基于子空間逼近的特征空間波束形成算法

摘 要:特征空間波束形成(ESB)算法為了得到信號(hào)子空間需要對(duì)采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，運(yùn)算量十分巨大，這大大限制了其應(yīng)用。為了減低ESB算法的運(yùn)算量，利用有理子空間逼近的原理，提出一種不需要估計(jì)信號(hào)源個(gè)數(shù)的快速ESB算法。該方法利用一個(gè)介于信號(hào)和噪聲特征值之間的分界值將特征空間分成兩個(gè)子空間，并用矩陣冪乘和此分界值的有理式逼近這兩個(gè)子空間的投影矩陣，將此投影矩陣代入到ESB算法的權(quán)值求解式中，在不降低性能的前提下，可大大提高波束形成的運(yùn)算速度。計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了該算法的有效性，并分析了分界值取值方法的不同對(duì)子空間劃分及波束形成性能的影響。

關(guān)鍵詞:陣列信號(hào)處理; 波束形成; 特征空間; 子空間逼近

中圖分類號(hào):TN911.7; TP301.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-3695(2010)06-2264-03

doi:10.3969/j.issn.10013695.2010.06.076

Eigenspacebased beamformers based on subspace approximation

NI Shuyan1， CHENG Naiping1， NI Zhengzhong2

(1.Academy of Equipment Command Technology， Beijing 101416， China; 2.Remote Sensing Information Research Institute， Beijing， 100192， China)

Abstract:The eigenspacebased (ESB) beamforming algorithm can be hardly used in realtime application because of its high computational cost of the eigendecomposition to obtain the signal subspace. To reduce the computational cost， this paper proposed a fast ESB algorithm based on subspace approximation. Without estimating the number of impinging signals， the algorithm splited the eigenspace into two subspaces with a threshold between the signal and the noise eigenvalues. Then utilizing the rational functions of the powers of the threshold and the sampling covariance matrix， approximated the projection matrixes of the two subspaces. Calculating the weight vector of the ESB algorithm based on the approximations could save computational loads without degrading the performance. Computer simulations illustrate the performance of the proposed algorithm and analyze the influence of the threshold to the algorithm.

Key words:array signal processing; beamforming; eigenspace; subspace approximation

0 引言

波束形成是陣列信號(hào)處理的一個(gè)非常重要的任務(wù)，其中Capon波束形成，即最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成(MVDR)是其中最重要的一種。常規(guī)Capon波束形成器在導(dǎo)向矢量和噪聲協(xié)方差矩陣精確已知的情況下，能夠自動(dòng)將主波束對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)方向，在干擾方向形成零陷，具有很好的分辨能力與干擾抑制能力。但是在實(shí)際系統(tǒng)中通常存在各種誤差，如采用小快拍數(shù)據(jù)時(shí)的協(xié)方差矩陣誤差或是由于波達(dá)方向估計(jì)不準(zhǔn)確引起的導(dǎo)向矢量誤差，這些都會(huì)導(dǎo)致副瓣電平升高，主瓣偏移，波束畸變，輸出信干噪比(SINR)急劇下降。為了提高波束形成的性能，文獻(xiàn)[1]提出了基于特征空間的波束形成技術(shù)(ESB)，它利用對(duì)陣列信號(hào)相關(guān)矩陣的特征值分解，形成信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后將常規(guī)波束形成器的權(quán)矢量投影到信號(hào)子空間，得到自適應(yīng)波束形成的權(quán)矢量，這種投影運(yùn)算使權(quán)矢量的范數(shù)變小，輸出噪聲功率變小，而期望信號(hào)和干擾信號(hào)的輸出功率不變，從而抑制了噪聲功率輸出，具有較好的收斂速度和較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

ESB算法中求解信號(hào)子空間時(shí)，需要對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，運(yùn)算量巨大。波達(dá)方向估計(jì)和多用戶檢測(cè)中出現(xiàn)了一些子空間逼近的方法，如文獻(xiàn)[2]提出的利用信號(hào)和噪聲特征值的分界值進(jìn)行有理近似的方法，文獻(xiàn)[3]提出的在信號(hào)子空間維數(shù)已知時(shí)的Powerlike算法;文獻(xiàn)[4]提出的Power of R(POR)算法。這些方法不需要特征分解，大大減小了子空間求解的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[5]將Powerlike算法應(yīng)用到特征空間算法中，驗(yàn)證了其良好性能。本文利用文獻(xiàn)[2]中對(duì)信號(hào)和干擾子空間投影矩陣的有理近似，提出一種不需要估計(jì)信號(hào)子空間維數(shù)的快速ESB算法。該方法利用有理逼近的方法代替特征分解法，求解信號(hào)子空間，在不降低性能的前提下，可大大提高波束形成的運(yùn)算速度。

