自混合干涉信號的可變步長LMS濾波處理

王德鋒，葉會英

（鄭州大學 信 息工程學院， 河南 鄭 州 4 50052）

由于激光干涉信號的結構簡單、易準直等特點，使得光干涉廣泛應用于激光器自身參數和各種高精度的測量。在干涉系統中，外部環境的干擾會影響信號，從而導致采集到的實驗數據伴隨著大量的干擾和噪聲。為提高測量的精度，需對原始數據進行有效的處理，減少各種噪聲，提取出有用的干涉信號。結合光反饋信號的特點，在最小均方誤差（LMS）算法[1]的基礎上，本文提出一種可變步長的LMS算法，該算法實際是在收斂的過程中動態地改變步長。

1 自混合干涉系統的構成及理論模型

光反饋自混合干涉（OFSMI）系統由半導體激光器、透鏡和外部反射物體3部分組成，理論模型采用如圖1所示的三鏡腔F-P等效模型。

圖1 OFSMI系統的三鏡腔F-P等效模型

圖1中，LD為半導體激光器；L1和L2分別是激光管內腔和外腔長度；P1為激光器前端面；P2為激光器后端面；P3為外部運動物體；PD為封裝在激光器內部的光探測器。LD前表面P1輻射光經自聚焦透鏡P2照射在被測物體P3上，被散射（或反射）后，一部分光又經原路返回激光器諧振腔，同諧振腔內的原始光相干涉形成新的激光振蕩，新的激光波長及功率依賴于反饋光的相位及強度。當被測物體P3沿光軸震動時，輸出光功率也隨著震動發生變化，由PD監測激光器輸出光功率。檢測到的自混合干涉信號不僅攜載外部物體特性與運動規律等信息，而且攜載激光器自身參數的信息。

光反饋自混合干涉系統的數學模型[2-3]表述為：

式（1）為激光自混合干涉系統的相位方程。式中，φF（τ）為光反饋存在時外腔的光相位且φF（τ）=ωFτ，φ0（τ）為無光反饋時外腔的光相位且φ0（τ）=ω0τ，其中，ω0和ωF分別為半導體激光器無和有反饋時的角頻率[4]；τ=2L/c，其中，L為外腔的長度，c表示真空中的光速；α為線寬展寬因數；C為反饋水平因子。式（2）表述干涉函數G（φF（τ））和含光反饋時外腔相位φF（τ）之間的關系。式（3）是激光自混合干涉系統的功率方程，P（φF（τ））和P0為有外腔和無外腔激光的輻射功率，可看到有外腔激光的輻射能偏離P0為mG（φF（τ）），其中，m為調制系數（典型值為10-3），干涉函數G（φF（τ））表示外腔光相位對輻射功率的影響程度。

2 可變步長的LMS算法原理

自適應濾波因其具有很強的自學習、跟蹤能力和算法的簡單易實現性，廣泛應用于信號去噪領域。當輸入過程的統計特性未知時，或輸入過程的統計特性變化時，只適應濾波器能夠調整自己的參數，以滿足某種最佳準則的要求，根據不同的準則，產生許多自適應算法。目前廣泛使用的最小均方（Least Mean Square，LMS）算法，是一種用瞬時值估計梯度矢量的方法，該算法的主要特征是低計算量、在平穩環境的收斂性、均值無偏收斂到維納解等。其原理圖[5]如圖2所示。

圖2 可變步長LMS濾波的原理圖

圖2中，u（n）是n時刻輸入信號，d（n）是期望信號，e（n）是誤差，y（n）是濾波器的輸出。當u（n）發生變化時，濾波器能夠利用變化的誤差信號e（n）來調節濾波器自身的參數，從而調節輸出?？勺儾介L的LMS迭代公式為：

μ（n）[6]是LMS的可變步長，它和誤差函數建立起一種非線性的關系，使得步長只與輸入的有用目標信號相關，與噪聲信號無關，從而降低了算法對噪聲的敏感性，并且提高了收斂速度。其中α是控制函數形狀的常數；β是控制函數取值范圍的常數。

3 可變步長LMS算法的計算機仿真分析

由式（1）～式（3）和式（8）可得到仿真信號。令A=4×105，A0=50，f=195，fs=200 MHz（采樣頻率），SNR=19 dB（信號與噪聲的比）。參數取值為α=2，C=3得到在適度光反饋機制下經LMS濾波后的的干涉信號波形。該算法的流程如圖3所示。

由干涉信號式（1）～式（3）的模型可知，通過改變外腔長度L，得到強度函數P隨時間變化的信號P（t），這里采用在外腔加正弦波動信號，獲得相應的光反饋自混合干涉信號。假定外部物體做簡諧運動，其運動規律為：

式中，L0為激光輻射面和外反射體間的初始距離，f為振動頻率，t為時間變量，λ0為無光反饋時激光的中心波長。

則不帶光反饋時外部光相位為：

圖3 自混合干涉信號可變步長的LMS濾波流程

圖4為上述方法經計算機仿真后的歸一化效果圖。圖4中，n為采樣點數；G（n）為仿真的干涉信號；GG（n）為加噪聲后的干涉信號；out（n）為濾波后的輸出信號；e（n）為誤差；恢復后信號的均方誤差δ=0.004 5，該方法算法簡單、運算速度快、有效地濾除信號中的噪聲，更適合于在實際測量中應用。

圖4適度光反饋（α=2，C=3）

4 結束語

在分析針對自混合干涉信號中噪聲和干擾特點的基礎上，提出了一種可變步長的LMS自適應算法。將可變步長的LMS算法應用到光干涉的測量之中，從理論上對其分析，并且進行大量計算機仿真，結果表明這種可變步長的算法能夠較好地消除干涉信號中的噪聲干擾。

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