二階非自治Ham ilton系統的偶同宿軌道*

肖 莉

(中南大學數學與計算技術學院,湖南 長沙 410083)

二階非自治Ham ilton系統的偶同宿軌道*

肖 莉?

(中南大學數學與計算技術學院,湖南 長沙 410083)

針對非自治Hamilton系統同宿軌道的存在性問題,以一類具有對稱位勢的二階非自治Hamilton系統為例,在位勢函數具有新的超二次條件下,利用變分學中的山路引理證明其至少存在一偶同宿軌道.

軌道;系統;Hamilton;超二次位勢

隨著信息技術的發展以及數字計算機的廣泛應用,出現了很多以Ham ilton系統為支撐的數學模型,該系統廣泛存在于數理科學、生命科學以及社會科學的各個領域中,特別是天體力學、等離子物理、航天科學以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系統(或它的擾動系統)同宿軌道存在性的形式而出現,而且一切守恒的真實物理過程都可以表示為Ham ilton體系,無論這些過程是經典的,量子的還是相對論的,無論其自由度是有限的還是無限的,總能表現為適當的Hamilton形式.考慮二階非自治Hamilton系統.

研究式(1)的同宿解的存在性.本文的結果推廣和改進了文獻[2]和文獻[3]中相關的結果.

本文的思想來自于文獻[2-8],利用山路引理證明了式(1)的同宿解可作為一零邊值問題解序列的極限,下面是本文的主要結果:

定理1 假定L和W滿足

則問題(1)至少存在一偶同宿軌道.

1 同宿軌道的存在性

因而,存在eT∈ XTBρ滿足φ(eT)＜-0.由山路引理,cT=infφ∈ΓTmaxθ∈[0,1]φ(φ(θ))＞0 是 φ的臨界點,其中:

ΓT={φ(θ)∶[0,1] →XT|φ(0)=0,φ(1)=eT}.記相應的臨界點uT=uT(t),且為式(6)非平凡偶函數解.顯然,若T1＞T≥T0,則0＜cT1≤cT≤cT0.

余下來的證明同文獻[3],在此略去.

2 結 論

利用山路引理研究了一類具有對稱位勢的二階非自治Hamilton系統的偶同宿軌道的存在性.文獻中已有的二階非自治Hamilton系統同宿軌道的存在性是在位勢函數具有一般的超二次條件下獲得,而在這篇文章中,是在位勢函數具有新的超二次條件下,證明了其至少存在一偶同宿軌道.

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Existence of Even Homoclinic Orbits for Second-order Nonautonomous Hamiltonian Systems

XIAO Li?

(Schoolof Mathematical Sciences and Computing Technology,Central South Univ,Changsha,Hunan 410083,China)

Someexistence theorems foreven homoclinic orbitshavebeen obtained for a classof second-order nonautonomous Hamiltonian systems with symmetric potentials under a classof new superquadratic conditions by using the Mountain pass lemma.

orbits;systems;Hamiltonian;superquadratic conditions

O175.8

A

1674-2974(2010)12-0087-03 *

2010-05-18

國家自然科學基金資助項目(10771215);湖南省社科基金資助項目(09YBA161)

肖 莉(1973-),女,湖南衡南人,中南大學講師,博士研究生

?通訊聯系人,E-mail:xiaolimaths@sina.com