿著坐標(biāo)軸在模糊域內(nèi)分布的，它只適用于模糊函數(shù)自分量分布沿ξ和τ軸附近的信號(hào)。如果模糊函數(shù)自分量不沿ξ和τ軸附近分布，那么時(shí)頻分布的效果就很差，并且時(shí)頻分布的自分量也被嚴(yán)重地截?cái)唷１疚囊訡hirp信號(hào)為例，對傳統(tǒng)的指數(shù)分布進(jìn)行了改進(jìn)，通過對其核函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，有效地改善了指數(shù)函數(shù)的局限性，加強(qiáng)了信號(hào)的自項(xiàng)，削弱了信號(hào)的交叉項(xiàng)。

1 Cohen類分布

1.1 Cohen類

為了抑制交叉項(xiàng)，使得信號(hào)自項(xiàng)能得到很好的分離，人們設(shè)計(jì)出了基于各種核函數(shù)的時(shí)—頻分布，如指數(shù)分布(也稱Choi-Williams分布)、減少交叉項(xiàng)分布(RID)和巴特沃思分布等。它們可以統(tǒng)一表示為Cohen提出的廣義雙線性時(shí)—頻表示:

Px(t，f)=12πe-j2πξ(t-u)φ(ξ，τ)x(u+τ2)x*×(u-τ2)e-j2πfτdξdudτ(1)

其中:φ(ξ，τ)表示核函數(shù);ξ為頻率延遲;τ為時(shí)間延遲，它決定了Px(t，f)的特性。采用不同的核函數(shù)，將得到不同的時(shí)—頻分布。對核函數(shù)的要求是:希望既能壓縮交叉項(xiàng)干擾，又能有好的特性[4]。

1.2 Cohen類分布的交叉項(xiàng)抑制

廣義雙線性時(shí)頻表示還有一種等價(jià)形式，如式(2)所示:

Px(t，f)=∫∞-∞∫∞-∞Mx(-ξ，τ)e-j2π(ξt+τf)dξdτ(2)

式(2)可理解為是對Mx(-ξ，τ)的二維傅里葉變換。其中:

Mx(-ξ，τ)=φ(ξ，τ)Ax(-ξ，τ)=φ(ξ，τ)∫∞-∞x(u+τ2)×x*(u-τ2)e-j(-ξ)udu(3)

其中:Mx(ξ，τ)稱為廣義模糊函數(shù)，它是由模糊域核函數(shù)φ(ξ，τ)對信號(hào)模糊函數(shù)Ax(ξ，τ)加權(quán)所得的模糊函數(shù)，也即Mx(ξ，τ)為信號(hào)模糊函數(shù)Ax(ξ，τ)在模糊域內(nèi)經(jīng)核函數(shù)φ(ξ，τ)濾波后所得的結(jié)果。信號(hào)模糊函數(shù)Ax(ξ，τ)的定義如下:

Ax(ξ，τ)=∫∞-∞x(u+τ2)x*(u-τ2)e-jξudu(4)

從式(4)可以看出，信號(hào)模糊函數(shù)Ax(ξ，τ)可以通過對x(u+τ/2)x*(u-τ/2)進(jìn)行傅里葉變換得到。

總之，在模糊域中，時(shí)頻分布可以認(rèn)為是信號(hào)模糊函數(shù)與核函數(shù)乘積的二維傅里葉變換，因此，設(shè)計(jì)核函數(shù)抑制交叉項(xiàng)，在模糊域可以解釋為:選擇結(jié)構(gòu)與信號(hào)自身項(xiàng)相同的核函數(shù)與信號(hào)模糊函數(shù)相乘，從而濾除交叉項(xiàng)。

2 指數(shù)分布及其局限性

2.1 指數(shù)分布

指數(shù)分布在模糊域(ξ，τ)內(nèi)的核函數(shù)為

φED(ξ，τ)=e-ξ2τ2/σ(5)

