基于ARMA模型的礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格走勢(shì)分析

方 蘭，沈 鐳

(1.中國(guó)科學(xué)院地理科學(xué)與資源研究所,北京100101;2.蘭州銀行股份有限公司，甘肅 蘭州 730030)

保障資源供給是國(guó)家安全戰(zhàn)略的重要組成部分之一，其中礦產(chǎn)資源被視為國(guó)家資源安全的基礎(chǔ)。沈偉烈等(2001)認(rèn)為，資源的多寡和分布格局影響著國(guó)家的生存能力和發(fā)展?jié)摿Γ粋€(gè)國(guó)家掌握和控制的資源的種類(lèi)和數(shù)量越多，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展?jié)摿υ酱螅C合國(guó)力越強(qiáng)，國(guó)家安全也越有保障；趙英臣等(2003)提出，21世紀(jì)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)中，首要的就是資源競(jìng)爭(zhēng)，應(yīng)切實(shí)關(guān)注美國(guó)全球反恐戰(zhàn)略目標(biāo)設(shè)計(jì)背景下的未來(lái)我國(guó)能源安全和國(guó)家經(jīng)濟(jì)安全問(wèn)題，制定可持續(xù)發(fā)展的能源戰(zhàn)略，在發(fā)展中求安全；張幼文等(2005)認(rèn)為，作為世界最大、發(fā)展最快的發(fā)展中國(guó)家，中國(guó)的資源問(wèn)題對(duì)世界經(jīng)濟(jì)有著重大的影響，同時(shí)，確保中國(guó)的資源安全對(duì)于世界經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展也有著重要的現(xiàn)實(shí)意義；熊光楷(2006)在分析了2005年的國(guó)際形勢(shì)后，認(rèn)為世界發(fā)展不平衡的問(wèn)題日益突出，圍繞戰(zhàn)略要地、戰(zhàn)略資源的斗爭(zhēng)加劇。事實(shí)上，我國(guó)對(duì)礦產(chǎn)資源的需求旺盛，資源消耗已成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)快速增長(zhǎng)的瓶頸。由于礦產(chǎn)資源開(kāi)發(fā)主體包括國(guó)家、集體、合資、獨(dú)資等等，成份復(fù)雜，交易市場(chǎng)上往往存在礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格的惡性競(jìng)爭(zhēng)。這種缺乏建立健全合理的礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格體系的現(xiàn)象，導(dǎo)致我國(guó)優(yōu)勢(shì)礦產(chǎn)喪失了優(yōu)勢(shì)，合理運(yùn)用資源價(jià)格調(diào)節(jié)機(jī)制是保障國(guó)家資源安全主要手段之一。正確開(kāi)展礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格的定量預(yù)測(cè)，對(duì)為實(shí)現(xiàn)國(guó)家宏觀調(diào)控和有效保障國(guó)土資源安全，具有重要意義。

1 ARMA模型的基本原理

1970年，Box和Jenkins提出了ARIMA模型(Auto Regressive Integrated Moving Average Model，差分自回歸滑動(dòng)平均模型)，也稱(chēng)為Box-Jenkins法，是研究時(shí)間序列的重要方法，由AR模型(自回歸模型)與MA模型(滑動(dòng)平均模型)為基礎(chǔ)，引入差分方法整合構(gòu)成。ARMA模型(Auto Regressive and Moving Average Model，自回歸滑動(dòng)平均模型)僅比其少一個(gè)用于平穩(wěn)化處理的差分過(guò)程。因此，ARIMA模型被視為ARMA模型的擴(kuò)展，或是認(rèn)為ARMA即ARIMA差分平穩(wěn)后的特殊情況。ARMA模型多用于對(duì)時(shí)間序列的典型特征，難以作出判斷的時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。一般而言,自相關(guān)系數(shù)越大,持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng),根據(jù)該模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果越好。由于AR(p)模型與MA(q)模型的一般形式分別為

式中：a0為常數(shù)的截距項(xiàng)；p、q為滯后期數(shù)，ai為Yt-i的系數(shù)；bi為εt-i的系數(shù)；εt是白噪音。AR(p)模型描述出自回歸過(guò)程，是指一個(gè)過(guò)程的當(dāng)前值是過(guò)去值的線性函數(shù)。MA(q)模型描述出移動(dòng)平均過(guò)程，是指模型值可以表示為過(guò)去殘差項(xiàng)(也就是過(guò)去的模型擬合值與過(guò)去觀測(cè)值的差) 的線性函數(shù)。

