金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型的定性分析

吳慶華

(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北孝感 432000)

金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型的定性分析

吳慶華

(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北孝感 432000)

根據(jù)金融危機(jī)中企業(yè)受波及的無免疫型傳染病模型,利用常微分方程的動力系統(tǒng)理論,對該模型進(jìn)行了定性分析。得出了正平衡點的縱坐標(biāo)是金融危機(jī)發(fā)生與否的臨界值。

金融危機(jī);波及;常微分方程;奇點;臨界值

金融危機(jī)的發(fā)生和傳播過程與傳染病的發(fā)生和傳播過程極其相似。謝德政[1]等首次利用傳染病模型建立了金融危機(jī)中企業(yè)受到波及后及時調(diào)整,恢復(fù)常態(tài)后不再受波及的數(shù)學(xué)模型,即免疫型的數(shù)學(xué)模型。曹桃云[2]在前文的基礎(chǔ)上,考慮了企業(yè)受到波及恢復(fù)常態(tài)后可能還會受到波及的情況,建立了無免疫型的數(shù)學(xué)模型。本文根據(jù)文獻(xiàn)[2]提出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了修改,考慮了該系統(tǒng)的動力學(xué)行為。文獻(xiàn)[2]建立了金融危機(jī)中受波及企業(yè)的無免疫型數(shù)學(xué)模型:

其中 x(t)表示t時刻正受到金融危機(jī)波及的企業(yè)數(shù),y(t)表示t時刻易受到金融危機(jī)波及的企業(yè)數(shù);α表示金融危機(jī)的波及率,β表示受到波及后的恢復(fù)率,γ表示受到波及后的倒閉率,b表示新批準(zhǔn)企業(yè)率。自金融危機(jī)爆發(fā)以來,各國政府紛紛采取措施進(jìn)行干預(yù)。但是干預(yù)的效果卻不近人意,所以社會上對政府是否應(yīng)該出手干預(yù)眾說紛紜。下面在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上加入政府干預(yù)項。

δ稱政府干預(yù)系數(shù),當(dāng)金融危機(jī)發(fā)生時,政府會采取一定的宏觀調(diào)控手段,使得易受波及的企業(yè)數(shù)隨時間變化而減少。α,β,δ,γ,b皆為正常數(shù)。

1 模型分析

定理1系統(tǒng)(2)在第一象限內(nèi)無閉軌。

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xkym,k與m待定。則

取 k=m=-1,則 D=-(β+b)y-2。因為β＞0,b＞0,在第一象限內(nèi) y＞0,故 D ＜0。由Dulac準(zhǔn)則,系統(tǒng)(2)在第一象限內(nèi)無閉軌。

定理1說明金融危機(jī)不會周期性地發(fā)生。下面將分析系統(tǒng)(2)的平衡點的穩(wěn)定性及平衡點附近的相圖。

系統(tǒng)(2)有平衡點(0,0)和(x0,y0)=y0)是唯一的正平衡點。系統(tǒng)(2)在(0,0)點的線性近似為:

它的系數(shù)矩陣的特征根分別為λ1=-(β+γ),λ1=b所以(0,0)是不穩(wěn)定的鞍點。

系統(tǒng)(2)在(x0,y0)點的線性化近似為

令方程(4)的系數(shù)矩陣 A的特征根為λ1,λ2,不難得出由(4) 式中的第一式可以得出,在上半平面 x(t)單調(diào)增加,下半平面x(t)單調(diào)減少,所以(x0,y0)不可能是雙切結(jié)點。即只能是Δ≤0,所以得到下面的定理。

定理21)當(dāng)Δ=0時,(x0,y0)是穩(wěn)定的單向結(jié)點,軌線的相圖如圖1。

圖 1 (Δ =0)

2)當(dāng)Δ＜0時,是穩(wěn)定的焦點,軌線的相圖如圖2。

圖2 (Δ ＜ 0)

相圖1、2中的(1)區(qū)是金融危機(jī)爆發(fā)區(qū),(2)區(qū)是危機(jī)緩解區(qū),(3)區(qū)是危機(jī)解除區(qū)。

2 結(jié)論

1)金融危機(jī)不會周期性爆發(fā),y0是臨界值。當(dāng)y(t)＞ y0時,即使 x(t)很小,隨著時間推移,金融危機(jī)也會爆發(fā);當(dāng)y(t)＜y0時,即使x(t)很大,金融危機(jī)也很快會消失。

2)如果金融危機(jī)已經(jīng)爆發(fā),即初始時刻y(t0)＞y0,x(t)會先增大后減小。當(dāng)y(t)=y0時,正受波及的企業(yè)數(shù) x(t)最多,而是金融危機(jī)最終產(chǎn)生的破壞性影響的極限值。

3)減小b的值或者增加δ的值,會使x0減小。也就是說在金融危機(jī)已經(jīng)發(fā)生時,減少新批準(zhǔn)企業(yè)數(shù),加大政府對企業(yè)的宏觀調(diào)控可提高企業(yè)抗危機(jī)的能力,是控制金融危機(jī)的好辦法。

[1] 謝政德,楊萬年.金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2007,3(37):1-3.

[2] 曹桃云.金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型[J].廣州大學(xué)學(xué)報,2008,4(4):28-31.

[3] 王樹禾.微分方程模型與混沌[M].合肥:中國科技大學(xué)出版社,1999.

Analysis of Mathematical Model of Enterprises Affected in Financial Crisis

WuQinghua
(School of Mathem atics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

In this paper,using the dynamical system s theory in the ordinary differential equation,we analyze the mathematical model of enterprises affected in financial crisis just as no-immune of infectious diseases.We conclude that the financial crisis will tend to some positive equilibrium and the ordinate of the positive equilibrium is the critical value of that financial crisis is broken out or not.

financial crisis;affect;ordinary differential equation;singular point;critical value

O175.1

A

1671-2544(2010)06-0021-02

2010-09-02

吳慶華(1977— ),女,湖北天門人,孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師,碩士。

(責(zé)任編輯:陳 鑫)