基于跟蹤誤差調(diào)節(jié)的模糊直接廣義預(yù)測控制

摘 要:針對廣義預(yù)測控制(GPC)計算量大的缺陷，提出一種模糊直接廣義預(yù)測控制(FDGPC)方法。該方法首先利用中值定理將一類非線性系統(tǒng)等價表示為時變線性系統(tǒng)，然后通過模糊邏輯系統(tǒng)直接設(shè)計預(yù)測控制器， 并利用跟蹤誤差對控制器參數(shù)θu進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。理論證明了該方法可使跟蹤誤差收斂到原點的一個小鄰域內(nèi)。仿真結(jié)果驗證了此方法的有效性。

關(guān)鍵詞:非線性系統(tǒng); 廣義預(yù)測控制; 模糊自適應(yīng)控制; 穩(wěn)定性分析

中圖分類號:TG273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)03-1009-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.03.055

Fuzzy direct generalized predictive control based on tracking error adjustment

LI Gui-qiu1， CHEN Zhi-wang2

(1. Changzhou Institute of Mechtronic Technology， Changzhou Jiangsu 213164， China; 2. Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province， Yanshan University， Qinhuangdao Hebei 066004， China)

Abstract:This paper presented a kind of fuzzy direct generalized predictive control(FDGPC) to overcome the shortcoming of large computation load of original GPC. In the method，replaced a class of nonlinear system by a time varying linear system based on the mean value theorem. Then used a fuzzy logic system to design predictive controller directly.Finally adjusted the controller parameter θu adaptively based on tracking error. It is proved that the proposed method can make the tracking error converge to a small neighborhood of the origin. Simulation results demonstrate the effectiveness of the method.

Key words:nonlinear system; GPC; fuzzy adaptive control; stability analysis

0 引言

自從Clarke等人提出廣義預(yù)測控制(GPC)算法[1]以來，由于該算法對擾動、隨機(jī)噪聲、時滯變化等具有較強(qiáng)的魯棒性，使其在工業(yè)過程控制中得到了成功的應(yīng)用。目前，線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測控制已經(jīng)日趨成熟，而對于非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測控制，還沒有較為系統(tǒng)且行之有效的研究方法，采用近似線性化的方法[2~12] 用得較多。文獻(xiàn)[2]利用微分中值定理將一類非線性系統(tǒng)近似轉(zhuǎn)換成時變的線性系統(tǒng)，然后再辨識系統(tǒng)參數(shù);文獻(xiàn)[3]將文獻(xiàn)[2]中得到的時變參數(shù)利用三次樣條函數(shù)逼近轉(zhuǎn)換成時不變的參數(shù)，再進(jìn)行辨識;文獻(xiàn)[4]給出了可使一類非線性系統(tǒng)近似轉(zhuǎn)換成線性系統(tǒng)的兩個假設(shè)，即系統(tǒng)對輸入的偏導(dǎo)連續(xù)和系統(tǒng)滿足Lipschitz條件，然后將近似的線性系統(tǒng)寫成狀態(tài)方程的形式，利用最小二乘法辨識參數(shù)，然而它所辨識的仍是時變參數(shù)。需要指出的是文獻(xiàn)[2，3]中存在Diophantine方程的求解、矩陣求逆計算和最小二乘的遞推求解，因此需要較長的在線計算時間。而文獻(xiàn)[13，14]提出的預(yù)測控制直接算法省掉了Diophantine方程所要求的遞推求解和矩陣的求逆計算，因此減少了在線計算量。文獻(xiàn)[9，15，16]構(gòu)造了一個性能誤差ef，利用在t→∞時ef(t+1)=0，采用遞推最小二乘直接辨識控制器參數(shù);文獻(xiàn)[10]將自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)引入廣義預(yù)測控制，對參數(shù)未知線性系統(tǒng)提出了一種直接自適應(yīng)模糊廣義預(yù)測控制方法，直接利用模糊邏輯系統(tǒng)設(shè)計廣義預(yù)測控制器，并基于廣義誤差eg(類似于文獻(xiàn)[9，15，16]中的ef)對控制器參數(shù)和廣義誤差估計值中的未知向量進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，文獻(xiàn)[11，12]將文獻(xiàn)[10]的方法推廣到多變量系統(tǒng);文獻(xiàn)[17~19]將這一思想推廣到未知非線性離散系統(tǒng)。

