級數收斂的判別方法

摘要:級數理論在數學分析中占有很重要的一席之地，而級數理論中，研究無窮級數的收斂性則相當的重要。僅由收斂原理來判別級數的斂散性，在實際問題中，往往是不可行的。本文中，主要介紹了比較判別法，柯西判別法，達朗貝爾判別法，拉阿比判別法，對數判別法，雙比值判別法，高斯判別法，柯西積分判別法，對于常用的判別法，本文對其有效性做了簡單的比較，從而能夠使讀者更加深入的了解和熟悉各種判別法的使用范圍。

關鍵詞:級數 收斂 發散 判別法 有效性

1 級數的收斂性及其基本性質

我們知道，一系列無窮多個數u1，u2，u3，…un，…，寫成和式u1+u2+u3+…+un…就稱為無窮級數，記為un，且若級數un的部分和數列{Sn}收斂于有限值S，即則稱級數un收斂，記為，un=S，也稱此值S為級數的和數。若部分和數列{Sn}發散，則稱un發散。

研究無窮級數的收斂問題，首先我們給出大家熟悉的收斂級數的一些基本性質[1]:

性質1 若級數un收斂，a為任意常數，則aun亦收斂，且有aun=aun。

性質2 若兩個級數un和vn都收斂，則(un±vn)也收斂，且有(un±vn)=un±vn。

性質3 一個收斂級數un，對其任意項加括號后所成級數(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍為收斂，且其和不變。

性質4 (收斂的必要條件)若級數un收斂，則un→0(n→∞)。

以上是收斂級數的一些最基本的性質，要指出的是，在實際問題中僅利用收斂原理來判斷級數的收斂性，往往是相當困難的，所以在級數的理論中還必須建立一系列的判別法，利用它們就可以簡便地來判別相當廣泛的一類級數的收斂性，建立和總結這些判別法，就是本文的中心任務。

2 正項級數的收斂性判別

一般的數項級數，它的各項可以是正數，負數或零。現在我們討論各項都是正數或零的級數，這種級數稱為正項級數。本文將就正項級數的收斂判別方法做一總結，

若級數un=u1+u2+…+un…是一個正項級數(uk>0)，它的部分和數列{sn}是一個單調增加的數列，即s1≤s2≤…≤sk≤…。如果數列{sn}有界，即存在M>0使0≤SK≤M，由單調有界數列必有極限的準則，級數un必收斂于某個s≥0，顯然SK≤s≤M。反之，如正項級數un收斂于s，則limsn=s，根據數列極限存在必有界的性質知{sn}有界。所以，我們得到正項級數收斂的基本定理。

從基本定理出發，我們立即可以建立一個基本的判別法。

2.1 比較判別法

設un與vn是兩個正項級數，若存在常數c>0使un≤cvn，(n=1，2，3…)，

則:(i)當vn收斂時，un也收斂;

(ii)當un發散時，vn也發散。

例 考察級數(1

解:因為

下面我們考慮級數的斂散性，

因其部分和

所以正項級數收斂，由比較判別法知級數(1

迄今為止，我們已經知道p一級數=1+++…++…的斂散性為:當p>1時收斂，當p≤1時發散。

利用比較判別法，把要判定的級數與幾何級數比較，就可以建立兩個很有用的判別法，即柯西判別法(根值法)和達朗貝爾判別法(比值法)。

2.2 柯西Cauchy判別法(根值法)

設un是正項級數，若從某一項起，(即存在N，當n>N時)成立著 (q為某確定的常數)，則級數un收斂;若從某一項成立著≥1，則級數un發散。

例 判別正項級數的斂散性:

解:因為

由Cauchy判別法知級數收斂。

2.3 達朗貝爾D’Alembert判別法(比值法)

設un是嚴格正項級數，且從某一項起成立≤q<1(q為確定的數，n≥N)，則級數un收斂;若從某一項起≥1(n≥N)，則級數發散。

例 討論級數xn=++++++…的斂散性.

