子母彈最佳拋撒半徑與導彈精度關系研究

譚守林,張金巍,陳 力

(第二炮兵工程學院603教研室,陜西西安,710025)

現代戰爭中,利用導彈子母彈封鎖敵機場跑道是奪取制空權的重要手段。子母彈拋撒半徑不同,子彈分布密度和爆炸效應就不同,對目標的毀傷效果也不同。子母彈拋撒半徑可以通過改變拋撒高度和側向拋撒速度來調整。在目標、武器數量和性能等條件相同的情況下,通過對子母彈拋撒半徑的優化選擇,可以使子母彈對目標的打擊效果達到最佳。

不同型號的導彈,其精度往往不同,在制定火力計劃時需要考慮導彈精度對打擊效果的影響。本文在分別研究了導彈精度和子母彈拋撒半徑對打擊效果的影響后,運用優化算法求出子母彈最佳拋撒半徑。為了更好地研究子母彈最佳拋撒半徑隨導彈精度的變化規律,本文擬合出二者的函數關系式,以期為子母彈彈頭設計和火力應用提供參考。

1 基于Monte Carlo的機場跑道失效率計算模型

1.1 瞄準點的選擇

機場跑道是一類典型的窄長形面目標,一般情況下,跑道長L為3 000 m,寬B為46 m,長寬比達65∶1。導彈子母彈的拋撒半徑一般為100～400 m,其拋撒圓環直徑遠遠大于跑道寬度,故可假設跑道為均勻線目標。在研究導彈子母彈打擊機場跑道目標時,瞄準點的選取按均勻選點的原則進行[1],即瞄準點以目標中心為基點、沿跑道長度方向對稱等間隔分布,間距dx=L/M,其中M為發射導彈數。

取原點o′為機場跑道中心點,x′軸過原點與跑道方向平行,y′軸在跑道平面內過原點垂直于x′軸,構造目標坐標系x′o′y′。

設第i枚導彈(i=0,1,…,M-1)的瞄準點為(xi,yi),則

1.2 子彈落點散布模擬

1.2.1 母彈隨機落點模型[2]

設導彈的圓概率偏差為CEP,母彈落點(mx,my)服從(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)二維正態分布,其中:μ1、μ2分別為母彈落點坐標的均值,即μ1=xi,μ2=yi;σ1、σ2為導彈的射擊精度,σ1=σ2=σ;ρ為x方向與y方向的相關系數,若坐標軸與主散布軸平行,則射向與側向散布互相獨立,即相關系數ρ=0。射擊精度與CEP的關系為

第i枚母彈落點坐標為

式中:xi、yi為第i枚導彈的瞄準點坐標;c1、c2為(0,1)區間上相互獨立的均勻分布隨機數。

1.2.2 子彈隨機落點模型[3]

以子彈的拋撒中心為原點o,建立子彈落點坐標系xoy,子彈落點分布在以母彈落點為圓心的圓環內,圓環外徑為子彈拋撒半徑R,內徑為盲區半徑r,取r/R=0.3。假設子彈在圓環中服從徑向均勻分布,第i枚母彈第j個子彈的落點坐標為(xij,yij),則有