1 被控對象模型

設(shè)被控對象的輸入/輸出模型描述如下:

y(k)=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，…，u(k-n)) (1)

其中:u(k)、y(k)分別為系統(tǒng)輸入和輸出，n和m分別是輸入和輸出的階次，f(#8226;)是關(guān)于y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，…，u(k-n)的未知非線性連續(xù)可微函數(shù)，且滿足下列條件:

a)f(0，…，0n，0，0…，0m)=0;

b)f(#8226;)對y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，…，u(k-n)連續(xù)可導(dǎo)，且各偏導(dǎo)數(shù)有界，設(shè)0<fu(k-N)≤kmax。其中:kmax為常數(shù)，N為預(yù)測時域。

引理1 滿足條件a)和b) 的非線性系統(tǒng)(1)可等價表示為如下時變線性系統(tǒng):

y(k)=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，…，u(k-n))=∑mi=1i(k)y(k-i)+∑ni=1i(k)u(k-i) (2)

其中:i=fy(k-i)(y(k-1)，…，y(k-i+1)，ξy，0，…，0)i=1，…，m，ξy∈(0，y(k-i))i(k)=fu(k-i)(y(k-1)，…，y(k-n)，u(k-1)，…，u(k-i+1)，ξu，0，…，0)i=1，…，n，ξu∈(0，u(k-i))

證明參見文獻(xiàn)[3]。

由引理1知被控對象(1)可采用如下時變的模型描述:

A(k，z-1)Δy(k)=B(k，z-1)Δu(k-1)(3)

其中u(k)和y(k)表示被控對象的輸入和輸出。

A(k，z-1)=1+a1(k)z-1+…+ana(k)z-na

B(k，z-1)=b0(k)+b1(k)z-1+…+bnb(k)z-nb

na=m，nb=n-1，Δ=1-z-1表示差分算子，假設(shè)被控對象滯后d=1，若d>1則只需令B(k，z-1)多項式中的前d-1項系數(shù)為零即可。為使被控對象的輸出y(k+j)跟蹤參考序列yr(k+j)(j=1，2，…)，取性能指標(biāo)函數(shù)為

J=∑Nj=1(y(k+j)-yr(k+j))2(4)

由文獻(xiàn)[1]引入Diophantine方程，可得最優(yōu)預(yù)測輸出的向量形式為

Y=GU+Fy(k)+HΔu(k-1)(5)

定義Yr=[yr(k+1)，…，yr(k+N)]T，則性能指標(biāo)函數(shù)(4)可寫成

J=(Y-Yr)T(Y-Yr)(6)

由式(5)和(6)，可得使J取最小的控制律為U=P-1[Yr-Fy(k)-HΔu(k-1)]。令PT1(k)表示P-1的第一行，則預(yù)測控制律可寫成

Δu(k)=PT1(k)[Yr-Fy(k)-HΔu(k-1)]=P(z-1)yr(k+N)+α(z-1)y(k)+β(z-1)Δu(k-1)=Zu(k)θu(k)(7)

u(k)=u(k-1)+Δu(k)(8)

2 控制器設(shè)計

定理1 假定輸入論域是Rn上的一個緊集，對于任意定義在上的實連續(xù)函數(shù)g(x)和任意的ε>0，一定存在形如

f(x)=∑Ml=1yl∏ni=1aliexp(-(xi-liσli)2)∑Ml=1∏ni=1aliexp(-(xi-liσli)2)

