一維無限深勢(shì)阱內(nèi)粒子概率密度演示儀

易其順

(廣西民族師范學(xué)院物理與信息技術(shù)系,廣西崇左532200)

1 引 言

薛定諤方程是近代物理的一個(gè)主要內(nèi)容,而一維無限深勢(shì)阱又是應(yīng)用薛定諤方程解決實(shí)際問題的典型例子,因此講解一維無限深勢(shì)阱相關(guān)內(nèi)容時(shí)如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用薛定諤方程解決問題和進(jìn)一步理解波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋非常重要.可是這部分內(nèi)容又比較抽象,學(xué)生學(xué)習(xí)比較困難,興趣不高,因此有必要將這部分抽象的內(nèi)容進(jìn)一步具體化.基于這樣的考慮,在多年的教學(xué)研究的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)并制作了一維無限深勢(shì)阱中粒子概率密度分布的演示儀,效果良好.

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 一維無限深勢(shì)阱的模型

在金屬中的自由電子不會(huì)自發(fā)地逃出金屬,就是因?yàn)樗鼈冊(cè)诟骶Ц窠Y(jié)構(gòu)點(diǎn)(正離子)形成的“周期場(chǎng)”中運(yùn)動(dòng),可以抽象地認(rèn)為電子在無限深的勢(shì)能勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng).圖1為一維無限深勢(shì)阱的勢(shì)能曲線圖[1],其中縱坐標(biāo)表示勢(shì)能,橫坐標(biāo)表示距離.從圖中可看出,當(dāng) x≤0或 x≥a時(shí),勢(shì)能為無窮大,此時(shí)粒子態(tài)函數(shù)的表達(dá)式為ψ(x)=0,即粒子不會(huì)出現(xiàn).當(dāng)0＜x＜a時(shí),勢(shì)能表達(dá)式為V(x)=0.這樣,粒子就被限制在 x=0和 x=a兩點(diǎn)之間無限深的平底深阱中運(yùn)動(dòng).勢(shì)阱內(nèi)勢(shì)能與時(shí)間無關(guān),所以滿足定態(tài)薛定諤方程,因此勢(shì)阱內(nèi)的方程為

其解為

圖1 一維無限深勢(shì)阱的勢(shì)能曲線

由標(biāo)準(zhǔn)化條件和歸一化條件,確定各參量得定態(tài)波函數(shù)為

圖2 粒子定態(tài)波函數(shù)和概率密度函數(shù)圖

2.2 實(shí)驗(yàn)原理

這樣,波函數(shù)就可以看成是2列沿 x軸相反方向傳播的單色平面波的疊加.由 kn=nπ/a及kn=pn/得

圖3 電子在勢(shì)阱內(nèi)的駐波圖及概率密度圖

3 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示,裝置總共由兩部分組成,第一為駐波產(chǎn)生部分,第二為演示部分.駐波產(chǎn)生部分由信號(hào)發(fā)生器、喇叭、升降臺(tái)以及固定于喇叭上的果凍殼、木條、細(xì)線和小沙桶組成.其中,振動(dòng)部分參考了文獻(xiàn)[2]的振動(dòng)源.演示部分主要由如圖4所示的演示板組成,演示板上將各個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的直線按1∶3∶5的間隔比例畫在板上,在每條能級(jí)線上標(biāo)出該能級(jí)狀態(tài)下粒子態(tài)函數(shù)的駐波圖像和概率密度圖像同時(shí)取最大值的位置(用虛線標(biāo)出),同時(shí)在每條能級(jí)線的左端裝上1個(gè)小滑輪.

圖4 演示實(shí)驗(yàn)裝置圖

4 實(shí)驗(yàn)演示

4.1 演示 n=1時(shí)的粒子的概率密度

調(diào)節(jié)升降機(jī)的高度,使細(xì)線與n=1的直線重合,調(diào)好信號(hào)發(fā)生器的輸出信號(hào),打開信號(hào)發(fā)生器的電源,此時(shí),喇叭開始振動(dòng),木條也跟著振動(dòng),再調(diào)節(jié)砂桶的重量,使細(xì)線在0和 a之間形成1個(gè)駐波.如圖3中的 n=1所示.從圖中可看出,在a/2處粒子出現(xiàn)的概率最大.在0和 a處粒子概率最小.