式中:v1為(r/R,1)區間上均勻分布隨機數;v2為(0,1)區間上均勻分布隨機數,且與v1相互獨立。

為便于計算對目標的毀傷效果,通常把子彈落點坐標轉換到目標坐標系。子彈落點在目標坐標系中的坐標為

1.3 機場跑道失效率的計算

對于機場跑道這類窄長形目標,主要采用跑道失效率作為其毀傷指標,下面給出跑道失效率的計算步驟。

(1)判斷子彈落點是否在跑道上。設彈坑半徑為r0,如果r0且則子彈落點在跑道上,記為(x(k),y(k)),k=1,2,…,S,其中S為落在跑道上的子彈個數。

(2)判斷是否存在最小升降窗口。

最小升降窗口是指飛機在跑道上安全起飛或降落所需的最小完好矩形區域,設其長度為WL,寬度為WB。

對于整條跑道,邊界條件取為

將子彈落點(x(k),y(k))按x(k)的增序排列,即x(0)≤x(1)≤…≤x(S)≤x(S+1)。如果存在x(k)-x(k-1)≥WL(k=1,2,…,S+1),則封鎖失敗,停止搜索;否則,以x向坐標最小的子彈落地(x(0),y(0))為起點,在跑道上以最小升降窗口長度WL為定步長,得到一個區間,搜索其中的彈著點,對各彈著點的y向坐標進行排序,判斷是否存在相鄰兩點的y向間距大于最小升降窗口寬度WB,如果存在,則封鎖失敗,停止搜索;否則,依次以子彈落點(x(k),y(k))(k=1,2,…,S+1)為起點,重復上一步操作,其中,如x(k)與x(S+1)的x向間距小于WL,則跑道失效,停止搜索,否則繼續搜索,直到確認跑道上沒有最小升降窗口或者封鎖失敗。

(3)計算跑道失效率。

采用Monte Carlo模擬方法計算跑道失效率。設總的模擬次數為N,其中跑道失效的次數為N1,則跑道失效率P為

經過多次仿真實驗表明,當N取5 000時,跑道失效率的計算結果較為準確。

2 導彈精度和子母彈拋撒半徑對機場跑道失效率的影響

導彈精度是評定子母彈對目標毀傷效果的重要條件。導彈精度包括導彈落點的準確度和密集度。準確度描述落點散布中心離開目標的距離,是一個系統值,常以落點縱向和橫向的系統偏差來表示。密集度描述隨機落點圍繞散布中心的分布狀況,反映了落點隨機性誤差的大小,以導彈縱向和橫向落點的方差來表示。當導彈縱、橫向落點的方差相同時,落點分布稱為圓散布,此時常以導彈落點的圓概率偏差CEP表示落點隨機性誤差[4]。本文不考慮導彈系統誤差,即認為落點散布中心與目標點重合,導彈落點隨機誤差采用圓概率偏差CEP,因此以下導彈精度均指CEP。

子母彈拋撒半徑是影響導彈子母彈對目標毀傷效果的另一重要指標,也是彈道設計和計算諸元要考慮的重要因素。

下面通過仿真計算來研究導彈精度及子母彈拋撒半徑對跑道失效率的影響。設跑道長L=3 000 m,跑道寬B=46 m,最小升降窗口長WL=800 m,最小升降窗口寬WB=20 m,彈坑半徑r0=1 m;導彈數量為5枚,子彈個數為70,導彈精度CEP從50 m變化到200 m,子母彈拋撒半徑從50 m變化到500 m。用VC++6.0編程并用M atlab軟件繪圖,得出跑道失效率與導彈精度、子母彈拋撒半徑的關系如圖1所示。

從圖1中可以看出:①在其他條件相同時,跑道失效率隨著CEP的增大迅速降低,但隨著子母彈拋撒半徑的增加,CEP對跑道失效率的影響逐漸減弱;②在其他條件相同時,隨著子母彈拋撒半徑的增大,跑道失效率呈先增大后減小的變化趨勢,即存在一個子母彈最佳拋撒半徑使跑道失效率達到最大。

圖1 不同導彈精度及子母彈拋撒半徑下的跑道失效率Fig.1 DPR at differentm issile’s precisionsand separation radius

3 子母彈最佳拋撒半徑的計算

從圖1可以看出,跑道失效率是CEP的單峰函數,峰值頂點對應的拋撒半徑即為子母彈最佳拋撒半徑,隨著CEP的增加,子母彈最佳拋撒半徑也在增加。利用優化算法可以求出每一個CEP對應的最佳拋撒半徑。

