量子群的Grbner-Shirshov基與Ringel-Hall代數

任艷花，阿不都卡德

（新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046）

任艷花，阿不都卡德

（新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046）

用Ringel-Hall代數構造了A3型量子群正部分的一個Gr?bner-Shirshov基，這種方法將為有限維代數表示論給出一個新的應用空間．

Ringel-Hall代數；不可分解模；同構類；Gr?bner-Shirshov基；合成

0 引言

交換代數的Gr?bner基理論是由Buchberger在文獻[1]中介紹的，此理論提供了交換代數約化問題的一個解決方法，給出了交換環給定理想的生成元集合的一種算法，使得人們可以用此算法來決定對于由理想給出的關系不可約的元素．在文獻[2]中，Bergman通過鉆石引理將Gr?bner基理論推廣到結合代數上．

李代數的Gr?bner基理論是由Shirshov在文獻[3]中發展的，該理論的主要內容是合成引理，它刻畫了給定理想元素的首項．在文獻[4]中，Bokut注意到Shirshov的方法對結合代數也適用．因此，Shirshov關于李代數及其包絡代數的Gr?bner基理論稱為Gr?bner-Shirshov基理論．

在文獻[5]中，Bocut和Malcolmson發展了量子包絡代數或者所謂的量子群的Gr?bner-Shirshov基理論，并且具體地構造了An型量子群（q8≠1)的基．Gr?bner-Shirshov基是很有價值的，因為如果定義關系的集合是有限的（或者更一般地說，對任意給定單項式，只有有限多個元素的首項小于它），則對于任何一個多項式φ，我們可以通過只檢查首項的有限序列來判定φ是否屬于定義關系生成的理想．

在文獻[6]中，為了構造量子群的PBW基，Ringel用Auslander-Reiten理論構造了Ringel-Hall代數的一個生成序列和這些生成元的一些擬交換關系．為了建立量子群的Gr?bner-Shirshov基理論和有限維代數的表示理論之間的聯系，本文用Ringel構造的關系和量子群與Ringel-Hall代數間的經典同構來給出A3型量子群的正部分的一個Gr?bner-Shirshov基．

1 預備知識

文獻[5]和[7]給出了一些關于量子群的Gr?bner-Shirshov基理論和Ringel-Hall代數的基本概念．設k是一個域，X是由一些字母組成的非空集合，其指標集為正整數集，〈X〉是由X生成的半群，k〈 X〉是由X生成的自由代數．為了確定每個元素f∈k〈 X〉的首項，我們選取一個自由代數k〈 X〉的單項式的序．一個元素f∈k〈 X〉稱為首一元素，如果f的首項系數為1∈k．設f和g是k〈 X〉中的兩個首一元素，其首項分別為如果存在使得且的長度大于b的長度，則我們說對f，g有交叉合成，并寫成如果存在使得則我們說對f，g有包含合成，并記為其首項設S是k〈 X〉中的一些關系的集合（假設S由首一元素組成），(S)表示由S在k〈 X〉中生成的理想．設上的同余關系如下：當且僅當，其中αi∈k，如果對于任意的有定義就有則我們說S對合成封閉．在這種情況下，我們說合成(f， g)ω對S是平凡的．如果S對合成不封閉，則我們需要納入所有對S非平凡的合成得到Sc，即所謂的S的完備化．如果（即對合成是封閉的），則我們說S是完備的．如果S是完備的，則Shirshov的引理指出，任意首一元素f∈(S)有可約的首項其中．商代數（作為k上的向量空間）的線性基可由〈X〉中的不可約單項式的集合得到[3]，這時集合S稱為理想(S)的一個Gr?bner-Shirshov基，或者說它是商代數k的一個Gr?bner-Shirshov基．如果對任意不再是Gr?bner-Shirshov基，稱S是一個極小的Gr?bner-Shirshov基．

文獻[8]和[9]給出了量子群的定義．設Q(v)是變量v在有理數域Q上的一個函數域，A = (aij)是所有元素全為整數的可對稱化n × n階Cartan矩陣且存在對角線上元素di是非零正整數的對角矩陣D，使DA是對稱矩陣．設q是k的非零元，對每個i均有量子群Uq(A)是自由Q(v)代數，其生成元是且滿足下面的關系：

2 A3型量子群的正部分的Gr?bner-Shirshov基

我們選取A3的定向如圖1，對應的Cartan矩陣是

[1] Buchberger B．An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero-dimensional ideal[D]．Ph.D. Thesis, University of Innsbruck，1965.

[2] Bergman G M．The diamond lemma for ring theory[J]．Adv.Math.，1978，29：178―218．

[3] Shirshov A I．Some algorithmic problems for Liealgebra s[J]．Siberian Math. J.，1962，3：292―296．

[4] Bokut L A．Imbeddings into simple associative algebras[J]．Algebra and Logic，1976，15：117―142．

[5] Bokut L A，Malcolmson P．Gr?ebner-Shirshov basis for quantum enveloping algebras[J]．Israel J. Math，1996，96：97―113．

[6] Ringel C M．PBW-bases of quantum groups[J]．J.reine angew. Math.，1996，470：51―88．

[7] Ringel C M．Hall algebras and quantum groups[J]．Invent. math.，1990，101：583―592．

[8] Drinfel’d V G．Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation[J]．Doklady Akademii Nauk SSSR，1985，283(5)：1060―1064．

[9] Jimbo M．A q-difference analogue of U(G) and the Yang-Baxter equation[J]．Letters in Mathematical Physics，1985(1)：63―69．

[10] Rosso M．Finite dimensional representations of the quantum analogue of the enveloping algebra of a complex simple Lie algebra[J]．Comm.Math.Phys.，1988，117：581―593．

Gr?bner-Shirshov Basis of Quantum Groups and Ringel-Hall Algebra

REN Yan-hua, Abudukadir

(College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi Xinjiang 830046, China)

In this paper we will construct A Gr?bner-Shirshov basis for the positive part of quantum group of type A3is contrasted by applying Ringel-Hall algebra. This approach will provide a new application for the representation theory of finite algebra.

Ringel-hall algebra; indecomposable module; isomorphism classes; Gr?bner-Shirshov basis; composition

O152.6

A

1006-5261(2010)02-0008-03

2010-01-25

任艷花（1971—），女，山西汾陽人，碩士研究生．

〔責任編輯 張繼金〕