整值多項式的若干問題研究及其應用

王鷺萍

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整值多項式的若干問題研究及其應用

王鷺萍

(福建體育職業技術學院，福建 福州 350003)

探討整值多項式及其恒因子，并給出費馬小定理的一種證明方法．

整值多項式；費馬小定理；恒因子

1 引言與預備知識

費馬小定理是數論、近世代數等學科的奠基性定理之一．在文[6]中，王志蘭給出了費馬小定理的五種證明方法，文[7]給出了該定理的幾何意義，文[8]討論了函數周期點數的計算，并得出了費馬-歐拉定理．就費馬小定理的提出至今，引起了諸多數學工作者的關注，并致力于對該定理的證明．為此，本文通過對整值多項式的研究，給出其新的證明．

在文[1]中，P．Cahen和J．Chaber就Noetherian定義域的Elasticity作了探究，證明了整值多項式環的Elasticity是無限的．V．Laohakosol將整值多項式的研究推廣至Galois域．文[3]、[4]、[6]就整值多項式得性質及其判定條件做了若干研究．

受文章[1]-[6]的啟發，本文主要研究整值多項式的若干性質，首先給出了費馬小定理的一種新證明．進一步地，就多項式的恒因子進行考察，給出了恒因子的兩種等價定義，最后舉例說明恒因子的尋求方法．

為了討論方便起見，我們先給出整值多項式的一條等價定義．

2 費馬小定理的新證明與恒因子

費馬小定理給出的是任意整數的素數方冪與該整數的同余關系．試問：能否運用整值多項式，給出費馬小定理的一種新的證明方法？

下面，我們給出費馬小定理的新證明．

解決了費馬小定理的證明后，我們再來思考這樣的一個問題．

3 整值多項式的幾點應用

根據前一節討論的結果，我們舉例說明如何尋求整值多項式的恒因子及最大恒因子．

綜述：本文主要介紹整值多項式，對整值多項式的等價定義，描述及表示進行探究．并應用整值多項式給出了費馬小定理的一種證明方法．對整值多項式的恒因子的探究給出了恒因子的兩種等價定義，并舉例說明如何尋找恒因子．文章中在尋找恒因子的探究中，計算量比較大，特別是第二種方法．所以希望可以尋求更簡單的求法．有興趣的讀者可以做進一步的探索．

[1] Paul-Jean Cahen,Jean-Luc Chabert．Elasticity for integral-valued polynomials[J]．J．Pure Appl．Algebra，1995，103(3)：303－311.

[2] V．Laohakosol．[J]．ACTA ARITHMETICA，1998，LXXXVII．(1)：13－26.

[3] 楊繼明．關于整值多項式的若干特征及其判別法[J]．玉溪師范學院學報，1986(3)：97－101.

[4] 李瑞林．整值多項式判定定理及其應用[J]．數學教學,1983(01)：31－32.

[5] 陳永林．整值多項式的判定定理[J]．中學數學教 學,1982(02)：13－15.

[6] 王志蘭．費馬小定理的幾種證法及應用[J]．廊坊師范學院學報(自然科學版),2009，9(6)：11－13.

[7] 吳延東．費馬小定理的幾何意義[J]．淮陰工學院學報，2007，16(3)：1－2.

[8] 史天勤,楊麗賢．周期點計數及費馬小定理的推廣[J]．吉林工業大學學報，1996,26(2)：74－76.

Some Researches of the Integral Valued Polynomial and Its Applications

WANG Lu-ping

(Fujian sports vocational education and technical college，Fujian Fuzhou，350003，China)

This paper investigates the integral valued polynomial and its identity factors, also gives a new proof for Fermat's little theorem．

Integral valued polynomial; Fermat's little theorem; identity factor

2010－09－24

王鷺萍（1963－），女，河北武安人，高級講師，學士。研究方向：基礎數學。

O15

A

1673-1417（2010）04-0072-04