基于時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段線性表示

摘 要:在充分利用時(shí)間序列時(shí)變特征的基礎(chǔ)上，以有效地提取序列中的趨勢(shì)和壓縮原始數(shù)據(jù)為目標(biāo)，提出了基于時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段線性表示方法。該方法在有效地提取序列中的趨勢(shì)和壓縮原始數(shù)據(jù)的同時(shí)，能夠隨著時(shí)間序列長(zhǎng)度的增長(zhǎng)對(duì)序列進(jìn)行劃分，具有高效、實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)便、效果直觀的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于不同領(lǐng)域的數(shù)據(jù)適應(yīng)性良好。

關(guān)鍵詞:時(shí)間序列; 分段線性表示; 趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn); 擬合誤差

中圖分類號(hào):TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-3695(2010)06-2075-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.06.022

PLR based on time series tendency turning point

SHANG Fu-hua， SUN Da-chen

(School of Computer Information Technology， Daqing Petroleum University， Daqing Heilongjiang 163318， China)

Abstract:Based on time series time-variable characteristic， aimed at extracting the tendency in the time series and compres-sing primary data， introduced a method named PLR based on time series tendency turning point. This method is good at extracting the tendency in the series and compressing primary data， at the same time， it can partition time series as the series growing and has the merit of easily being carried out， remarkable result and suitable ability for the data from different field.

Key words:time series; PLR(piecewise linear representation); tendency turning point; fitting error

時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的一系列觀測(cè)數(shù)據(jù)，其觀測(cè)值按固定的時(shí)間間隔采樣。時(shí)間序列廣泛存在于商業(yè)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)工程和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，如股票價(jià)格數(shù)據(jù)、銷售數(shù)據(jù)、圖像數(shù)據(jù)、影像數(shù)據(jù)、手寫體數(shù)據(jù)、腦掃描數(shù)據(jù)等都可以看做是時(shí)間序列數(shù)據(jù)[1]。這些數(shù)據(jù)中隱藏著大量重要的信息，反映的大都是某個(gè)待觀察過(guò)程在一定時(shí)期內(nèi)的狀態(tài)或表現(xiàn)[2]。

面對(duì)海量數(shù)據(jù)，直接去操作一個(gè)高維的數(shù)據(jù)空間是很困難的。因此，需要研究合適的數(shù)據(jù)表示形式，進(jìn)行維度約簡(jiǎn)，在高效、方便的表示形式上進(jìn)行有效的挖掘[3]。

幾種主要技術(shù)，如離散傅里葉變換、小波變換和奇異值分解等是精確的方法。為提高相似匹配效率，也有學(xué)者提倡使用近似方法，可采用有損耗的數(shù)據(jù)壓縮模式，如分段線性表示(PLR)方法、序列離散化、字符串匹配方法等[3]。其中，分段線性表示方法利用直線段來(lái)近似表示時(shí)間序列的局部波動(dòng)，具有時(shí)間多解析，而且支持快速的相似性檢索和新的距離，是一種很好的數(shù)據(jù)壓縮和消除噪聲的方法[4]，而且多數(shù)的PLR表示方法支持時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)增量更新。時(shí)間序列的PLR表示方法已經(jīng)在下列一些領(lǐng)域得到應(yīng)用[5]:a)快速的相似性搜索;b)支持新的距離度量，包括模糊查找、加權(quán)序列、DTW距離，信息反饋等;c)支持文本和數(shù)據(jù)序列;d)支持新的聚類和分類算法;e)支持奇異檢測(cè)。

目前的PLR算法對(duì)原始數(shù)據(jù)分段均采用單一的擬合誤差作為閾值，分段效果不太理想[6]，算法本身的通用性、時(shí)間復(fù)雜度等性能都有待提高;而時(shí)間序列相似性研究中，有效的數(shù)據(jù)表示是提高相似搜索效率和減少搜索時(shí)間的關(guān)鍵[7]。由于來(lái)自不同領(lǐng)域的時(shí)間序列數(shù)據(jù)具有明顯的數(shù)據(jù)特征差異，同一時(shí)間序列數(shù)據(jù)在不同的時(shí)間段上呈現(xiàn)出來(lái)的數(shù)據(jù)特征也不相同，這些均可看做是數(shù)據(jù)的波動(dòng)特征，而波動(dòng)特征是時(shí)間序列趨勢(shì)變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)和時(shí)間序列隨時(shí)間變化的表現(xiàn)形式，能更好地代表這個(gè)時(shí)間序列的本質(zhì)特征。因此，本文認(rèn)為將這些轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為PLR方法中提取分段點(diǎn)的依據(jù)，來(lái)對(duì)序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分段線性表示，更能反映時(shí)間序列的變化趨式，同時(shí)，也能達(dá)到對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行有效壓縮的目的。