1 ESB算法

考慮一個(gè)期望信號(hào)和P個(gè)干擾信號(hào)入射到陣元數(shù)為M、陣元間距為λ/2的均勻線陣上(P+1

x(t)=As(t)+n(t)

A=[a(θd)，a(θ1)，…，a(θP)]s(t)=[sd(t)，s1(t)，…，sP(t)]T(1)

其中:a(θd)和a(θp)(p = 1，2，…，P)分別為期望信號(hào)和干擾的方向向量;sd(t)和sp(t)(p=1，2，…，P)分別為期望信號(hào)和干擾的復(fù)包絡(luò);n(t)為背景噪聲。陣列輸出協(xié)方差矩陣為

Rx=E[x(t)xH(t)]=ARsAH+σ2nIM(2)

其中:Rs=E[s(t)sH(t)]是信號(hào)協(xié)方差矩陣;σ2n是噪聲功率;IM為M階單位矩陣。

MVDR波束形成的基本思想是讓它對(duì)感興趣的信號(hào)無(wú)失真輸出，同時(shí)使輸出噪聲方差最小，其權(quán)向量可表示為

wMVDR=R-1xa(θd)aH(θd)R-1xa(θd)(3)

ESB算法的加權(quán)向量是利用協(xié)方差矩陣的特征值分解，將自適應(yīng)權(quán)向量投影到協(xié)方差矩陣的信號(hào)子空間而得到。對(duì)接收信號(hào)采樣協(xié)方差矩陣Rx進(jìn)行特征值分解:

Rx=∑Mi=1λieieHi=EsΛsEHs+EnΛnEHn(4)

其中:λ1≥λ2≥…≥λP+1≥λP+2=…=λM=σ2n為Rx的M個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為e1，e2，…，eM;Λn=diag[λP+2，…，λM];Es=[e1，e2，…，eP+1]，En=[eP+2，…，eM]，Es和En的列向量分別張成信號(hào)子空間和噪聲子空間。

將MVDR的權(quán)向量投影到信號(hào)子空間得到ESB算法的權(quán)向量為

wESB=EsEHswMVDR(5)

可以看出，ESB法擯棄了權(quán)向量在噪聲子空間中的分量，而保留了其在信號(hào)子空間的分量，權(quán)向量的范數(shù)更小，輸出噪聲功率較小，而期望信號(hào)和干擾信號(hào)的輸出功率不變，所以輸出SINR增大，并且收斂速度較快。

2 基于子空間逼近的ESB算法

ESB算法的主要運(yùn)算量集中在求解信號(hào)子空間的特征值分解上，對(duì)于M×M階矩陣，利用GolubReinsch算法[3]進(jìn)行特征值分解的運(yùn)算量為21 M3，如此大的運(yùn)算量，大大限制了其應(yīng)用。利用矩陣冪乘快速得到信號(hào)或噪聲子空間的投影矩陣，是子空間逼近類算法的主要思想。由于先驗(yàn)知識(shí)的不同，各種方法的逼近形式也是不同的。本文研究的利用信號(hào)和噪聲特征值的分界值和矩陣冪乘的有理函數(shù)逼近子空間的方法，其優(yōu)點(diǎn)為可以不需要估計(jì)子空間的維數(shù)，需要先驗(yàn)已知的分界值也可以通過采樣協(xié)方差矩陣的跡近似表示。

取一正數(shù)b作為分界值，b滿足λ1≥λ2≥…≥λP+1>b>λP+2=…=λM=σ2n，利用b將特征空間劃分為兩個(gè)子空間，其對(duì)應(yīng)的投影矩陣分別定義為

Qs=∑i:λi>beieHi

Qn=∑i:λi

可見，這兩個(gè)子空間即為信號(hào)子空間和噪聲子空間，即Qs=EsE Hs，Qn=EnEHn。構(gòu)造函數(shù)Q(m)=(bmIM-Rmx)(bmIM+Rmx)-1，將采樣協(xié)方差矩陣的特征分解式(4)代入到Q(m)中可以得到

Q(m)=∑Mi=1bm-λmibm+λmieieHi==∑λi>b(bλi)m-1(bλi)m+1eieHi+∑λi

當(dāng)m趨近于無(wú)窮時(shí)，如果λi>b，則有(b/λi)m→0，如果λi

limm→∞Q(m)=-∑λi>beieHi+∑λi

又因?yàn)?

