談談如何在數學教學中運用啟發式教學法

房少梅 金玲玉 華南農業大學數學系 510642

談談如何在數學教學中運用啟發式教學法

房少梅 金玲玉 華南農業大學數學系 510642

本文通過分析數學教學的實踐過程，簡要的探討了在數學教學中如何運用啟發式教學，從而提高學生學習興趣和學習能力。

數學教學;啟發式教學;學習興趣

中類圖書號：G424

隨著社會的發展，人們已經充分認識到數學作為基礎課的重要性，許多大學已經把數學列為通識教育的范疇，數學教育已經成為一種素質教育。與此同時，數學基礎課程的教學情況應該說是不盡如人意的。首先，由于擴招引起的生源整體水平下移，程度參差不齊，這使得數學教學出現各種問題和困難；其次，相當多的學生難以適應大學數學的學習方法，中學的應試教育導致了題海戰術，學生不善于思考、不善于分析問題，只會對號入座。再次，高等數學的抽象性使學生難于理解，進一步加深了學生學習的困難。以上種種問題造成的直接后果——學生缺乏學習興趣，對學數學的興趣和學習主動性下降。如何扭轉這種局面呢？在長期的教學實踐中我們體會到，啟發式的教學方法是解決問題的重要手段。

啟發式教學的目的很簡單：教會學生思考，讓學生跟著教師的教學去思考。下面我們就從以下兩點談談在教學過程中如何實現啟發式教學。

1. 激發學生興趣，使學生產生學習的欲望

如何激發學生的興趣呢？比如說，在數學教學中，數學中的一些概念和問題的表述往往比較抽象，所以問題的表達和提出應該盡量有吸引力，首要的就是要抓住學生。

例1，從有限到無限概念[1]的引入。對大一的新生，我們講數學分析，從有限進入無限領域，怎樣才能使學生很好地理解無限的概念呢？“希爾伯特旅館”的故事就是一個很好的例子，假設一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時有一位新客，想訂個房間。“不成問題！”旅館主人說。接著他就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。住滿房客的旅館總是能住進新客人，這種奇特的現象實質是由于房間的個數是無限的。

例2，抽象概念的詮釋——混沌，尺度空間。講解混沌概念時，向學生提問——你知道“蝴蝶效應”嗎？巴西的蝴蝶偶爾扇動翅膀，可能引起美洲的一場風暴，這在數學上的表述就是：“一個系統對初始條件的極為敏感性”，這樣的問題同學們感到很有興趣；類似的，講分形的時候，提出“英國的海岸線有多長？”，從而引入不同的尺度空間。這個問題的實質是測量的尺度不同，得到的長度就不同。即使是有限面積的周長也可能是無限的。

當然，數學里面不是處處可以這樣講的，但有很多地方，可以來引出問題，提出問題。另外，在數學教學中需要適當的數學模型和典型的例子。如人口問題的中著名的Malthus模型和Logistic模型，二次世界大戰結束時荷蘭發生涉及Vermeer的名畫真偽的案件，以及美國原子能委員會處理核廢料引起質疑的問題，這些例子都可以放在微積分中講述，并不太難，這可以充分說明數學的重要性，引起學生學習數學的興趣。

數學本身一些抽象的模型也是很好的例子，例如，每個教數學分析的老師都會提到的Dirichlet函數[2]，自變量取有理數、無理數時，函數分別定義為“1”和“0”。構造這樣的函數，其目的在于說明許多數學概念時指出其特殊情況，從而可以加深我們對抽象概念的理解。這個函數處處無極限、處處不連續；它是周期函數，任何有理數都是它的周期，但它又沒有最小正周期。我們在教學過程中反復講這個例子，講到相關概念時就提出這個例子，這樣可以加深學生對于相關概念的認識，學生會感到很有意思，從而要求學生在學習中注意反例，進而引導學生構造反例。

2.化被動學習為主動學習

主動學習就是盡量讓學生自己去思考，去發現結論。啟發式的教學的關鍵就是在教學中引導學生去思考，而不是被動的、輕松的接納教師教授的知識，這樣的知識對學生來說不會留下深刻的印象，也不能把知識學活。應該讓學生去思考、去發現，這樣學生會有成就感，引起學生學習數學的興趣。比如我們講微分中值定理，微分中值定理的證明及相關習題，都用構造輔助函數的方法，證明Lagrange定理怎么構造輔助函數？有幾種方法呢？方法的實質是如何構造函數，構造的方法其實本質是通過觀察和尋找原函數的方法。微分中值定理的含義既可以從幾何上來分析，也可以從形式上來分析。從幾何上分析，Lagrange定理[3]的幾何意義——如果連續曲線除端點外處處有不垂直于軸的切線，則在曲線上至少存在一點，使曲線在點的切線平行于直線．通過將定理的結果用圖形表述出來啟發學生理解幾何意義。從形式上分析——是聯系函數與其導函數的橋梁。另外引導學生找出問題的更特殊情況——端點的函數值相等，這樣可得Rolle定理。問題的一般情況——函數y=x替換為y=g(x)，這時定理化為柯西定理。這是一個慢慢啟發學生發現問題，歸納問題，解決問題的過程。

總是，在數學教學中我們應該采用啟發式教學，提高學生的學習興趣，培養學生的思維方式、自學能力。

[1]復旦大學數學系．數學分析(第2版) (上)[M]．北京：高等教育出版社.2003.1-50.

[2]北京大學數學系．數學分析(上)[M]．北京：高等教育出版社.1986．1-126.

[3]同濟大學數學教研室．高等數學(第4版)(上)[M]．北京：高等教育出版社.1999. 51-120

A

華南農業大學教改項目（JG09032），華南農業大學校長基金（4900-k07418）

房少梅，女，新疆伊犁人，教授，博導，廣東省數學會理事、廣東省工業數學與應用數學學會常務理事；

金玲玉，女，湖北荊州人，博士。