其中:σ>0為尺度因子。式(5)表示的指數(shù)分布核函數(shù)在模糊域(ξ，τ)內(nèi)是一個(gè)二維低通濾波器，尺度因子σ決定了此低通濾波器在模糊域內(nèi)通帶的帶寬。尺度因子為5的指數(shù)分布核函數(shù)在模糊域內(nèi)的等高線如圖1所示。

從圖1中可看到此核函數(shù)的通帶主要是集中在兩個(gè)坐標(biāo)軸附近，其他遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸的區(qū)域?yàn)樽鑾А?/p>

2.2 仿真信號(hào)

Chirp信號(hào)(線性調(diào)頻信號(hào)，LFM)是信號(hào)處理領(lǐng)域中一種非常重要的信號(hào)，被廣泛地應(yīng)用于通信、雷達(dá)、聲納、地震探測、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)成像等眾多的研究領(lǐng)域。現(xiàn)以由兩個(gè)Chirp信號(hào)x1、x2疊加構(gòu)成的仿真信號(hào)y1為例研究其時(shí)頻特性。假設(shè)x1為在時(shí)長為2 s的時(shí)間序列內(nèi)產(chǎn)生的采樣頻率為100 Hz的線性調(diào)頻信號(hào)，其在時(shí)刻0處其瞬時(shí)頻率為10 Hz，在時(shí)刻為2 s處，其瞬時(shí)頻率為30 Hz，在時(shí)刻0~2 s，其頻率呈線性遞增的關(guān)系。x2同樣為在時(shí)長為2 s的時(shí)間序列內(nèi)產(chǎn)生的采樣頻率為100 Hz的線性調(diào)頻信號(hào)，其在時(shí)刻0處其瞬時(shí)頻率為0 Hz，在時(shí)刻為2 s處，其瞬時(shí)頻率為20 Hz，在時(shí)刻0~2 s，其頻率呈線性遞增的關(guān)系。仿真信號(hào)理想的時(shí)頻分布如圖2所示。

2.3 傳統(tǒng)指數(shù)分布的局限

由式(4)可得仿真信號(hào)的模糊函數(shù)Ax(ξ，τ)如圖3所示。圖中通過原點(diǎn)的模糊函數(shù)項(xiàng)是信號(hào)自模糊函數(shù)項(xiàng)，與之平行的兩根則是信號(hào)互模糊函數(shù)項(xiàng);由式(5)可得指數(shù)核函數(shù)φED(ξ，τ)如圖4所示，其中尺度因子σ=0.5;由式(3)可得經(jīng)核函數(shù)濾波后的信號(hào)模糊函數(shù)Mx(ξ，τ)如圖5所示。由于此仿真信號(hào)的模糊函數(shù)與指數(shù)核函數(shù)的坐標(biāo)軸呈一定的角度關(guān)系，在對兩者進(jìn)行乘積運(yùn)算時(shí)，導(dǎo)致不僅信號(hào)的互模糊函數(shù)項(xiàng)未消除，信號(hào)的自模糊函數(shù)項(xiàng)還被嚴(yán)重削弱。由式(2)最終可得該仿真信號(hào)的指數(shù)分布如圖6所示。由圖6可知，直接進(jìn)行指數(shù)分布計(jì)算，得到的時(shí)頻分布能夠大致反映仿真信號(hào)的分布趨勢。但是，由于仿真信號(hào)的模糊函數(shù)與指數(shù)核函數(shù)的重合不是很理想，導(dǎo)致兩者相乘以后得到的廣義模糊函數(shù)Mx(ξ，τ)中存在大量的交叉項(xiàng)成分，經(jīng)二維FFT后，得到的指數(shù)分布Px(t，f)也存在大量的交叉項(xiàng)，從而降低了時(shí)頻分辨率，不能得到令人滿意的結(jié)果。

3 指數(shù)分布的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)問題

3.1 坐標(biāo)軸旋的理論基礎(chǔ)