下面運用黃金分割法[5]求出不同導彈精度下的子母彈最佳拋撒半徑。在本文中可假設φ(α)為子母彈拋撒半徑為α時通過Monte Carlo模擬計算的跑道失效率。令a1、b1為子母彈拋撒半徑的下限和上限,則φ(α)為搜索區間[a1,b1]上的單峰函數。設在第k次迭代時搜索區間為[ak,bk],取兩個試探點λk、μk∈[ak,bk],且λk<μk,并滿足下列條件:①λk和μk到搜索區間[ak,bk]的端點等距;②每次迭代時,搜索區間長度縮短率相同。然后比較φ(λk)和φ(μk)的大小,并逐步縮小搜索區間。具體步驟如下:

(1)選取初始數據。確定搜索區間[a1,b1]和精度要求δ,按式(9)和式(10)選取最初兩個試探點λ1和μ1。

計算φ(λ1)和φ(μ1),令k=1。

(2)比較函數值。若φ(λk)>φ(μk),轉步驟(3);若φ(λk)≤φ(μk),則轉步驟(4).

(3)若bk-λk≤δ,則停止計算,輸出μk;否則,令ak+1=λk,bk+1=bk,λk+1=μk,φ(λk+1)=φ(μk),μk+1=ak+1+0.618(bk+1-ak+1)。計算φ(μk+1),轉步驟(5)。

(4)若μk-ak≤δ,則停止計算,輸出λk;否則,令ak+1=ak,bk+1=μk,μk+1=λk,φ(μk+1)=φ(λk),λk+1=ak+1+0.328(bk+1-ak+1)。計算φ(λk+1),轉步驟(5)。

(5)令k=k+1,轉步驟(2)。

4 子母彈最佳拋撒半徑與導彈精度的函數關系擬合

為了確定CEP與子母彈最佳拋撒半徑的關系,本文在用5枚子母彈打擊機場跑道的情況下,求出不同CEP對應的最佳拋撒半徑,采用最小二乘函數擬合法分別擬合出子母彈最佳拋撒半徑與CEP的一次、二次和三次函數關系式。

式中:x為導彈精度CEP;y為子母彈最佳拋撒半徑。圖2為各次函數的擬合曲線,其中,一次函數和二次函數的擬合曲線幾乎重合。

圖2 子母彈最佳拋撒半徑與導彈精度的關系Fig.2 Relationship between submunition missile’s best separation radius and precision

從式(12)～式(13)可以看出,二次函數和三次函數中高次項的系數都比較小,接近于零,因此可以忽略其高次項。從圖2中也可以看出,二次函數和三次函數擬合曲線比較接近于直線。為了計算方便,可以認為子母彈最佳拋撒半徑與導彈精度的關系為線性關系,即用5枚子母彈打擊機場跑道時,二者的函數關系為y=1.5x+55。同樣,可以擬合出用6枚或7枚子母彈打擊目標的情況下子母彈最佳拋撒半徑與導彈精度的函數關系。

5 結語

本文基于機場跑道失效率計算模型,利用Monte Carlo模擬方法研究了導彈精度和子母彈拋撒半徑對機場毀傷效果的影響,并利用黃金分割法求出子母彈最佳拋撒半徑,最后運用最小二乘法擬合出子母彈最佳拋撒半徑與導彈精度的函數關系式,通過比較得出二者近似為線性關系。本研究可以為子母彈的火力應用和諸元快速計算提供參考。

[1] 邱成龍.地地導彈火力運用原理[M].北京:國防工業出版社,2001:113-115.

[2] 雷寧利,唐雪梅.侵徹子母彈對機場跑道的封鎖概率研究[J].系統仿真學報,2004,16(9):2 030-2 032.

[3] 舒健生,李亞雄,蘇國華.子母彈拋撒盲區對毀傷效果的影響研究[J].彈箭與制導學報,2008,28(3):150-152.

[4] 張金槐.遠程火箭精度分析與評估[M].長沙:國防科技大學出版社,1995:1-3.

[5] 袁亞湘,孫文瑜.最優化理論與方法[M].北京:科學出版社,2005:69-73.