渦輪盤低循環(huán)疲勞兩種可靠性分析方法的對(duì)比

劉 輝，白廣忱

（北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191）

渦輪盤是航空發(fā)動(dòng)機(jī)主要承力構(gòu)件之一，隨著發(fā)動(dòng)機(jī)推重比的增大，渦輪盤的設(shè)計(jì)應(yīng)力水平逐漸提高，其使用壽命大大降低，而渦輪盤的低循環(huán)疲勞斷裂，往往會(huì)導(dǎo)致十分嚴(yán)重的后果。因此研究渦輪盤的低循環(huán)疲勞可靠性，對(duì)飛行安全具有重要意義。

疲勞壽命分析，有基于應(yīng)力的和基于應(yīng)變的兩種方法。基于應(yīng)力的方法，最早被應(yīng)用于疲勞分析，其以分析應(yīng)力與壽命的關(guān)系為主，具有簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)，能滿足一般結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析要求。而基于應(yīng)變的方法，在分析塑性應(yīng)變起主要作用的低循環(huán)疲勞時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。嚴(yán)格意義上的低循環(huán)疲勞故障，其疲勞斷裂周次小于疲勞過(guò)渡壽命，對(duì)于大多數(shù)用作壓氣機(jī)和渦輪盤的鈦合金和高溫合金，其疲勞過(guò)渡壽命僅為102～103循環(huán)之間。而航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤壽命，一般在103～105之間，因此，渦輪盤結(jié)構(gòu)并不存在本質(zhì)意義上的塑性應(yīng)變損傷占主導(dǎo)的低循環(huán)疲勞[1]。本文分別利用基于應(yīng)力和基于應(yīng)變的疲勞可靠性分析方法，來(lái)計(jì)算航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤低循環(huán)疲勞壽命及可靠度，對(duì)兩種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較和分析。

1 疲勞壽命可靠性的兩種模型

渦輪盤疲勞可靠性問(wèn)題，一般面臨解決兩類問(wèn)題：一是具有一定可靠度的輪盤壽命是多少，二是一定輪盤壽命所具有的可靠度是多少。第一類問(wèn)題，可用載荷壽命模型求解；而第二類問(wèn)題，可用載荷強(qiáng)度模型求解[2]。

1.1 應(yīng)力疲勞可靠性模型

應(yīng)力與壽命的關(guān)系，一般由S-N曲線描述，不同存活率的S-N曲線構(gòu)成P-S-N曲線。目前在疲勞可靠性設(shè)計(jì)中，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有三種，其中如式(1)所示的三參數(shù)冪函數(shù)，具有較大的優(yōu)越性[3]。函數(shù)中的A、B、C均為常數(shù)，可由回歸分析得到，而傳統(tǒng)的同方差回歸分析，無(wú)法考慮到不同溫度和應(yīng)力時(shí)其壽命分散性的差別，因此本文用異方差回歸分析的方法，回歸出所需的三參數(shù)冪函數(shù)。

由于疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是在確定的應(yīng)力比下得到的，但在實(shí)際的工程應(yīng)用中，危險(xiǎn)位置的應(yīng)力比往往是變化的，所以要對(duì)得到的應(yīng)力與壽命的關(guān)系進(jìn)行修正，一般采用Goodman曲線，由式 σa/σ-1+σm/σb=1描述。

（1）應(yīng)力壽命模型。應(yīng)力壽命模型的可靠度表示為

Nσ為輪盤壽命，Nσ0為設(shè)計(jì)壽命。

輪盤壽命可由描述P-S-N曲線的三參數(shù)冪函數(shù)得到，函數(shù)中的應(yīng)力項(xiàng)，可通過(guò)有限元計(jì)算得出。為了便于抽樣計(jì)算，首先可擬合出渦輪盤危險(xiǎn)點(diǎn)的最大應(yīng)力的響應(yīng)面方程。根據(jù)數(shù)據(jù)手冊(cè)上的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[4]，進(jìn)行異方差回歸，260℃時(shí)GH4133材料在置信度為0.5和0.95下的三參數(shù)冪函數(shù)分別表述為式(3)和式(4)：

