環上Fpk+uFpk的循環碼

摘 要:利用Gray映射Φ的性質，研究了交換環R=Fpk+uFpk上任意長的循環碼。其中p是素數，k是一給定的正整數。證明了環R上長為n的碼C是循環碼當且僅當Φ(C)是Fpk上指標為pk長為npk的準循環碼。特別地，環R上長為n的線性循環碼的Gray像是有限域Fpk上指標為pk長為npk的線性準循環碼。

關鍵詞:循環碼; 準循環碼; 格雷映射

中圖分類號:O236.2;TP391文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)06-2026-02

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.06.007

Cyclic codes over ring Fpk+uFpk

LIANG Hua1， TANG Yuan-sheng2

(1.School of Mathematical Science， Huaiyin Teachers College， Huaian Jiangsu 223300，China; 2. School of Mathematical Science， Yangzhou University， Yangzhou Jiangsu 225002， China)

Abstract:Based on the property of Gray map Φ， studied cyclic codes of arbitrary length over the commutative ring R =Fpk+uFpk， where p was a prime and k≥1 was a positive integer. Proved that a code C of length n over R was a cyclic code if and only if its Gray image was a quasi-cyclic code over Fpk of index pk and length npk. In particular， the Gray image of a linear cyclic code of length n over R was a linear quasi-cyclic code over Fpk of index pk and length npk.

Key words:cyclic code; quasi-cyclic code; Gray map

0 引言

隨著信息產業的飛速發展，信息的傳輸、變換、壓縮和儲存等信息處理中的有效性、可靠性和安全性等問題已經成為了亟待解決的重要問題，而各種形式的編碼和密碼則是解決上述這些問題的基本理論和方法。

近年來，隨著有限域上糾錯碼理論的成熟，很多從事編碼理論研究的學者將研究興趣從有限域上編碼理論轉移到有限環上編碼理論上來。Wolfmann在文獻[1]中證明了環Z4上長為n的線性負循環碼的Gray像是F2上長為2n的循環碼;若n為奇數，則環Z4上長為n的線性循環碼的Gray像置換等價于F2上的線性循環碼。文獻[2]中，Ling等人將文獻[1]的結論推廣至環Zpk+1上。錢建發等人在文獻[3]中采用同文獻[1]中類似的方法研究了環F2+uF2上(1+u)-循環碼以及長度為奇數的循環碼。文獻[4]的，Amarra等人將文獻[3]的結果推廣到環Fpk+uFpk上。其中Fpk=GF(pk)。文獻[5]則將文獻[4]的結論進一步推廣到有限鏈環上。

文獻[1～5]僅討論了相應環上碼長n與p互素的循環碼，而對于相應環上任意長的循環碼則沒有討論。本文將文獻[4]中的結論作了進一步的推廣，得到了環Fpk+uFpk上的碼是循環碼的一個充分必要條件，這里碼長n與p不必互素。

1 基本概念

設p為素數，k是給定正整數。R是指交換環Fpk+uFpk，其中Fpk=GF(pk)，u2=0 。R是有限鏈環，其極大理想為uR。

下文中環R總是指環Fpk+uFpk。

定義1 Rn上的循環移位σ定義為σ(r0，r1，…，rn-1)=(rn-1，r0，…，rn-2)。

定義2 Fpknpk到Fpknpk的映射pk定義為pk(a(1)|a(2)|…|a(pk))=((a(1))|(a(2))|…|(a(pk)))。其中:a(1)，a(2)，…，a(pk)∈Fpkn而∶Fnpk→Fnpk表示Fnpk上的循環移位。

環R上長為n的線性碼是指R-模Rn的一個加法子模。若Rn的子集C滿足σ(C)=C，則稱C為環R上長為n的循環碼;若Fnpkpk的子集滿足pk()=，則稱是Fpk上指標為pk長為npk的準循環碼。顯然，指標為1的準循環碼是循環碼。

本文中，循環碼以及準循環碼不必是線性碼。

2 Gray映射及其性質

集合{0，1，2，…，pk-1}中任一元素ε都可以惟一標志為

ε=r0(ε)+r1(ε)p+…+rk-1(ε)pk-1

其中:r0(ε)，r1(ε)，…，rk-1(ε)∈{0，1，2，…，p-1}。

設α是Fpk的一個本原元，則對任意的ε∈{0，1，2，…，pk-1}，Fpk中有相應的元αε=r0(ε)+r1(ε)α+…+rk-1(ε)αk-1。

定義3[4] 環Rn到Fnpkpk的Gray映射定義為

Φ(r)=(y，α1xy，…，αpk-1xy)

