在概率論教學中融入數學建模思想

鄒海雷 王成 中國計量學院 310018

在概率論教學中融入數學建模思想

鄒海雷 王成 中國計量學院 310018

本文就如何在概率論與數理統計教學中融入數學建模思想的問題進行了深入的探討,主張精選數學建模的內容,注重數學思想方法的傳授。

概率統計;數學建模;教學改革

1、引言

概率論與數理統計是研究隨機現象及其規律的一門數學學科,其思想和方法廣泛應用于社會生產實踐、科技實驗及金融經濟、化學工程、物理等等各個學科領域中。由于科學技術的發展和知識更新的速度加快,大學教學的傳統思想觀念和方法必須加以改革以適應新的形勢.如何增強學生的競爭意識,培養學生的創新能力和應用能力?如何將先進的科學技術、新概念和新方法不斷地引入到課堂教學中去?這是值得教育工作者認真思索的問題.概率統計知識與方法是現代工程、信息、社會和經濟研究運用的基本方法,是一門核心的數學學科.最近,“概率統計”已經在許多學科,如金融、地球科學、生命科學、人工智能和通訊網絡中成為不可缺少的知識和方法.從最近幾年的全國大學生數學建模競賽題目中,我們看到,競賽題目涉及的概率和統計知識較多,如2000～2004年期間,有DNA序列的分類、乳腺癌診斷問題、彩票問題、電力市場的輸電阻塞管理和2008年北京奧運會場館的人流分布等問題都不同程度地涉及概率或統計知識。由此可見,概率統計知識與人們的日常生活乃至科學技術緊密相關.通俗的說,數學建模是通過調查,收集數據、資料,觀察和研究其固有的特征和內在的規律,抓住問題的主要矛盾,提出假設,經過抽象簡化,建立反映實際問題的數量的關系,即利用數學知識解決實際問題。因而, 在概率論與數理統計中融入數學建模思想的研究與實踐,將有助于學生學習其理論知識,培養學生運用數學思想和方法解決實際問題的能力和意識,具有重要的理論和現實意義。

2、教學上吸收有趣的應用題目,體現數學建模的思想

教師的中心任務是引導學生從傳統的確定性思維模式進入隨機性思維模式,使學生掌握處理在工程、經濟管理、人文社科以及科學研究中出現的隨機問題的數學方法.根據該課程的特點,我們認為需要用現代科學觀點來重新審視、選擇和組織工科“概率統計”課程的教學內容,引進較前沿的科學技術、方法和與概率統計知識相關的應用問題,使傳統與現代內容有機地結合起來.教學內容中插入一些反映社會中所關心的各種實際問題,如社會學中的購買彩票的中獎率問題、估計一項新產品在未來市場上的暢銷率、工程上的產品質量評價、大系統可靠性優化設計、醫學中的新舊藥品治療療效的比較或疾病診斷等問題.使學生對運用“概率統計”知識建立數學模型和解決實際問題具有感性認識,對“概率統計”知識產生濃厚興趣,從而變被動學習為主動學習,對學生們今后從事科學研究工作是很有幫助的.在“概率統計”教材中,不打破原有系統知識的前提下,應增加2～3個來源于科研中的應用案例,體現用概率統計知識進行數學建模的全過程,即“問題→數學模型→軟件求解→結果分析→修改模型→應用”.例如,引入“資源公平分配方案”的綜合案例,這是一個優化決策問題,其中用到了多種概率知識和方法,有比例分配法、最大熵法、最大概率法、最小偏差法等。引入“某商品的需求情況分析”綜合案例,用到了多種統計推斷原理.引入“某氣象觀測站降雨量分析”綜合案例,用到了相關性分析原理和回歸分析方法.學生們通過這些案例的學習,可以親自體驗使用概率統計知識的數學建模的全過程,加深“概率統計”知識的理解,進一步增強他們的應用意識和學習興。

3、改革課堂教學方法,探索新的教學模式

如何使學生的課堂學習取得較好的效果?我們認為應該拋棄“滿堂灌”的教學方法,采用啟發式的、歸納類比式的教學模式,應該由淺入深,由直觀到抽象,使學生真正掌握數學概念和方法,并從中獲得學習上的樂趣。例如我們在講解二項分布時,注意引入由英國生物統計學家Galton設計的釘板模型,并用計算機模擬該模型,通過歸納類比,5000次投球小球堆積的頻率圖與二項分布的理論圖形極其相似,既讓學生了解二項分布的來源,又讓學生感悟到怎樣用實際模型去檢驗理論模型,同時使學生加深對“頻率近似于概率”這一原理的理解,了解計算機模擬方法。又如在講解中心極限定理時,首先向同學們提出思考問題:“為什么工程上經常假設某個研究對象是服從正態分布的?這一假設的理論依據是什么?”,然后介紹該定理,重點是介紹中心極限定理在實際應用中所起的重要作用.除此之外,還利用多媒體的現代教學手段,進行實驗性教學,由計算機模擬任何一個分布在一定的條件下近似于正態分布.使學生深刻理解中心極限定理,為數理統計知識的學習打下牢固的基礎.我們還認為,對數學知識的講授不應該只局限于知識的傳播,還應注意知識的擴展和延伸,注意培養學生思維的廣闊性、嚴密性和創新性。例如,事件之間的互斥性與獨立性是兩個不同的概念,教師要講清楚這一點,需要嚴格證明以舉例說明,以保證知識點的嚴密性.總之,課堂上,教師采用啟發式的教學法,不僅啟發學生積極思維,融會貫通地掌握知識,還要充分調動學生學習的主動性,培養學生的學習興趣和求知欲,從而提高學生的分析問題和解決問題的能力。

4、加強實踐性教學環節

在學生的實踐性環節中,為了達到鞏固知識點和靈活運用知識點解決問題的目的,教材中需要設計各種用于學生訓練的題目.一般教材的編者往往把注意力較多地集中在教學內容的處理與編寫上,而對習題的選取、次序和搭配等注意不夠.常常設計的練習題目過難,要求過高,造成學生學習的困難,影響學生學習的積極性.實際上,作為數學教材,習題是十分重要的組成部分.我們認為,編寫新教材應由淺入深、分門別類地編排練習題,以滿足各個層次和不同對象的需要。除常規概率統計練習題目外,應該增加一些有趣的、與日常生活中密切相關的概率統計題目,并體現綜合性和數學建模的思想.同時,布置課外作業是進一步理解、消化和鞏固課堂教學內容的重要環節。針對概率統計實用性強的特點,有目的地組織學生參加社會實踐活動。只有把某種思想方法應用到實踐中去,解決幾個實際問題,才能達到理解、深化、鞏固和提高的效果。如,測量某年級男、女生的身高,分析存在什么差異;分析下課后飯堂人數擁擠程度,提出解決方案;分析某種蔬菜的銷售量與季節的關系,等等。學生可以自由組隊,通過合作、感知、體驗和實踐的方式完成此類作業。他們在參與完成作業的過程中,培養了不斷學習、勇于創新、團結互助的精神。

5 思索

我們認為,在概率統計中融入數學建模思想,培養數學建模能力,不能一蹴而就。教學強調的是讓學生發現知識、再構建知識的過程,這個過程需要一定量的課時。由于課時的限制,可能不能充分而有效地開展該教學。教學激發了學生學習的主動性和積極性,給學生一種利用數學知識解決實際問題的范例,但學生要養成應用數學知識去發現問題、分析問題、解決問題的習慣,并具備這種能力,更需要學生銳意進取、持之以恒,只要堅持下去,一定會取得顯著的成果。

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10.3969/j.issn.1001-8972.2010.22.146