計(jì)算出的應(yīng)力經(jīng)過(guò)Goodman曲線修正后，代入式(3)和式(4)，就可得到疲勞壽命。

（2）應(yīng)力強(qiáng)度模型。應(yīng)力強(qiáng)度模型的可靠度表示為

σN為應(yīng)力強(qiáng)度，σt為應(yīng)力載荷。

不同可靠度、不同置信度的應(yīng)力強(qiáng)度，可由擬合的P-S-N曲線得到。給定壽命N后，可代入式(3)和式(4)，分別計(jì)算出置信度0.5和0.95下的應(yīng)力強(qiáng)度，而應(yīng)力載荷可由有限元計(jì)算得出，本文由渦輪盤危險(xiǎn)點(diǎn)的最大應(yīng)力的響應(yīng)面方程得到。

1.2 應(yīng)變疲勞可靠性模型

應(yīng)變與壽命的關(guān)系由ε-N曲線描述，而基于存活率P的P-ε-N曲線能夠較好的描述材料在給定應(yīng)變水平下的疲勞壽命的概率分布特性。用Mason-Coffin公式來(lái)擬合P-ε-N曲線在低循環(huán)疲勞壽命分析中應(yīng)用較廣泛。異方差回歸的分析方法同樣可以應(yīng)用在擬合P-ε-N曲線的過(guò)程中。

（1）應(yīng)變壽命模型。應(yīng)變壽命模型是以疲勞壽命為參數(shù)的可靠性模型，可靠度表示為

輪盤壽命可由經(jīng)過(guò)平均應(yīng)力修正的Mason-Coffin公式得到。對(duì)于GH4133材料，置信度水平0.5和0.95下，用Morrow修正項(xiàng)修正過(guò)的Mason-Coffin公式分別為式(7)和式(8)[2]。

式中的循環(huán)應(yīng)變幅由有限元計(jì)算得出，同樣為了便于抽樣計(jì)算，可先擬合出渦輪盤危險(xiǎn)點(diǎn)的最大應(yīng)變的響應(yīng)面方程。將計(jì)算得到的循環(huán)應(yīng)變幅分別代入式(7)和式(8)，就可得到置信度0.5和0.95下的疲勞壽命。

（2）應(yīng)變強(qiáng)度模型。應(yīng)變強(qiáng)度模型的可靠度表示為

△εN為應(yīng)變強(qiáng)度，△εt為應(yīng)變載荷。

應(yīng)變強(qiáng)度由P-ε-N曲線給出，在給定壽命N下，可將壽命N代入用Morrow修正項(xiàng)修正過(guò)的Mason-Coffin公式分別計(jì)算出置信度0.5和0.95下的應(yīng)變強(qiáng)度。應(yīng)變載荷可用有限元法計(jì)算，本文由響應(yīng)面方程得到。

2 渦輪盤的應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算

用于計(jì)算的渦輪盤的外形和有限元模型如圖1所示，為某發(fā)動(dòng)機(jī)高壓一級(jí)渦輪盤，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，將其視為軸對(duì)稱模型，利用ANSYS進(jìn)行溫度場(chǎng)及彈塑性分析，得知渦輪盤中心孔邊緣上一點(diǎn)應(yīng)力最大，將此點(diǎn)定為危險(xiǎn)點(diǎn)。渦輪盤所用材料為GH4133，最大工作轉(zhuǎn)速11 440 r/min。

圖1 渦輪盤外形和有限元模型

將計(jì)算過(guò)程中的渦輪盤前后側(cè)冷卻空氣溫度Tg2和Tg1、輪緣輪心溫度和Tmax、Tmin渦輪盤轉(zhuǎn)速ω和對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速均值時(shí)的輪緣均布載荷σw選為隨機(jī)變量，所選隨機(jī)變量均為正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。

表1 隨機(jī)變量分布表

用中心復(fù)合因子法得到13組樣本點(diǎn)，用這13組參數(shù)重新進(jìn)行有限元計(jì)算，分別擬合危險(xiǎn)點(diǎn)的最大應(yīng)力和應(yīng)變變程二次響應(yīng)面方程，即式(10)和式(11)。