解: 因為

由Cauchy判別法知級數收斂，但如果用D’Alembert判別法

因為，

從而不能判定。也就是說，根值判別法的適用范圍較之比值判別法要廣。但對某些級數而言，兩者都能用，且比值判別法可能比根值判別法更方便。

但這兩種判別法對諸如這樣簡單的級數都是無能為力的，從而在應用上有很大的局限性。下面我們再引入幾種判別法。以p-級數為標準建立起來的判別法及其有效性比較。

2.4 拉阿比Raabe判別法

設un是正項級數，且存在某正整數N及常數r，若對一切n>N，

(i)成立不等式，則級數un收斂;

(ii)成立不等式 ，則級數un發散。

例 判斷級數 的斂散性

解:設un= ，則

也就是說，此時Cauchy判別法與D’Alembert判別法都不適

用，如果使用Raabe判別法，可得

，所以級數收斂。

注:在Raabe判別法中，如果S=1，在我們給出的定理中未作任何一般性的結論，對此臨界情形，需要更精細的判別尺度，例如以

(p≠1)作為比較的標準。

此外，以p-級數為標準建立起來的判別法還有對數判別法和雙比值判別法，下面將這兩種判別法簡單敘述，并與拉阿比判別法放在一起比較他們的有效性。

2.5 對數判別法

對于正項級數un，如果存在，則當q>1時級數un收斂;當q<1時，級數un發散。

2.6 雙比值判別法

對于正項級數un，如果存在，則當ρ<時，級數un收斂;當ρ>時，級數un發散。

例9 設有正項級數，我們有

不存在，從而此時雙比值判別法失效。而

因此由對數判別法可知級數an收斂。

此命題說明:對于正項級數，如果能用拉阿比判別法確定其斂散性，則必可用雙比值判別法確定之;反之則不能，也就是說，雙比值判別法較之拉阿比判別法更有效。

2.7高斯判別法

下面將要介紹的Gauss判別法，概括了達朗貝爾判別法和拉阿

比判別法，而且達到了用作比較標準的精度，因而是一種適用范圍較廣的判別法。

設an是嚴格正項級數，并設，則關于級數an的斂散性，有以下結論:

(i)如果λ>1，那么級數收斂;如果λ<1，那么級數an發散;

(ii)如果λ=1，μ>1，那么級數an收斂，如果，λ=1，μ<1，那么級數an發散。

(iii) 如果λ=μ=1，v>1，那么級數an收斂，如果λ=μ=1，v<1， ，那么級數an發散。

例 Gauss超幾何級數

的斂散性，其中α，β，γ，x均為非負常數。

解:因為

又因為

所以 。

根據Gauss判別法可以判定:

如果x<1; 或者x=1，γ>α+β，那么級數收斂。

如果x>1; 或者x=1，γ≤α+β，那么級數發散。

2.8 柯西積分判別法

從比較判別法入手，我們還可以導出一種非常有用的積分判別法，由于它是由Cauchy首先研究的，我們把它叫做Cauchy積分判別法。

設函數f(x)在[1，+∞]內單調下降，并且非負，則級數f(n)與廣義積分 同時收斂或同時發散。

例 求證級數 收斂

證明: ，所以級數收斂。

由上文中我們知道，正項級數的收斂和發散常常可以通過跟另一已知收斂或發散的級數的對比來確定，把這一思想精確表達出來就是比較原則。從縱向看，現已建立了精細度不斷提高的一系列判別方法;從橫向看，在每一精細程度上，(以下簡稱精度)又都發展了不同結構的判別法以適用于不同類型的級數。判別法的精度與形式是一對矛盾:提高精度必然造成形式復雜。當然對于不能判別的情形，除精度原因外，往往也可能是由于判別法形式上的缺陷，因此在同一精度上發展不同形式的判別法與提高判別法的精度具有同樣重要的意義。

參考文獻:

[1]華東師范大學數學系.數學分析(第二版).下冊[M].北京:高等教育出版社，1991.10.

[2]陳傳璋等.數學分析(第二版)下冊.北京:高等教育出版社，1983.11.

[3]鄧東皋，尹小玲.數學分析簡明教程 下冊.北京:高等教育出版社， 1999.6.

[4]楊鐘玄.雙比值判別法與對數判別法的比較[J].四川師范大學學報， 2004，(1):57-60.

[5]宿小迪.正項級數收斂性判別法研究[J].山東教育學院學報，1999，(2):77-80.

[6]任建婭.判斷正項級數斂散性的一個方法[J].承德民族師專學報，1994，2(1):57-58.

[7]楊麗.有關級數斂散性的幾個問題[J].錦州師范學院學報，2003，24﹙2﹚:63-64.

作者簡介:李春江 男1975 內蒙古敖漢旗 民族 滿 職稱 實驗師 研究方向:不確定信息處理。