1 時(shí)間序列的分段線性表示

Keogh在文獻(xiàn)[5]中提出了一種時(shí)間序列分段線性表示方法，這種方法能夠?qū)r(shí)間序列進(jìn)行有效的壓縮，在一定程度上能反映時(shí)間序列的變化趨式，因而在時(shí)間序列數(shù)據(jù)挖掘中得到大量的應(yīng)用。在Keogh的分段線表示方法中，分段近似的目標(biāo)是使原時(shí)間序列與其線性近似表示之間的殘差平方和最小，在這種目標(biāo)函數(shù)的限制下，不能保證時(shí)間序列的每一分段內(nèi)只具有一種基本趨勢(shì)，也就是只具有上升、下降或平穩(wěn)中的一種，因此將導(dǎo)致時(shí)間序列的某些點(diǎn)的基本趨勢(shì)被錯(cuò)誤提取[8]。

大量的學(xué)者提出了很多、新的時(shí)間序列的分段線性表示方法，主要有基于特征點(diǎn)的分段線性表示方法[6]、基于時(shí)態(tài)邊緣算子的時(shí)間序列分段線性表示[4]、基于重要點(diǎn)的時(shí)間序列趨勢(shì)特征提取的方法[8]等。在這些研究方法中都表明，在進(jìn)行分段線性表示原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)的同時(shí)，原序列中的一些重要數(shù)據(jù)點(diǎn)是必須被保留的，如達(dá)到一定變化幅度的極值點(diǎn)、邊緣幅度變化劇烈的點(diǎn)或是局部極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)點(diǎn)保存著時(shí)間序列變化的主要特征模式。而在這些研究中，位于相鄰的重要數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化趨勢(shì)卻有待進(jìn)一步細(xì)化，也就是必須找出趨勢(shì)變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這些轉(zhuǎn)折點(diǎn)是上升、下降或平穩(wěn)趨勢(shì)的端點(diǎn)，而這些轉(zhuǎn)折點(diǎn)間的數(shù)據(jù)可以通過(guò)直線插補(bǔ)的方法來(lái)代替，從而完成數(shù)據(jù)壓縮的任務(wù)。因此，本文提出了基于時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段線性表示方法，該方法可以全面地提取出時(shí)間序列中趨勢(shì)變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

2 基于時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段線性表示

2.1 時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)

時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下的兩種情況:

a)波動(dòng)幅度達(dá)到一定程度的極值點(diǎn)，也就是幅度變化劇烈且相鄰的極值點(diǎn)。相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)證實(shí)了極值點(diǎn)帶有較多的信息[6，8]。

對(duì)于波動(dòng)幅度達(dá)到一定程度的極值點(diǎn)的判斷，依據(jù)文獻(xiàn)[6]中的定義1，確定特征點(diǎn)的方法，給定常數(shù)R和時(shí)間序列{X=(v1，t1)，…，(vn，tn)}，如果Xm是一個(gè)波動(dòng)幅度達(dá)到一定程度的極值點(diǎn)，應(yīng)滿足如下條件:

(a)它必須是時(shí)間序列的一個(gè)極值點(diǎn)，X1和Xn除外。

(b)如果Xm >Xm-1，則Xm/Xm-1>R必須成立;否則，如果XmR必須成立。

通過(guò)以上方法得到的時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)點(diǎn)代表了時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，是本文尋找的趨勢(shì)變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)中的一種。

b)短時(shí)間大波動(dòng)數(shù)據(jù)點(diǎn)，也就是波動(dòng)幅度達(dá)到一定程度的相鄰點(diǎn)，并且這些點(diǎn)不是極值點(diǎn)。

對(duì)于短時(shí)間內(nèi)大波動(dòng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的判斷:

