關于雙平面鏡成像特性的研究*

朱慶華 顧菊觀 錢星星 俞 瓊 高慧芝

(湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000)

引言

1 雙平面鏡的成像規律

1.1 成像區域

如圖1所示，雙平面鏡的兩平面鏡夾角為θ(0°≤θ≤180°)，兩平面鏡分別記為A、B，以平面鏡A所在直線為極軸建立極坐標系，則光源S所在的位置可以表示為S(R,α),R為光源到坐標原點的距離.物體能在平面鏡中成像，須滿足條件為物體在平面鏡前.所以，不可再次成像區域為∠A′OB′所夾區域,其余均為可成像區域.

圖1 雙平面鏡成像示意圖

1.2 像點的位置

S經雙平面鏡所成像點的位置可以在極坐標下表示出來[1].設經A平面鏡反射所成的像點記為A1，A2，A3，…An，經B平面鏡反射所成的像點記為B1，B2，B3，…Bm.如圖1，根據平面鏡成像的性質，顯然可以得到

同理可得

依此類推可得

所以，S，A1，A2，…An；B1，B2，…BM均落在以R為半徑、O為圓心的圓上.經雙平面鏡反射所成像點在極坐標下的極角如表1所示(以逆時針方向為正).

表1 像點的極角

2 成像的個數

2.1 經A平面鏡反射形成的像點個數

根據表1，以A平面鏡所在直線為極軸，經A反射的像點極角可以表示為

φn=-[(n-1)θ+α]

n=2k-1k=1,2,3,…

(1)

φn=-(nθ-α)

n=2kk=1,2,3,…

(2)

根據圖1，有φn≥-180°，依此可分別求得(1)式、(2)式滿足該條件的最大整數解，記為n1、n2；取n1、n2中較大的值即為經A反射成像的個數，記為max(n1,n2).

2.2 經B平面鏡反射形成的像點個數

同理，經B反射的像點極角可以表示為

φm=(m+1)θ-α

m=2k-1k=1，2，3，…

(3)

φm=mθ+α

m=2kk=1，2，3，…

(4)

此時，需進行坐標極軸的變換，以B平面鏡所在直線為極軸，則像點極角為

φm′=mθ-α

m=2k-1k=1，2，3，…

(5)

φm′=(m-1)θ+α

m=2kk=1，2，3，…

(6)

根據圖1有，φm′≤180°，依此式可分別求得(5)式、(6)式滿足該條件的最大整數解，記為m1、m2，取m1、m2中較大的值即為經B反射成像的個數，記為max(m1，m2).

2.3 像的總數及是否有重合像的判斷

若φn≥-180°和φm′≤180°取到等號，則說明像點落在平面鏡所在的直線上，此時經A反射成像個數和經B反射成像個數分別為max(n1,n2)-1和max(m1，m2)-1.

取θ=120°，α=60°和θ=120°，α=75°兩種情況為例進行說明.

當θ=120°，α=60°時，不難求得滿足條件φn≥-180°的最大n值為2，取到等號，像點落在平面鏡A所在直線，故經平面鏡A反射成像個數為1個，同理可得經平面鏡B反射成像的個數也為1.所以，成像總數為2個.與CAD作圖所得結果一致，如圖2所示.

圖2 θ=120°，α=60°雙平面鏡成像

圖3 θ=120°，α=75°雙平面鏡成像

綜上，雙平面鏡成像的個數與兩平面鏡的夾角θ以及光源在兩平面鏡間的位置α有關；故只要給定θ(0°≤θ≤180°)和α的值，就可以根據上述給出的理論計算方法求出任意情況下的像點個數，且與實際作圖結果一致.

參考文獻

1 林遂弟.兩個互成角度的平面鏡成像規律的研究.物理教師，2001，22(10)：16～17

2 鄔劍峰.兩個互成角度的平面鏡中能形成多少個像.中學物理教學參考，2003，32(7)：20