極坐標系下求平面圖形的面積教學方法探討

劉桂仙 劉慶升

1河南理工大學數學與信息科學學院 454000

2曲靖師范學院數學系 655011

極坐標系下求平面圖形的面積教學方法探討

劉桂仙1劉慶升2

1河南理工大學數學與信息科學學院 454000

2曲靖師范學院數學系 655011

從高等數學教學的角度出發，探討了如何講解在極坐標下求平面圖形的面積問題。

極坐標；定積分；面積

求平面圖形的面積是定積分在幾何中的一個最基本的應用，當某些平面圖形的邊界曲線以極坐標方程給出時，我們可以考慮直接用極坐標來計算這些平面圖形的面積.本文就從高等數學教學的角度出發，探討了如何講解在極坐標下求平面圖形的面積問題。

圖1

在講課過程中，筆者發現由于中學課改，現在學生普遍沒有接觸過極坐標，理解起來十分困難，這就使授課教師很為難，如果只是簡單一帶而過的介紹，學生聽不明白，只能死記公式，但如果向學生詳細介紹極坐標，又受到學時的限制，難以展開，可是若要講解在極坐標下求平面圖形的面積問題，學生必須知道什么是極坐標.要想用較短的時間向學生講明白什么是極坐標，我想關鍵是用通俗易懂的語言把意思講清楚.什么是極坐標？實際上用距離和方向表示平面上一點的位置，就是極坐標。

結合直角坐標系，通過作圖，把直角坐標和極坐標的互化關系分析清楚極坐標與直角坐標系的關系如圖1所示，將極坐標的極點O作為直角坐標系的原點，將極坐標的極軸作為直角坐標系x 軸的正半軸。如果點P在直角坐標系下的坐標為(x,y)，在極坐標系下的坐標為(ρ,θ) 則有下列關系

講清楚極坐標的定義后，用元素法分析出用極坐標來計算平面圖形的面積公式.如圖2，設圖形由曲線

圖2

在舉例子的過程中，筆者發現很多學生往往對由極坐標表示的圖形很困惑，這些圖形是怎么生成的呢？如何畫呢？下面通過舉例來講解一下，在許多高等數學課本中有這樣一個例子：計算心形線所圍成的圖形的面積.我在講此例時，首先把解析幾何的平面曲線的方程這部分知識穿插進來，向學生介紹心形線是如何生成的：當一圓沿著一個定圓的外部作無滑動地滾動時，動圓上一點的軌跡在直角坐標系下利用向量法得到的就是心形線。利用直角坐標和極坐標的互化關系就得到心形線的極坐標表示式，其次再利用多媒體動畫演示一遍，最后向學生分析在極坐標系下圖形如何畫：找出作圖區間是;在此區間上找出特殊點；觀察

通過上面例子的詳細講解，學生在極坐標系下會畫平面圖形，再用元素法分析出面積元素，那么利用極坐標系計算平面圖形的面積就掌握了，這也為以后講授利用極坐標計算二重積分奠定了基礎。

[1]同濟大學應用數學系．高等數學(第六版)(上冊)[M]．北京：高等教育出版社. 2007.

[2]呂林根，許子道. 解析幾何（第四版）[M]．北京：高等教育出版社.2006.

劉桂仙（1980-），女，講師，碩士，主要從事拓撲動力系統方向的研究。

河南理工大學2008年教育教學改革研究項目（2008JG073）;河南理工大學青年基金（646205）