的模糊系統(tǒng)f(x)使supx∈U|f(x)-g(x)|<ε成立。即帶有乘積推理機(jī)、單值模糊器、中心平均解模糊器和高斯隸屬度函數(shù)的模糊系統(tǒng)是萬能逼近器。

令μli(xi)=aliexp-(xi-liσli)2，ξl(X)=∏ni=1μli(xi)∑Ml=1∏ni=1μli(xi)，θ=[θ1 θ2 … θM]T(θl=yl)，ξ(X)=[ξ1(X) ξ2(X) … ξM(X)]，則作為萬能逼近器的模糊邏輯系統(tǒng)為

f(x)=ξ(X)θ(9)

由于被控對象參數(shù)未知，控制律Δu(k)不能根據(jù)式(7)獲得，直接利用形如式(9)的模糊邏輯系統(tǒng)逼近式(7)，得如下模糊廣義預(yù)測控制器:

Δu(k)=f(Zu(k)|θu)=ξ(Zu(k))θu(k)(10)

為保證被控對象輸出跟蹤給定，設(shè)跟蹤誤差為

e(k)=y(k)-yr(k)(11)

基于誤差e(k)對控制律Δu(k)中的參數(shù)θu(k)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，取自適應(yīng)律θu(k)辨識算法為

θu(k)=(k) |(k)|≤Mu

P{(k)} |(k)|>Mu(12)

(k)=θu(k-N)-γξT(Zu(k-N))1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))e(k)

其中γ是自適應(yīng)學(xué)習(xí)率，由設(shè)計者取定。投影算子P{*}按文獻(xiàn)[20]中定義:P{(k)}=Mu(k)|(k)|。其中Mu由設(shè)計者取定。得到θu(k)的值即可得到控制增量Δu(k)，然后可求控制律u(k)=u(k-1)+Δu(k)。

綜上可得模糊直接GPC控制策略如下:

a)選擇初始化參數(shù)N和θu(k-N);

b)由式(11)計算e(k);

c)由式(12)計算θu(k);

d)由式(10)計算Δu(k)，然后由式(8)算出控制律u(k);

e)k=k+1，返回b)。

3 穩(wěn)定及收斂性分析

定理2 設(shè)k時刻存在最優(yōu)控制增量。Δu*(k-N)=ξ(Zu(k-N))θ*u若系統(tǒng)(1)滿足第1章中條件a)b)，預(yù)測控制器為式(10)，參數(shù)向量θu(k)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)律為式(12)，則當(dāng)0<γ≤2/kmax時，limk→∞|e(k)|=0。

證 根據(jù)中值定理可得:

y(k)=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，u(k-2)，…，(u(k-N-1)+Δu*(k-N))，…，u(k-n))=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-N-1)+ξ(Zu(k-N))θu(k)，…，u(k-n))yr(k)=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，u(k-2)，…，(u(k-N-1)+Δu*(k-N))，…，u(k-n))=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-N-1)+ξ(Zu(k-N))θ*u，…，u(k-n))

則:e(k)=y(k)-yr(k)=f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，u(k-2)，…，(u(k-N-1)+ξ(Zu(k-N))θu(k))，…，u(k-n))-f(y(k-1)，…，y(k-m)，u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-N-1)+ξ(Zu(k-N))θ*u，…，u(k-n))=ηξ(Zu(k-N))(k-N)(13)

其中:(k)=θu(k)-θ*u，η=f/u(k-N)|ξu，ξu介于u(k-N-1)+Δu*(k-N)與u(k-N)之間。由原系統(tǒng)中條件b)可知:0<η≤kmax。

取V(k)=T(k)(k)=‖(k)‖2，以下分情況討論。

1)當(dāng)式(12)第一行成立時

V(k)-V(k-N)=‖(k)‖2-‖(k-N)‖2

=‖(k-N)-γξT(Zu(k-N))e(k)1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))‖2-

‖(k-N)‖2=γ2ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]2-

2γe(k)ξ(Zu(k-N))(k-N)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]