因此，ARMA(p，q)模型可記為

ARMA 模型的基本思想是：某些時(shí)間序列是依賴(lài)于時(shí)間t的一族隨機(jī)變量，構(gòu)成該時(shí)序的單個(gè)序列值雖然具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述，在市場(chǎng)研究中常用于長(zhǎng)期追蹤資料的研究。ARMA模型用于處理時(shí)序數(shù)據(jù)，用于反映一般的變化方向，其時(shí)序圖是在較長(zhǎng)時(shí)間間隔上的數(shù)據(jù)變化，這種變化反映為一種趨勢(shì)線或趨勢(shì)曲線。采用適當(dāng)?shù)碾A數(shù)的ARMA模型，可以消除數(shù)據(jù)中的循環(huán)、周期性和非規(guī)則的模式，只保留趨勢(shì)變化。ARMA模型預(yù)測(cè)的基本程序，包括平穩(wěn)性識(shí)別、模型階數(shù)識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、參數(shù)檢驗(yàn)及應(yīng)用分析等步驟。ARMA模型預(yù)測(cè)認(rèn)為，預(yù)測(cè)指標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)正是在各種相關(guān)因素的宏觀作用下形成的。因此，只考慮預(yù)測(cè)序列本身歷史數(shù)據(jù)反映和包容的信息，幾乎不直接考慮其他相關(guān)指標(biāo)的信息，僅僅依靠樣本數(shù)據(jù)本身來(lái)實(shí)現(xiàn)建模。基于ARMA模型的時(shí)間序列預(yù)測(cè)，是通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理來(lái)研究其變化趨勢(shì)的。借助歷史數(shù)據(jù)發(fā)掘現(xiàn)象隨時(shí)間變化的規(guī)律，并將這種規(guī)律延伸到未來(lái)，從而對(duì)該現(xiàn)象的未來(lái)做出預(yù)測(cè)，其擬合模型是一種預(yù)測(cè)精度相當(dāng)高的短期預(yù)測(cè)模型。但是，對(duì)于ARMA模型褒貶不一，有些學(xué)者通過(guò)研究認(rèn)為，該模型預(yù)測(cè)效果極好；也有學(xué)者以實(shí)證結(jié)果顯示其預(yù)測(cè)效果較差，不適合于經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析。不可否認(rèn)的是，由于ARMA模型本身存在先天性缺陷，即隨著預(yù)測(cè)期的延長(zhǎng),其預(yù)測(cè)誤差會(huì)逐漸增大。但在短期內(nèi)，它的預(yù)測(cè)還是比較準(zhǔn)確的。自相關(guān)圖及偏相關(guān)圖分析常用于AR模型與MA模型的定階，但當(dāng)AR或MA的落后期并不連續(xù)以及AR和MA是混合的時(shí)候，將出現(xiàn)辨識(shí)困難。這一點(diǎn)已被臺(tái)灣學(xué)者楊奕農(nóng)所證明。在另一篇講義中，他還提到了ARMA模型的躍階問(wèn)題，并提出了ARMA 模型滯后期不連續(xù)之表示方式。

2 ARMA模型的建立與修正

對(duì)礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格月度指數(shù)(MP)(圖1)及其一階差分序列DMP(圖2)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，可得95%的置信區(qū)間下，MP為平穩(wěn)序列；99%的置信區(qū)間下，DMP為平穩(wěn)序列(表1)。為確保計(jì)算的簡(jiǎn)捷性，選取95%的置信區(qū)間為MP序列建立模型(圖3、圖4)。

模型識(shí)別，即為選擇用AR(p) 、MA(q) 還是用ARMA(p,q)模型相對(duì)平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行估計(jì)。若平穩(wěn)時(shí)間序列的偏相關(guān)函數(shù)是截尾的,而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的,則可斷定此序列適合AR 模型；若平穩(wěn)時(shí)間序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的,而自相關(guān)函數(shù)是截尾的,則可斷定此序列適合MA模型；若平穩(wěn)時(shí)間序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的,則此序列適合ARMA 模型。

圖1 MP序列圖

表1 MP序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果

圖2 MP一階差分序列圖

圖3 MP自相關(guān)圖

圖4 MP偏相關(guān)圖

經(jīng)過(guò)圖示分析(圖3、圖4)及赤池信息量準(zhǔn)則進(jìn)行反復(fù)篩選,最后確定p=3，且q=3，即選定ARMA(3,3)模型。顯然剔除常數(shù)項(xiàng)后，模型參數(shù)通過(guò)單個(gè)樣本的顯著水平檢驗(yàn)(表2～表4)。

表2 ARMA(3,3)模型估計(jì)結(jié)果

表3 ARMA(3,3)模型估計(jì)結(jié)果(剔除常數(shù)項(xiàng))

表4 ARMA(3,3)模型檢驗(yàn)結(jié)果(剔除常數(shù)項(xiàng))

表4列示ARMA(3,3)模型(剔除常數(shù)項(xiàng))各項(xiàng)主要評(píng)價(jià)指標(biāo)，說(shuō)明其性狀均為良好，可順利通過(guò)各項(xiàng)嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)。其擬合優(yōu)度更是高達(dá)96%。