假設(shè)當(dāng)前點(diǎn)的值與其直接相鄰的前一個(gè)點(diǎn)的值相減的絕對(duì)值為Q，當(dāng)前點(diǎn)的值與其直接相鄰的下一個(gè)點(diǎn)的值相減的絕對(duì)值為P，當(dāng)Q不為0時(shí)，如果P/Q>K或P/Q<1/K，則認(rèn)為是短時(shí)間內(nèi)大波動(dòng)數(shù)據(jù)，K為一個(gè)指定的數(shù)據(jù);當(dāng)Q為0且P不為0時(shí)，則也認(rèn)為是短時(shí)間內(nèi)大波動(dòng)數(shù)據(jù)，如圖1所示。

a、b、c位置相鄰的三點(diǎn):Q=|b-a|，P=|b-c|，滿足上述條件時(shí)，a、b、c三點(diǎn)就是短時(shí)間大波動(dòng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。其中b是這種變化趨勢(shì)的轉(zhuǎn)折點(diǎn);而與b相類似的這種變化趨勢(shì)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是本文尋找的另一種趨勢(shì)變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

通過(guò)以上兩種方法確定的時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，代表了時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，這里稱之為時(shí)間序列的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

通過(guò)第一種方法得到的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有效地反映了時(shí)間序列在相鄰的局部極值點(diǎn)之間的變化趨勢(shì);而通過(guò)第二種方法得到的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，則有效地反映了時(shí)間序列在相鄰的非局部極值點(diǎn)之間的變化趨勢(shì)，從而完成了用兩種尺度來(lái)描述時(shí)間序列變化趨勢(shì)的任務(wù);更為重要的是，以趨勢(shì)變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)來(lái)反映時(shí)間序列的變化特征，充分利用了時(shí)間序列數(shù)據(jù)自身的時(shí)變特征，為PLR方法中分段點(diǎn)的選擇提供了理論依據(jù)。

2.2 基于趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段線性表示

通過(guò)2.1節(jié)中的兩種方法得到時(shí)間序列的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這些相鄰的點(diǎn)之間進(jìn)行直線插補(bǔ)，就得出了本文提出的基于時(shí)間序列趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段線性表示。其算法步驟如下:

a)對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行掃描。在這一過(guò)程中，記錄原始時(shí)間序列的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即波動(dòng)幅度達(dá)到一定程度的極值點(diǎn)和短時(shí)間大波動(dòng)的非極值數(shù)據(jù)點(diǎn)。

b)對(duì)于每一對(duì)趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)進(jìn)行直線插補(bǔ)，以這樣的直線代替原來(lái)的曲線數(shù)據(jù)。

在充分利用了時(shí)間序列數(shù)據(jù)自身的時(shí)變特征的基礎(chǔ)上，本方法有效地對(duì)時(shí)間序數(shù)據(jù)進(jìn)行了維數(shù)的約簡(jiǎn)，是一種支持時(shí)間序列動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)的方法。本方法還具有實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)便、直觀和運(yùn)算效高的優(yōu)點(diǎn)。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文中的數(shù)據(jù)集選擇來(lái)自不同領(lǐng)域的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集:海洋溫度數(shù)據(jù)ocean、油田測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中的自然伽碼數(shù)據(jù)GR和語(yǔ)音數(shù)據(jù)speech。

3.2 實(shí)驗(yàn)方法

本文選擇兩種主要的時(shí)間序列線性分段算法作為比較對(duì)象:a)基于PAA(piecewise aggregate approximation)的分段線性表示[9，10];b)基于特征點(diǎn)的分段線性表示[6]。

在基于PAA的分段線性表示算法中，用長(zhǎng)度相同的時(shí)間窗口分割時(shí)間序列，每個(gè)窗口內(nèi)的時(shí)間序列用窗口內(nèi)數(shù)據(jù)值的平均值來(lái)表示，這里的輸入?yún)?shù)為窗口的長(zhǎng)度。PAA方法可以使用更為靈活的距離度量，包括加權(quán)Euclidian距離、DTW的精確索引，而且PAA允許執(zhí)行比索引項(xiàng)更短的查詢，這種能力是DFT、DTW和SVD所不具備的。從可以使用的距離度量、性能和效果的綜合評(píng)價(jià)來(lái)看，以上所提到的方法中，在多數(shù)情況下PAA是較優(yōu)的方法[11]，所以本文選擇基于PAA的分段線性表示算法作為比較的對(duì)象之一。