Qn+Qs=IM=(bmIM+Rmx)(bmIM+Rmx)-1(9)

兩式相加、相減分別可以得出

limm→∞Rmx(bmIM+Rmx)-1=Qslimm→∞bm(bmIM+Rmx)-1=Qn(10)

由于利用式(9)求解Qn的計(jì)算量要低于求解Qs的計(jì)算量，可以首先計(jì)算Qn，再利用Qs=IM-Qn得出Qs，將其代入到ESB算法的權(quán)值求解式中可以求出自適應(yīng)權(quán)向量。本文將這種基于子空間有理逼近的ESB算法稱為RAESB算法。

下面分析RAESB算法求解信號(hào)子空間的計(jì)算量:a)進(jìn)行矩陣冪乘運(yùn)算。采用Strassen算法[3]計(jì)算兩個(gè)M×M階矩陣相乘的運(yùn)算量為M2.807，如果m是2的r次冪，則計(jì)算Rmx需要rM2.807次復(fù)乘運(yùn)算，矩陣加法的運(yùn)算量可以忽略。b)要進(jìn)行的是矩陣求逆運(yùn)算。利用LU分解計(jì)算M×M維矩陣的逆，需要M(M-1)(2M-1)/3次復(fù)乘運(yùn)算。c)進(jìn)行是常數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算。需要M次復(fù)乘。因此采用該方法求解信號(hào)子空間的運(yùn)算量為:rM2.807+2M3/3- M2+4M/3。一般來(lái)講，有理近似的階數(shù)m取3~5即可得到高精度的近似，取m=4時(shí)運(yùn)算量為2M2.807+2M3/3- M2+4M/3，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于采用特征分解求解子空間的運(yùn)算量。

實(shí)際應(yīng)用中，分界值b可以通過測(cè)量不存在信號(hào)時(shí)的噪聲功率得到，也可以通過估計(jì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最小特征值得到[2]。文獻(xiàn)[3]給出了一種分界值的近似取法，令b=tr(Rx)/M，由于λi≥σ2n，有tr(Rx)=∑Mi=1λi>Mσ2n，則b滿足b>σ2n。當(dāng)陣元數(shù)目M很大時(shí)，信號(hào)子空間的維數(shù)相對(duì)較小時(shí)，利用Rx的跡近似表示分界值，可以得到比較滿意的結(jié)果。但是在期望信號(hào)功率遠(yuǎn)低于干擾信號(hào)功率，陣元數(shù)目又不是足夠大時(shí)，估計(jì)的b可能會(huì)大于期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征值，這樣以b為分界值劃分子空間時(shí)就會(huì)將期望信號(hào)劃到噪聲子空間中，波束形成就會(huì)對(duì)期望信號(hào)進(jìn)行抑制，造成波束圖的畸變。

為了改善以上問題，令bm=mtr(Rmx)/M，可以證明b>bm>σ2n，因此，在b=tr(Rx)/M滿足λp>bm>σ2n時(shí)，bm一定也滿足λp>bm>σ2n。即使b大于了某一信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征值，由于bm

3 計(jì)算機(jī)仿真分析

下面對(duì)幾種不同情況作計(jì)算機(jī)仿真和分析，將RAESB與ESB算法進(jìn)行比較，以驗(yàn)證其有效性。假設(shè)一個(gè)期望信號(hào)和兩個(gè)干擾信號(hào)從遠(yuǎn)場(chǎng)入射到陣元間距為半波長(zhǎng)等距線陣，期望信號(hào)和干擾信號(hào)兩兩互不相關(guān);期望信號(hào)方向?yàn)?°，觀察波束方向2°;兩個(gè)干擾信號(hào)的入射角分別為40°、-30°，干擾噪聲比(INR)分別為10 dB、5 dB;采樣快拍數(shù)取500次，每一個(gè)仿真結(jié)果都是由100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)結(jié)果平均得到。

實(shí)驗(yàn)1 設(shè)陣元數(shù)為10，為了觀察RAESB算法在理想狀態(tài)下的性能，在仿真中取分界值為(λp+1+λp+2)/2。圖1(a)畫出了不同冪乘次數(shù)時(shí)，RAESB算法的輸出SINR隨輸入SNR變化的曲線?？梢钥闯?，在分界值b滿足λp+1>b>λp+2的理想狀態(tài)下，RAESB算法的性能在m≥2時(shí)已經(jīng)與ESB算法的性能基本一致。圖1(b)為SNR=0dB時(shí)兩種方法的波束圖，冪乘次數(shù)取m=3，從波束圖中也可以看出，兩種方法都能克服指向誤差的影響，將主瓣指向了期望信號(hào)方向，旁瓣水平和零陷深度也基本一致。