4.2 演示n=2時(shí)的粒子的概率密度

調(diào)節(jié)升降機(jī)的高度,將細(xì)線換到n=2的滑輪上,使細(xì)線與 n=2的直線重合,重復(fù)4.1操作使細(xì)線在0～a之間形成2個(gè)駐波.如圖3中的 n=2所示.從圖中可看出,在 a/4和3a/4處粒子出現(xiàn)的概率最大.在0,2a/4和a處粒子概率最小.

4.3 演示n=3時(shí)的粒子的概率密度

調(diào)節(jié)升降機(jī)的高度,將細(xì)線換到n=3的滑輪上,使細(xì)線與 n=3的直線重合,重復(fù)4.1操作使細(xì)線在0～a之間形成3個(gè)駐波.如圖3中 n=3所示.從圖中可看出,在 a/6,3a/6和5a/6處粒子出現(xiàn)的概率最大.在0,2a/6,4a/6和 a處粒子概率最小.

5 注意的問題

5.1 制作注意的問題

1)制作演示板時(shí) x軸及n=1,2,3所代表的線的距離要按1∶3∶5的比例(按各能級(jí)間隔).

2)駐波產(chǎn)生部分的喇叭要選用低音喇叭,先將小木條穿過果凍殼頂部,并用固膠固定好,待固膠凝結(jié)后,再將果凍殼底部用固膠固定在喇叭的振動(dòng)膜上,然后在小木條上系棉線.其實(shí)振動(dòng)部分如果用音叉或打點(diǎn)記時(shí)器(經(jīng)改裝后),效果更明顯,本文只是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)室有廢舊的喇叭才采用它作為振動(dòng)部分.

5.2 演示時(shí)注意的問題

1)低頻信號(hào)發(fā)生器的信號(hào)調(diào)到50 Hz.

2)事先分別調(diào)好n=1,n=2,n=3時(shí),桶的重量(以便實(shí)驗(yàn)時(shí)節(jié)省時(shí)間),先調(diào)節(jié)升降臺(tái),使小木條基本與n=1,n=2,n=3所代表的線重合,然后掛上相應(yīng)的滑輪,最后進(jìn)行細(xì)調(diào).

6 結(jié)束語

本儀器只能夠從總體上讓學(xué)生觀察到電子在阱內(nèi)概率密度的分布規(guī)律,不能從圖像中看出粒子在某一點(diǎn)的概率密度多大,這是本儀器的不足之處.但是演示教具構(gòu)思巧妙,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,制作容易,所用的材料都是實(shí)驗(yàn)室里或是日常生活中常見的物品,在課堂上利用它進(jìn)行演示,能夠讓學(xué)生觀察到直觀的一維無限深勢(shì)阱內(nèi)粒子不同的地方概率密度的分布規(guī)律,有助于學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解.更重要的是透過這種由常見物品巧妙融合而成的教具,能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,同時(shí)給他們某種啟迪.

[1] 梁紹榮,劉昌年,盛正華,等.普通物理學(xué)(近代物理學(xué)基礎(chǔ))[M].北京:高等教育出版社,2001:113-114.

[2] 易其順,黃國現(xiàn).一種演示 RLC電路相頻特性實(shí)驗(yàn)儀[J].大學(xué)物理,2007,26(1):41.

[3] 劉名揚(yáng),孫維瑾,張民.一種演示 RLC電路相頻特性實(shí)驗(yàn)儀[J].物理實(shí)驗(yàn),2008,28(11):12.

[4] 胡志日,張鈺,房熊俊,等.基于LabV IEW的衍射自動(dòng)演示儀的設(shè)計(jì)[J].物理實(shí)驗(yàn),2009,29(3):14.

[5] 張朝民,張欣,陸申龍,等.巨磁電阻效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀的研制與應(yīng)用 [J].物理實(shí)驗(yàn),2009,29(6):15.