在基于特征點(diǎn)的分段線性表示算法[6]中，當(dāng)相鄰的局部極值點(diǎn)達(dá)到一定的波動(dòng)幅度后，就被定義為特征點(diǎn)，在這些相鄰的特征點(diǎn)之間進(jìn)行直線擬合，就得到了這條時(shí)間序列數(shù)據(jù)基于特征點(diǎn)的分段線性表示，這里命名為PLR_CE。本文中提出的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)在包括基于特征點(diǎn)的分段線性表示算法[6]中的特征點(diǎn)的同時(shí)，還包括時(shí)間序列中的相鄰數(shù)據(jù)變化幅度達(dá)到一定幅度的非局部極值點(diǎn)，所以本文選擇基于特征點(diǎn)的分段線性表示算法作為另一個(gè)比較的對(duì)象。本文提出的方法，這里命名為PLR_TP。

在本文提出的分段線性表示方法中，對(duì)于每一個(gè)分段中的所有點(diǎn)用一條連接兩個(gè)端點(diǎn)的直線所代替，盡管這條直線與這些點(diǎn)較為接近，但存在誤差。這里定義第i段上的誤差為:在同一時(shí)刻，擬合直線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的值與原曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的值相減，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的誤差e，將這些誤差e取平方后再相加，得出代數(shù)和Ei;對(duì)于分成多段的時(shí)間序列，每一段上的誤差相加求和，再取它的平方根，而后再除以原時(shí)間序列的長(zhǎng)度，就得出了整條時(shí)間序列的誤差E，這是衡量維數(shù)約簡(jiǎn)后的序列與原時(shí)間序列擬合效果的重要標(biāo)準(zhǔn)。

在本文所選擇的數(shù)據(jù)集上，驗(yàn)證各種算法的運(yùn)行狀況，比較三種算法對(duì)于每一種數(shù)據(jù)的表示效果。

3.2.1 PLR_TP的適應(yīng)能力

對(duì)來(lái)自不同領(lǐng)域的三種數(shù)據(jù)集中的每一種數(shù)據(jù)集，運(yùn)用本文提出的算法，通過(guò)對(duì)算法中波動(dòng)點(diǎn)的波動(dòng)幅度的調(diào)整，在一定的擬合誤差的限制條件下，求出對(duì)于同一時(shí)間序列整體變化特征的體現(xiàn)效果，并進(jìn)行以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比:

a)對(duì)于長(zhǎng)度為1 020的語(yǔ)音數(shù)據(jù)speech，原序列曲線和擬合后的序列曲線如圖2所示。

圖2(a)為原序列的曲線，擬合后的序列曲線如圖2(b)的曲線。圖中符號(hào)o是本文算法中提取出的有效波動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)相鄰符號(hào)o之間為直線插補(bǔ)后的直線。

原時(shí)間序列長(zhǎng)度為1 020，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為245，而擬合誤差為7.340 6。

b)對(duì)于長(zhǎng)度為1 001的海洋溫度數(shù)據(jù)ocean，原序列曲線和擬合后的序列曲線如圖3所示。

圖3(a)為原序列的曲線，擬合后的序列曲線如圖3(b)的曲線。圖中符號(hào)o是本文算法中提取出的有效波動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)相鄰符號(hào)o之間為直線插補(bǔ)后的直線。

原時(shí)間序列長(zhǎng)度為1 001，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為207，而擬合誤差為0.003 4。

c)對(duì)于長(zhǎng)度為1 000的油田測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中的自然伽碼數(shù)據(jù)GR，原序列曲線和擬合后的序列曲線如圖4所示。

圖4(a)為原序列的曲線，擬合后的序列曲線如圖4(b)的曲線。圖中符號(hào)o是本文算法中提取出的有效波動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)相鄰符號(hào)o之間為直線插補(bǔ)后的直線。

原時(shí)間序列長(zhǎng)度為1 000，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為96，而擬合誤差為0.036。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