實(shí)驗(yàn)2 觀察分界值近似獲得時(shí)RAESB算法的輸出性能。其中圖2(a)中為陣元數(shù)為10，分界值分別取b=tr(Rx)/M和bm=mtr(Rmx)/M時(shí)，RAESB算法的輸出SINR隨輸入SNR變化的曲線。從圖2中可以看出:兩種取值所對(duì)應(yīng)的曲線走勢(shì)相似，但后者的性能明顯優(yōu)于前者;兩者都與ESB算法的曲線相差很大，這是由于陣元數(shù)目有限，近似獲得的分界值誤差較大造成的。在SNR相對(duì)于INR比較低時(shí)，所取的分界值會(huì)大于期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征值，這樣以此分界值劃分子空間時(shí)就會(huì)將期望信號(hào)劃到噪聲子空間中，隨著m值的增大，這種子空間的劃分越來(lái)越精確，信號(hào)子空間中所含期望信號(hào)的成分越來(lái)越少，因此輸出性能會(huì)越來(lái)越差。而在SNR相對(duì)于INR比較高時(shí)，所取分界值就可能大于某一干擾信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征值，以此劃分子空間時(shí)會(huì)將這一干擾信號(hào)劃到噪聲子空間中，這對(duì)于輸出SINR是有利的，是ESB算法中不具備的優(yōu)點(diǎn)，因此其輸出SINR比ESB算法要高，并且隨著m值的增大，信號(hào)子空間中所含的這一干擾信號(hào)的成分越少，輸出性能越好。

本文將陣元數(shù)目M增加到30，分界值仍然取兩種近似值，觀察RAESB算法的輸出性能如圖2(b)。因?yàn)镸值相對(duì)于信號(hào)源個(gè)數(shù)越多，對(duì)分界值估計(jì)的成功率越高，所以增加了陣元數(shù)后，在SNR相對(duì)INR比較低時(shí)，分界值也降到了小于期望信號(hào)特征值的范圍內(nèi)，這樣就能夠成功地劃分信號(hào)和噪聲子空間。從圖2(b)中也可以看出在SNR<15時(shí)，RAESB算法的性能與ESB算法基本一致;而在SNR>15時(shí)，其輸出性能要優(yōu)于ESB算法，這是由于RAESB算法將某一個(gè)或多個(gè)干擾信號(hào)抑制到了信號(hào)子空間以外的原因。

實(shí)驗(yàn)3 設(shè)陣元數(shù)為10，分界值分別取b=tr(Rx)/M和bm=mtr(Rmx)/M，冪乘次數(shù)m=3，觀察輸入SNR分別為0 dB和15 dB時(shí)各種方法的波束圖，如圖3所示。從圖3中可以看出，在輸入SNR=0時(shí)，ESB算法在兩個(gè)干擾處都形成了零陷，而RAESB算法在40°的大干擾值處形成了零陷，但在-30°的小干擾值處出現(xiàn)了一個(gè)旁瓣，在分界值為b時(shí)這個(gè)旁瓣很大，但在分界值為bm時(shí)這個(gè)旁瓣很小， 更接近于ESB算法中的零陷水平，因此分界值取bm的性能要優(yōu)于分界值為b時(shí)。在輸入SNR=15 dB時(shí)，RAESB的性能明顯優(yōu)于ESB算法，此時(shí)SNR比兩個(gè)INR都要高，ESB算法沒在干擾方向形成零陷，而RAESB算法在大干擾方向的增益與ESB算法基本相同，而在小干擾方向的增益遠(yuǎn)低于ESB算法，這由于分界值介于小干擾特征值和大干擾特征值之間，將小干擾信號(hào)抑制到了信號(hào)子空間以外。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)ESB算法中利用特征值分解求解信號(hào)子空間運(yùn)算量巨大的缺點(diǎn)，利用子空間逼近的原理，提出了一種不需要估計(jì)信號(hào)源個(gè)數(shù)的快速ESB算法，在不降低性能的前提下，大大提高了波束形成的運(yùn)算速度。本文分析了分界值的近似取值對(duì)空間劃分以及波束形成輸出性能的影響，提出一種更為合理的近似方式，提高了子空間劃分的成功率。仿真實(shí)驗(yàn)證明，在分界值估計(jì)正確時(shí)，RAESB算法的性能與ESB算法一致;在分界值取近似值時(shí)，改進(jìn)的取值方法能夠提高子空間劃分的成功率，使其性能接近于ESB算法;在陣元數(shù)相對(duì)于信號(hào)源數(shù)比較多，或是期望信號(hào)功率相對(duì)于干擾功率不是很低時(shí)，分界值取文中的近似值也能達(dá)同ESB相當(dāng)?shù)男阅堋?/p>

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