此外，以杜賓-瓦爾特森檢驗(yàn)檢測(cè)模型殘差項(xiàng)是否存在自相關(guān)時(shí)，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量d在2附近，即說(shuō)明殘差自相關(guān)問(wèn)題得到解決。利用公式

可得出ARMA(3,3)模型(剔除常數(shù)項(xiàng))的杜賓-瓦爾特森統(tǒng)計(jì)量為1.902713，接近于2。因樣本容量足夠大(大于35),可以認(rèn)為不存在殘差自相關(guān)。

本文使用1999～2010年的真實(shí)值與模型擬合值進(jìn)行擬合精度分析，并在選定預(yù)測(cè)方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行預(yù)測(cè)精度分析(圖5、圖6)。

預(yù)測(cè)誤差為

圖5 基于ARMA(3,3)的MP擬合圖

由殘差圖(圖5、圖6)可知，其殘差基本平穩(wěn)，說(shuō)明模型可以通過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)。其擬合值與實(shí)際值除個(gè)別時(shí)點(diǎn)外，波動(dòng)趨勢(shì)大致趨于一致，說(shuō)明可以預(yù)測(cè)出高精度的結(jié)果。表明該模型可以滿(mǎn)足本文預(yù)測(cè)的需要。此外，線性最小方差預(yù)測(cè)的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)有關(guān)，而與預(yù)測(cè)的時(shí)間原點(diǎn)無(wú)關(guān)，預(yù)測(cè)步長(zhǎng)越大，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，因而預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)降低。Static法下，用以衡量模型ARMA(3,3)(剔除常數(shù)項(xiàng))預(yù)測(cè)值之精確度的Theil不相等系數(shù)僅為0.008089(0 表示與真實(shí)值完全擬合)，表明Static法下ARMA(3,3)模型(剔除常數(shù)項(xiàng))的預(yù)測(cè)結(jié)果非常理想，較好地模擬了實(shí)際序列的波動(dòng)。

3 結(jié)論與討論

雖然根據(jù)該類(lèi)模型的特質(zhì)，隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)增加，預(yù)測(cè)精度必然逐漸降低，但是其預(yù)測(cè)結(jié)果，還是可以作為礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格未來(lái)趨勢(shì)的參考。可以推論，未來(lái)我國(guó)礦產(chǎn)資源資產(chǎn)價(jià)格月度指數(shù)，受金融海嘯后經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇的影響，存在回升的空間。在此方面，國(guó)家應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)籌管理，借助價(jià)格漲跌時(shí)機(jī)，嚴(yán)格控制礦產(chǎn)資源尤其是戰(zhàn)略性礦產(chǎn)資源的開(kāi)采總量及開(kāi)采結(jié)構(gòu)，有效地保障國(guó)土資源安全。

[1] 徐桂華. 中國(guó)經(jīng)濟(jì)安全的國(guó)家戰(zhàn)略選擇[M]. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.

[2] 沈偉烈，陸俊元. 中國(guó)國(guó)家安全地理[M]. 北京：時(shí)事出版社，2001.

[3] 趙英臣，陳海瑩. 資源戰(zhàn)爭(zhēng)與中國(guó)石油安全[J]. 理論導(dǎo)刊,2003,(09).

[4] 張幼文，黃仁偉. 2005中國(guó)國(guó)際地位報(bào)告[R]. 北京：人民出版社，2005.

[5] 熊光楷. 國(guó)際形勢(shì)與安全戰(zhàn)略[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[6] Box G E P,Jenkins G M,Reinsel G C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. The third edition. NY: Prentice-Hall Inc,1994.

[7] Dervoot M V,Dougherty M,Watson S. Combining KOHOEN maps with ARIMA time series model to forecast traffic flow. Transportation Research,1996,4(5).307-318.

[8] Box G E P，Jenkins G M.Time series anaylsis：orcasting and control：revised edition.San Francisco：Holden-Day，1976.

[9] 楊奕農(nóng). Box-Jenkins的ARMA模型. yaya.it.cycu.edu.tw臺(tái)灣中原大學(xué)遠(yuǎn)距教育網(wǎng)站.

[10] 楊奕農(nóng). ARMA: 報(bào)酬之預(yù)測(cè) . yaya.it.cycu.edu.tw臺(tái)灣中原大學(xué)遠(yuǎn)距教育網(wǎng)站.

[11] Akaike,Hirotsugu.A new look at the statistical model identification.IEEE Transactions on Automatic Control，1974，19(6).716-723.

[12] Newey WK & West KD. A Simple,Positive Semi-Definite,Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix. Econometrica,1987，55.703-708.

[13] Durbin,J.,and Watson,G. S.,Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression,I. Biometrika 1950，37.409-428.

[14] Durbin,J.,and Watson,G. S.,Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression,II. Biometrika 1951，38.159-179.