數(shù)據(jù)原序列長(zhǎng)度序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度擬合誤差

speech1 0202457.340 6

ocean1 0012070.003 4

GR1 000960.036

在時(shí)間序列表示過(guò)程中，整條序列的擬合誤差說(shuō)明了經(jīng)過(guò)處理后的序列與原序列之間的差別程度，而這種誤差是必然存在的。當(dāng)擬合誤差過(guò)大，說(shuō)明這種序列表示某些趨勢(shì)被錯(cuò)誤提取了;而擬合誤差過(guò)小，經(jīng)過(guò)處理后的序列的長(zhǎng)度必然與原序列的長(zhǎng)度接近，達(dá)不到有效壓縮原序列的目的。

通過(guò)以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，可以得出本算法具有很強(qiáng)的靈活性，對(duì)不同領(lǐng)域的時(shí)間序列數(shù)據(jù)均能達(dá)到有效的維數(shù)約簡(jiǎn)和表示原時(shí)間序列的目標(biāo)。

3.2.2 相同的壓縮率下，比較三種算法的擬合誤差

由于語(yǔ)音數(shù)據(jù)speech和海洋溫度數(shù)據(jù)ocean在序列變化上差別較大，這里分別選用這兩種數(shù)據(jù)作為這三種算法比較過(guò)程中的驗(yàn)證數(shù)據(jù)。

對(duì)于ocean和speech序列，經(jīng)過(guò)PAA算法壓縮后的擬合圖如圖5所示。

圖5(a)的曲線為ocean數(shù)據(jù)，維數(shù)約簡(jiǎn)后的點(diǎn)數(shù)為202;整條曲線的擬合誤差為0.002 2。

圖5(b)的曲線為speech數(shù)據(jù)，維數(shù)約簡(jiǎn)后的點(diǎn)數(shù)為205;整條曲線的擬合誤差為12.220 2。

對(duì)于ocean和speech序列，經(jīng)過(guò)本文提出的算法(PLR_TP)壓縮后的擬合如圖6所示。

圖6(a)的曲線為ocean數(shù)據(jù)，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為207;擬合誤差為0.003 4。

圖6(b)的曲線為speech數(shù)據(jù)，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為211;擬合誤差為8.292 0。

對(duì)于ocean和speech序列，經(jīng)過(guò)基于波動(dòng)極值點(diǎn)的算法(PLR_CE)壓縮后的擬合如圖7所示。

圖7(a)的曲線為ocean數(shù)據(jù)，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為154;擬合誤差為0.156 5。

圖7(b)的曲線為speech數(shù)據(jù)，時(shí)間序列約簡(jiǎn)后的長(zhǎng)度為198;擬合誤差為80 720.645 0。

在PAA算法中，沒有考慮到時(shí)間序列中趨勢(shì)變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，分段點(diǎn)的選取沒有依據(jù)，雖然方法簡(jiǎn)單，但對(duì)時(shí)間序列趨勢(shì)起到了平緩的作用，不能有效提取時(shí)間序列中趨勢(shì)變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在PLR_CE算法中，只考慮到了時(shí)間序列趨勢(shì)變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)中的極值點(diǎn)，而沒有考慮到非極值點(diǎn)的變化，不但序列的擬合誤差較大，而且對(duì)于序列壓縮程度的調(diào)整也不夠靈活;在本文提出的PLR_TP算法中，由于考慮到了時(shí)間序列趨勢(shì)變化的所有情況，對(duì)于趨勢(shì)變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即上升、下降或平穩(wěn)趨勢(shì)的端點(diǎn)，進(jìn)行了有效的提取，達(dá)到了良好的效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文充分利用時(shí)間序列中的時(shí)變特征來(lái)提取時(shí)間序列中的趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，并以這些趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為時(shí)間序列在PLR方法中的分段點(diǎn)來(lái)對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分段線性表示。針對(duì)來(lái)自不同領(lǐng)域的數(shù)據(jù)，通過(guò)與已有算法相對(duì)比，進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明本文提出的算法在反映時(shí)間序列變化趨式的同時(shí)，達(dá)到了有效壓縮時(shí)間序列數(shù)據(jù)的目的。本文提出的方法還具有實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)便、效果直觀，對(duì)不同種類的數(shù)據(jù)具有一定的適應(yīng)能力;同時(shí)支持時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn):

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