3 渦輪盤壽命分布及可靠度計(jì)算

對(duì)應(yīng)力壽命模型，由Monte-Carlo法對(duì)6個(gè)隨機(jī)變量抽樣1萬(wàn)次，并代入模型計(jì)算得到了置信度為0.5和0.95下渦輪盤的疲勞壽命的分布（如圖2所示）。可以看出，疲勞壽命并不服從正態(tài)分布，而是明顯呈偏態(tài)分布。

圖2 置信度為0.5（左）和0.95（右）渦輪盤疲勞壽命分布

對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度模型，由Monte-Carlo法對(duì)6個(gè)隨機(jī)變量抽樣1萬(wàn)次，并代入模型計(jì)算得到的可靠度隨循環(huán)數(shù)變化的結(jié)果如圖3所示，高置信度下的可靠度曲線，在低置信度下曲線的左側(cè)，且在循環(huán)數(shù)為2 000至6 000段內(nèi)，可靠度相差較大，最大處相差近50%。

圖3 置信度為0.5和0.95的渦輪盤可靠度

對(duì)應(yīng)變壽命模型，經(jīng)過(guò)抽樣計(jì)算得到的置信度為0.5和0.95下的疲勞壽命的分布如圖4所示，疲勞壽命同樣不服從正態(tài)分布，而是呈明顯的偏態(tài)分布。

對(duì)應(yīng)變強(qiáng)度模型，經(jīng)過(guò)抽樣計(jì)算得到的可靠度隨循環(huán)數(shù)變化的結(jié)果如圖5所示，兩種置信度下可靠度曲線的位置與變化趨勢(shì)，均與應(yīng)力強(qiáng)度模型相同；不同的是，應(yīng)變強(qiáng)度模型在整個(gè)壽命區(qū)間上兩種置信度下，可靠度相差并不大，最大處僅為16.9%。這說(shuō)明，與應(yīng)力強(qiáng)度模型相比，應(yīng)變強(qiáng)度模型對(duì)置信度不敏感。

將置信度為0.5時(shí)，不同模型對(duì)應(yīng)不同可靠度水平的輪盤概率壽命列表比較，如表2所示。

表2 置信度為0.5時(shí)根據(jù)4種模型得到的渦輪盤壽命

可以看出，對(duì)應(yīng)力壽命模型和應(yīng)變壽命模型，可靠度為0.0013時(shí)，相對(duì)誤差為38.3%；可靠度為0.5時(shí)，相對(duì)誤差為29.4%；可靠度為0.9987時(shí)，相對(duì)誤差37.9%。對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度模型和應(yīng)變強(qiáng)度模型，可靠度為0.0013時(shí)，相對(duì)誤差4.7%；可靠度為0.5時(shí)，相對(duì)誤差為29.0%；可靠度為0.9987時(shí)，相對(duì)誤差為35.4%。

可以看出，與兩種壽命模型不同，低可靠度時(shí)，兩種強(qiáng)度模型得到的渦輪盤壽命相差不大，而隨著可靠度的提高，兩種強(qiáng)度模型得到的渦輪盤壽命之差逐漸增大。總體上無(wú)論是兩種壽命模型還是兩種強(qiáng)度模型，都呈現(xiàn)出低可靠度時(shí)，基于應(yīng)力模型的渦輪盤壽命較安全；而高可靠度時(shí)，基于應(yīng)變模型的渦輪盤壽命較安全。同樣的，無(wú)論是基于應(yīng)力的模型，還是基于應(yīng)變的模型，也都呈現(xiàn)出低可靠度時(shí)，根據(jù)壽命模型得到的的渦輪盤壽命較安全；而高可靠度時(shí)，根據(jù)強(qiáng)度模型得到的渦輪盤壽命較安全。但是可靠度大于0.5時(shí)，同樣基于應(yīng)力或基于應(yīng)變的壽命模型和強(qiáng)度模型得到的渦輪盤壽命，均相差不超過(guò)5%，這說(shuō)明，預(yù)估中高可靠度的渦輪盤壽命時(shí)，采用壽命模型或強(qiáng)度模型，得到的是相似的結(jié)果。