這里r=x+uy∈Rn，x，y∈Fnpk，而表示Fpk和Fnpk中元素的加法。

當p=2，k=1時，得到(F2+uF2)n→Fn22的Gray映射[3]。

根據定義3，容易得到如下命題:

命題1 設r，r′∈Rn，則有

a)Φ(r+r′)=Φ(r)Φ(r′);

b)Φ(βr)=βΦ(r)。其中β∈Fpk。

從現在起，用(l)n表示l模n的最小非負剩余，這里l∈Z。

集合{0，1，…，npk-1}(Z)中任一元素N均可惟一標志成N=εn+j。其中j=(N)n，ε∈{0，1，2，…，pk-1}。

命題2 Φσ=pkΦ。

證明 設r=(r0，…，rn-1)=x+uy∈Rn。

其中x=(x0，…，xn-1)，y=(y0，…，yn-1)∈Fnpk。

設Φ(r)=(a0，a1，…，anpk-1)，對任意的N=εn+j∈{0，1，…，npk-1}Z。其中j=(N)n，ε∈{0，1，2，…，pk-1}。根據定義3和2得

aN=aεn+j=∑k-1i=0ri(ε)αixjyj

pk(Φ(r))=((a0，a1，…，an-1)|(an，an+1，…，a2n-1)|…|(an(pk-1)，an(pk-1)+1，…，anpk-1))=(an-1，a0，…，an-2|a2n-1，an，…，a2n-2|…|anpk-1，an(pk-1)，…，anpk-2)

另一方面，設Φ(σ(r))=Φ(rn-1，r0，…，rn-2)=(b0，b1，…，bnpk-1)。由定義3得

bN=(∑k-1i=0ri(ε)αi)xn-1yn-1，j=0(∑k-1i=0ri(ε)αi)xj-1yj-1，j≥1=aεn+(n-1)=aN+n-1，j=0aεn+(j-1)=aN-1， j≥1

故有pk(Φ(r))=Φσ(r)，命題得證。

3 環R上循環碼的Gray像

定理1 環R上長為n的碼C是循環碼當且僅當它的Gray像Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的準循環碼。

證明 必要性。設C為環R上長為n的循環碼，則有Φ(C)=C。由命題2得

pk(Φ(C))=Φ(σ(C))=Φ(C)

故Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的準循環碼。

充分性。設Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的準循環碼，由命題2得

Φ(σ(C))=pk(Φ(C))=Φ(C)

又Φ是單射，故有Φ(C)=C，即C為環R上長為n的循環碼。

推論1 環R上長為n的線性循環碼的Gray像是有限域Fpk上指標為pk長為npk的線性準循環碼。

證明 設C為環R上長為n的線性循環碼，則由定理1得，Φ(C)是Fpk上指標為pk長為npk的準循環碼。

再由命題1知，Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的線性準循環碼。

4 結束語

本文刻畫了環R上循環碼的Gray像的特征，解決了文獻[3]和[5]的conclusion中提出的問題。本文結果可以推廣到有限鏈環文獻[5]中去，這將有助于進一步研究有限鏈環上的循環碼。

參考文獻:

[1]WOLFMANN J. Negacyclic and cyclic codes over Z4[J]. IEEE Trans on Information Theory，1999，45(7):2527-2532.

[2]LING S，BLACKFORD J.Zpk+1-linear codes[J]. IEEE Trans on Information Theory，2002，48(9):2592-2605.

[3]QIAN Jian-fa， ZHANG Li-na， ZHU Shi-xin.(1+u)-cyclic and cyclic codes over F2+uF2[J]. Applied Mathematics Letters，2006，19:820-823.

[4]AMARRA M C V， NEMENZO F R. On (1-u)-cyclic codes over Fpk+uF2[J]. Applied Mathematics Letters，2008，21(11):1129-1133.

[5]QIAN Jian-fa， MA Wen-ping. Constacyclic and cyclic codes over finite chain rings[J].Journal of China Universities of Posts and Telecommunications，2009，16(3):122-125.