將式(13)代入上式得

V(k)-V(k-N)=γ2ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]2-2γe2(k)η[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]≤γ2e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]-2γe2(k)η[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]=γ2e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k))]-2γη+1

2)當(dāng)式(12)第二行成立時，根據(jù)投影算法可得

‖θu(k)-θ*u‖2<‖θu(k-N)-γξ(Zu(k-N))θu(k)e(k)1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))-θ*u‖2

因此:V(k)-V(k-N)<‖θu(k-N)-γξ(Zu(k-N))e(k)1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))-θ'*u‖2-‖θu(k-N)-θ*u‖2=‖(k)‖2-‖(k-N)‖2

同情況(1)，可得

V(k)-V(k-N)<γ2e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]-2γη+1

綜合式(1)(2)所述，可知

V(k)-V(k-N)<γ2e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]-2γη+1

設(shè):S=γ2e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]

ω=-2γη+1

則

V(k)-V(k-N)

當(dāng)從1取到l時:

V(1)-V(1-N)

V(2)-V(2-N)

V(l)-V(l-N)

以上各式相加，消去V(1)，V(2)，…，V(l-N)項可得

0<∑lk=l-N+1V(k)<ω∑lk=1S+∑Nk=1V(k-N)

對上式取極限后，可得

ωliml→∞∑lk=1S>-∑Nk=1V(k-N)

因為0<η≤kmax，0<γ≤2kmax所以ω=-2γη+1≤0，因此

liml→∞∑lk=1S<(1-2γη)-1∑Nk=1V(k-N)

其中:V(-N+1)，…，V(0)由初始值確定，是有界量，因此

liml→∞∑lk=1S<(1-2γη)∑Nk=1V(k-N)<∞

根據(jù)級數(shù)收斂時其通項趨于零的性質(zhì)可得

limk→∞γ2e2(k)[1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))]=0(14)

由假設(shè)條件b)f(#8226;) 各偏導(dǎo)數(shù)有界可知系統(tǒng)的輸入u(k)、輸出y(k)有界，并yr(k)有界，因此1+ξ(Zu(k-N))ξT(Zu(k-N))是有界量，則由式(14)可得limk→∞|e(k)|=0。

4 仿真

考慮如非線性系統(tǒng)[10]:y(k)=2.5y(k-1)y(k-2)/[1+y2(k-1)+y2(k-2)]+1.2u(k-1)+1.4u(k-2)+0.7sin(0.5(y(k-1)+y(k-2)))cos(0.5(y(k-1)+y(k-2)))

參考序列yr(k)取為正弦波2+sin(kπT/20);T=0.01，N=2，W1=50;自適應(yīng)率γ=0.001，參數(shù)向量初值θu(-1)和θu(0)的每個分量均取零;Mu=3.6。仿真結(jié)果如圖1~3所示。

從仿真結(jié)果可以看出，盡管被控對象非線性很強(qiáng)，但跟蹤效果良好，跟蹤誤差收斂，與定理1結(jié)論一致。圖1和2與文獻(xiàn)[18]對應(yīng)仿真圖相比，輸出誤差更小;圖3與文獻(xiàn)[10]對應(yīng)仿真圖相比，控制器輸出的波動更小。

5 結(jié)束語

本文針對參數(shù)未知系統(tǒng)，提出一種基于跟蹤誤差調(diào)節(jié)的模糊直接廣義預(yù)測控制方法。該方法與傳統(tǒng)的GPC算法相比，避免了Diophantine方程的求解和矩陣求逆，只需根據(jù)跟蹤誤差辨識自適應(yīng)律θu，因此步驟較簡單;與文獻(xiàn)[18]相比，本文的誤差求取無須基于未知常數(shù)g0，因此更利于實際應(yīng)用。此外本文所提出的方法穩(wěn)定收斂，且不基于被控對象數(shù)學(xué)模型。

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