圖6 置信度為0.5和0.95應(yīng)力壽命與應(yīng)變壽命模型計(jì)算得到的渦輪盤可靠度

置信度分別為0.5和0.95時(shí)，使用應(yīng)力壽命與應(yīng)變壽命模型計(jì)算得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度隨循環(huán)數(shù)的變化如圖6所示。以應(yīng)變壽命模型的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，置信度為0.5和0.95時(shí)，兩種模型得到的可靠度差值如圖7所示。

圖7 置信度為0.5(左)和0.95(右)應(yīng)力壽命與應(yīng)變壽命模型計(jì)算得到的渦輪盤可靠度之差

圖8 置信度為0.5和0.95應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度模型計(jì)算得到的可靠度

置信度分別為0.5和0.95時(shí)，使用應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度模型計(jì)算得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度隨循環(huán)數(shù)的變化，如圖8所示。以應(yīng)變強(qiáng)度模型的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，置信度為0.5和0.95時(shí)，兩種模型得到的可靠度差值如圖9所示。

圖9 置信度為0.5(左)和0.95(右)應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度模型計(jì)算得到的可靠度之差

由圖6和圖7可以看出，置信度為0.5時(shí)，應(yīng)力壽命模型與應(yīng)變壽命模型得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度差別較大，尤其是在循環(huán)數(shù)2 000至5 000區(qū)間上，應(yīng)力壽命模型的可靠度，明顯高于應(yīng)變壽命模型的可靠度，且相差均超過(guò)0.1，最大絕對(duì)誤差為0.251 2，相對(duì)誤差為46.4%。置信度為0.95時(shí)，應(yīng)力壽命模型與應(yīng)變壽命模型得到的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度差別較小，在整個(gè)低循環(huán)區(qū)間上，絕對(duì)誤差均小于0.1，絕對(duì)誤差最大達(dá)到0.065 2，此時(shí)的相對(duì)誤差只有8.36%。考慮到P-S-N及P-ε-N曲線在低循環(huán)區(qū)間上的擬合誤差、渦輪盤危險(xiǎn)點(diǎn)處最大應(yīng)力和循環(huán)應(yīng)變幅的響應(yīng)面方程的擬合誤差及數(shù)值計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的計(jì)算誤差，高置信度時(shí)，計(jì)算結(jié)果的相似，可以說(shuō)明應(yīng)力壽命模型和應(yīng)變壽命模型均可用于計(jì)算渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠度。

圖8與圖6相似，而圖9與圖7相似，這也能說(shuō)明采用壽命模型和強(qiáng)度模型能得到相似的結(jié)果。而由圖8和圖9的可以看出，高置信度下應(yīng)力強(qiáng)度模型與應(yīng)變強(qiáng)度模型得到的可靠度，在整個(gè)低循環(huán)區(qū)間上仍然相差較小，考慮到基于應(yīng)變的渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠性分析不僅需要應(yīng)力分析、材料的P-ε-N曲線數(shù)據(jù)，還需要材料的循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線數(shù)據(jù)，相對(duì)來(lái)說(shuō)，基于應(yīng)力的分析方法成本較小，所以可以采用基于應(yīng)力的疲勞可靠性分析方法，來(lái)分析渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)比了基于應(yīng)力和基于應(yīng)變的疲勞可靠性分析方法在渦輪盤低循環(huán)疲勞分析中的應(yīng)用。基于應(yīng)力的分析方法，在高置信度下，和基于應(yīng)變的分析方法具有相近的計(jì)算結(jié)果。基于應(yīng)力的疲勞可靠性分析模型簡(jiǎn)單，理論成熟，避開了復(fù)雜的循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變分析，為渦輪盤低循環(huán)疲勞壽命預(yù)測(cè)與可靠性分析提供了另一種思路。

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[2]高 陽(yáng).航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤低循環(huán)疲勞可靠性分析[D].北京：北京航空航天大學(xué)，2009.

[3]高鎮(zhèn)同，熊俊江.疲勞可靠性[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2000.

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