小波采樣的濾波算法研究

張治國，黃建國，劉 震

(電子科技大學自動化工程學院 成都 610054)

小波采樣的濾波算法研究

張治國，黃建國，劉 震

(電子科技大學自動化工程學院 成都 610054)

針對經典小波采樣理論不能如同香農定理應用采樣值對連續信號進行濾波，該文在小波采樣存在條件下，提出一種基于采樣值的小波濾波算法。該算法突破經典小波采樣理論僅研究單個Hilbert空間信號重構的局限性，從多分辨分析逼近出發，基于采樣值構建信號逼近準則函數，進而計算信號在小波空間的正交投影，實現小波濾波。仿真試驗證明該算法能夠有效地基于采樣值，對連續信號進行小波濾波。

離散信號處理; 采樣理論; 信號濾波; 小波分析

隨著計算機和數字化技術的發展，采樣理論成為現代信號處理的關鍵技術和重要基礎。目前，實踐中普遍采用的 Whittaker-Kotel’nikov-Shannon定理(香農定理)難以處理頻域非緊支集(非頻段有限)和非均勻采樣信號，應用受到極大限制。為解決上述問題，廣義采樣理論得到迅速發展，其中小波采樣理論成為廣義采樣研究的重要分支[1]。

由于小波采樣(基于小波理論實現信號離散化)基于任何L2(R)子空間的理論[2]，因此可以有效處理非頻段有限采樣問題。文獻[3-5]分別利用核函數理論，在不同的小波空間中，提出小波采樣存在(可以在相應小波空間實現信號離散化)的充要條件。此后，小波采樣的非均勻采樣[6-7]、平移不變性和多空間理論[8-9]迅速發展，并產生了針對各類特殊小波的采樣理論[10-13]。

盡管小波采樣理論研究取得了許多重要成果，然而與經典采樣理論——香農定理相比，小波采樣理論依然有許多值得深入研究的問題，如香農采樣的濾波性質。Possion定理說明香農采樣等同于信號的低通濾波，因此香農采樣不僅可以如同廣義采樣實現信號重構，而且可以利用采樣值，實現信號特征提取和正交分解。該性質與香農函數作為特殊小波父函數，具有多分辨分析性質有密切關系，因此小波采樣完全可以具備同樣性質。針對上述問題，本文探討小波采樣的多空間性質，提出一種快速計算方法，在小波采樣中利用采樣值對信號進行小波濾波，實現香農采樣的類似性質。

1 小波采樣的濾波問題

多分辨分析就是指L2(R)中滿足稠密性、平移不變性等 6個性質的一組嵌套空間{Vj}j，其中j∈Z[14]。本文以逼近空間V0中的信號作為討論的對象，但對于其他多分辨分析逼近空間，本文算法具有相同的有效性。由于香農函數張成的Paley-Wiener空間(P空間)滿足多分辨分析條件，因此香農采樣本質上是小波采樣，使得香農采樣與普通小波采樣存在許多共性?；诖?，本文通過香農采樣分析小波采樣濾波問題。

設信號fs是P空間V0中的元素，其采樣序列表示為：

2 小波采樣濾波算法準則函數

盡管基于Possion表達式，香農采樣能夠實現信號在多分辨分析的正交分解，但對于普通的小波采樣，卻沒有與其相對應的理論，與經典小波采樣理論僅從單空間信號重構角度討論小波采樣理論存在密切關系。本文從信號逼近角度出發，基于信號逼近準則函數，獲得信號的正交分解量。

2.1 準則函數表達形式

2.2 準則函數合理性分析

因此雙無窮矩陣Q是線性有界可逆變換。由式(8)可知， 也是線性有界可逆變換，因此根據Hermitian矩陣性質， 是正定矩陣。證畢。

3 小波采樣濾波計算

引理3還證明，信號逼近誤差可以通過準則函數轉換為采樣值誤差?；谝?，定理1將證明，信號在V0子空間上的正交投影是V0子空間Vj中使準則函數減為最小的元素。

基于該重要結論，本文提出相應算法，基于采樣值計算信號在Vj上正交分量的級數表達式式(4)，實現小波采樣濾波。

4 算法仿真試驗

4.1 仿真對象

仿真試驗選用5階樣條小波多分辨分析作為仿真對象，其對應的小波父函數φ(t)和小波ψ(t)分別如圖1a和圖1b所示。由G G Walter相關理論可知5階樣條小波多分辨分析存在小波采樣，所以可以運用本文的相關算法對信號進行正交分解。

圖1 5階樣條小波父函數及小波

圖2 信號及其組成成分

4.2 信號分解仿真結果

圖3 信號分解結果

5 結 論

基于小波采樣的存在條件，本文從多分辨分析逼近角度出發，運用插值Riesz基與正交基之間的映射關系，構建小波空間信號逼近準則函數，利用采樣值衡量信號逼近誤差，進而利用該準則函數提出相應的信號小波正交分解算法，使得小波采樣能夠如同香農采樣那樣，進行小波濾波。

由于該算法通過準則函數，間接利用了小波采樣的存在性條件和插值Riesz基，因此該算法同樣適用于普通的小波和小波父函數基，使該算法與經典小波采樣算法相比，具有更大的適用性。

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編 輯 張 俊

Wavelet Filtering Algorithm of Wavelet Sampling

ZHANG Zhi-guo, HUANG Jian-guo, and LIU Zhen

(School of Automation Engineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 610054)

A new algorithm of wavelet sampling is proposed since the typical wavelet sampling lacks the capacity to filter the continuous signal by the samples as Shannon sampling does. From the viewpoint of Multiresolution approximation, a new cost function based on the samples is introduced to estimate the approximation of signal in this algorithm, so that the signal is decomposed into the orthogonal components, which has break through the limit of typical wavelet sampling that only considers the construction of signal in one Hilbert space.

discrete signal processing; sampling theorem; signal filtering; wavelet analysis

TP301.6

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2010.05.020

2009- 04- 08;

2010- 01- 29

國家自然科學基金(60474069)

張治國(1977- )，男，博士，高級工程師，主要從事小波采樣及系統仿真方面的研究.