一道例題的有效變式練習——一元二次函數圖像與x軸交點例題的教學案例

?浙江省海鹽縣教研室 沈順良

一道例題的有效變式練習
——一元二次函數圖像與x軸交點例題的教學案例

?浙江省海鹽縣教研室 沈順良

例題是具有一定代表性的典型問題，變式練習能有效地引導學生探究并理解知識實質，也能將所學知識進行拓展，下面試呈現一個例題的有效變式練習.

1.鋪墊式練習：

求y=x2-3x+2的圖像與y軸的交點坐標.

師：函數圖像與y軸的交點是一個幾何特征，能否直接由圖得到？

生：不能準確地得到.

師：那可否由函數解析式用代數方法得到？

生：可以，y軸上的點滿足條件x=0，因此將x=0代入可得y=2，從而函數圖像與y軸交點坐標為（0，2）.

師：從本題可以看出，當函數圖像的幾何特征用幾何方法難以求出時可以用函數表達式借助代數方法來解決，函數圖像本身是滿足函數關系式的（x，y）所對應點的集合，這時必須清晰它們之間的轉化.

【點評：（1）通過鋪墊問題解決探究的過程引導，滲透了函數問題解決中的數形結合思想，這在二次函數教學中也是一個重要任務；（2）輔助理解，分散難點.相對函數圖像與x軸的交點來說，函數圖像與y軸的交點較易理解，有了這樣的鋪墊，借助正遷移能幫助學生解決理解函數圖像與x軸交點這一難點.】

2.例題練習：

求y=x2-3x+2的圖像與x軸的交點坐標.

師：上題中函數圖像與x軸交點轉化為函數y=x2-3x+2中當x取0時對應的y值，那么類比上題，函數圖像與x軸交點是什么？

生：同樣由圖像難以得到，由于x軸上的點滿足y=0，故對應于函數y=x2-3x+2中當y取0時的點.

師：那如何求？

生：和上面類似，將y=0代入得x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2，從而得到所求交點為（1，0），（2，0）.

師：本題的解決包含了哪些轉化問題？

生：與上題一樣有幾何到代數的轉化，還有是函數到方程的轉化.

【點評：有前面問題解決做鋪墊，學生容易理解函數圖像與x軸交點即為縱坐標（函數值）取0時所對應的點，又有上題的轉化鋪墊，學生也自然想到將問題轉化為代數解方程來解決，后面的引導性問題滲透了數學思想的運用.】

3.理解性變式練習：

求y=x2-3x+2的圖像與直線y=2的交點坐標.

師：此問題與上題有何關系？

生：就是將上題的y=0改為y=2，因此轉化也是類似的，即是函數y=x2-3x+2圖像中函數值（縱坐標）取2時對應的點.

師：具體如何求呢？

生：將y=2代入轉化為方程x2-3x+2=2，即x2-3x=0，方程的解為x=0，x=3，因此函數圖像與x軸的交點為（0，0），（3，0）.

【點評：通過將函數圖像與x軸的交點變式為與直線y=2的交點，更從一般意義上讓學生理解到函數圖像上的具體點即是縱（橫）坐標已知下求橫（縱）坐標，從而將幾何問題轉化為代數問題，將函數轉化為方程來解決.】

4.探究式變式練習：

求y=x2-3x+3的圖像與x軸的公共點個數.

師：如何求與x軸公共點個數呢？

生1：與x軸公共點即滿足y=0，也就轉化為先求方程x2-3x+3=0的解.

生2：方程是無解的，因為b2-4ac=-3＜0.

師：對，那公共點個數怎么樣？

生2：應該是沒有公共點的.

師：不錯，從這里我們知道了利用方程的工具來解決函數問題.那么你能否得到y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的公共點個數？

生3：同樣可轉化為方程ax2+bx+c=0的根的個數，得到b2-4ac＞0時有兩個公共點，b2-4ac=0時有一個公共點，b2-4ac＜0時有沒有公共點.

【點評：通過變式問題的探究過程，更突出了函數圖像與x軸公共點即為函數值為0時對應方程的根的問題，并且能全面地認識函數圖像與x軸公共點的情況.】

5.拓展化變式練習：

（1）下列命題：若b2-4ac＞0，則二次函數y=ax2+bx+c的圖像與坐標軸的公共點的個數是2或3，該命題正確嗎？

【分析：題中條件可以推出方程有兩個不等實數根，對應到函數的圖像則與x軸有兩個公共點，再加上它與y軸的公共點得到結論成立.】

（2）y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與坐標軸的公共點個數？

【分析：在分類討論中把握二次函數圖像與坐標軸的公共點問題.】

（3）利用圖像解一元二次方程x2+x-3=0時，我們采用的一種方法是：在平面直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3，兩圖像交點的橫坐標就是該方程的解.利用圖像解一元二次方程x2+x-3=0，也可以這樣求解：在平面直角坐標系中畫出拋物線y= 和直線y=-x，其交點的橫坐標就是該方程的解.

【分析：兩個函數圖像的交點即為兩個函數圖像上縱坐標相等時所對應的同一橫坐標，此即為代數形式中的方程.方程x2+x-3=0的解可以將其轉化為函數y=-x和y=-x2-3的圖像交點的橫坐標.】

（4）已知二次函數y1=ax2+bx+c（a≠0）與一次函數y2=kx+m（k≠0）的圖像相交于點A（-2，4），B（8，2）（如下圖所示），則能使y1＞y2成立的x的取值范圍是 .

【分析：即使將A、B兩點坐標代入也不能求出其中二次函數解析式，但觀察圖像可直接得到不等式的解為x＜-2或x＞8.】

【點評：通過近年來中考試題等新穎試題的要求，其中有一次函數、二次函數等，有求交點個數，有求方程的解，還有不等式的求解，它們從本質上要求學生理解函數問題解決中的數形結合運用，理解函數方程工具的運用.】

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?編輯/張燁