為了盡可能好地讓自模糊函數(shù)項(xiàng)通過核函數(shù)，互模糊函數(shù)項(xiàng)遠(yuǎn)離核函數(shù)，達(dá)到較高時(shí)頻分辨率，抑制交叉項(xiàng)的目的，本文提出了將指數(shù)核函數(shù)在模糊域內(nèi)進(jìn)行坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，以滿足不同形狀的自模糊函數(shù)項(xiàng)的方法，即在常規(guī)算法中引入一個(gè)新的輸入?yún)?shù)θ，它表征了核函數(shù)在模糊域中以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的任意角度。如圖7所示，假設(shè)在模糊域內(nèi)坐標(biāo)系O ξ τ中，原點(diǎn)O不動(dòng)，兩軸旋轉(zhuǎn)θ角可得一新坐標(biāo)系O ξ′ τ′。點(diǎn)C在坐標(biāo)系O ξ τ和O ξ′ τ′下的坐標(biāo)分別為(ξ，τ)和(ξ′，τ′)，則相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換為

ξ′=cos θ×ξ+sin θ×τ， τ′=-sin θ×ξ+cos θ×τ

通過以上的坐標(biāo)變換，可使模糊域的坐標(biāo)軸以任意角度旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)讓自模糊函數(shù)項(xiàng)盡可能地全部通過核函數(shù)，而互模糊函數(shù)項(xiàng)盡可能地遠(yuǎn)離核函數(shù)，以此給指數(shù)分布帶來了更高的靈活性，解決了前述的指數(shù)分布在分析模糊域中不沿ξ和τ軸附近分布信號(hào)時(shí)，時(shí)頻分布效果差的問題。

3.2 仿真實(shí)例

以前述的仿真信號(hào)為例，將指數(shù)核函數(shù)在模糊域內(nèi)旋轉(zhuǎn)一定角度(θ=π/4.65)時(shí)，得到的核函數(shù)等高線如圖8所示。經(jīng)核函數(shù)濾波后的信號(hào)廣義模糊函數(shù)如圖9所示。由圖9可以看出，經(jīng)過坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，使得核函數(shù)與模糊函數(shù)的自項(xiàng)得以最大程度的重合，在模糊域中最大程度地保持了信號(hào)自項(xiàng)的同時(shí)，極大地抑制了信號(hào)的交叉項(xiàng)。此廣義模糊函數(shù)經(jīng)過二維FFT后，得到如圖10所示的指數(shù)分布。從圖10中可以看出仿真信號(hào)的交叉項(xiàng)基本得到了抑制，與理想的時(shí)頻分布非常接近，得到了令人滿意的效果。

4 結(jié)束語

雙線性分布可以同時(shí)具有較高的時(shí)間域與頻率域分辨率，但目前在實(shí)際信號(hào)處理領(lǐng)域很少采用雙線性分布，主要原因是雙線性分布會(huì)產(chǎn)生一些多余的交叉項(xiàng)以及一些擾動(dòng)，對變換的正確解釋帶來一定的困難。而目前對交叉項(xiàng)的處理大多是通過對核函數(shù)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的[5~7]。

指數(shù)分布是一種常用的核函數(shù)，但是它對于模糊函數(shù)不在坐標(biāo)軸附近的信號(hào)不能得到很好的時(shí)頻分布。

本文針對這種情況提出了通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)來提高此類信號(hào)自項(xiàng)，抑制互項(xiàng)的方法，并以Chirp信號(hào)進(jìn)行了仿真，證明該方法算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)，為抑制指數(shù)核的交叉項(xiàng)問題提供了另一種思路。

但是，對于不同模糊函數(shù)特征的信號(hào)，選擇不同核函數(shù)角度θ，利用此種方法得到的時(shí)頻變換的效果差別很大，因此θ值大小的確定將在很大程度上決定時(shí)頻變換的效果。針對此種情況，對于特定的信號(hào)，可首先考察信號(hào)模糊函數(shù)的特性，以便確定是否對其核函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)角度θ的大小，另外也可以結(jié)合各種自適應(yīng)核時(shí)頻分析方法[8～10]，把θ作為一個(gè)參數(shù)變量，通過優(yōu)化計(jì)算來確定θ的大小。

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