有限元靜力分析基本原理

郭素娟， 吳 鳴， 李江濤

1 鄭州大學綜合設計研究院（450002） 2 核工業第五研究設計院（450052）

0 引言

有限單元法（也稱為有限元法）是在當今工程分析中獲得最廣泛應用的數值計算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技術界的高度重視。伴隨著計算機科學和技術的快速發展，現已成為計算機輔助設計（CAD）和計算機輔助制造（CAM）的重要組成部分。

1 有限單元法基本原理

1.1 要點

有限元法的理論是建立在加權余量法和變分原理的基礎上的,用有限元法來分析工程或物理問題的要點可歸納如下:

1）將一個表示結構或連續的求解域離散為若干個子域（單元），并通過它們邊界上的結點相互聯結成為組合體。

2）用每個單元內所假設的近似函數來分片地表示權求解域內待求的未知場變量,而每個單元內的近似函數由未知場函數在單元各結點上的數值和與其對應的插值函數來表達（此表達式通常表示為矩陣形式）。由于相鄰單元結點的場函數數值相同，可作為數值求解的基本未知量。因而，求解原來待求場函數的無窮多自由度問題轉換成為求解場函數結點值的有限自由度問題。

1.2 一般格式

將二維或三維連續體離散為有限個單元的集合體時，通常要求單元具有簡單而規則的幾何形狀以便計算。常用的二維單元有三角形或矩形，常用的三維單元有四面體、五面體或平行六面體。同樣形狀的單元還可有不同的單元的結點數，因此單元的種類繁多。如何選擇合適的單元進行計算，涉及導求解問題的類型、對計算精度的要求等方面的因素。

1）位移模式的選擇

單元中的位移模式一般采用廣義坐標為待定參數的有限元多項式作為近似函數，其選取原則可考慮以下幾點:

①廣義坐標是由結點場變量確定的,它的個數應與結點自由度數相等。如3結點三角形單元有6個結點自由度（結點位移），廣義坐標個數應取6個，因此兩個方向的位移和各取三項多項式；對于4結點的矩形單元，廣義坐標數為8，位移函數可取四項多項式作為近似函數。

②選取多項式時，常數項和坐標的一次項必須完備。位移模式中的常數項和一次項反映了單元剛體位移和常應變的特性。當劃分的單元數趨向于無窮大時，單元縮小趨于一點，此時單元應變趨于常應變。

③多項式的選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。一般來說，對于單元每邊有2個端結點的應保證一次完全多項式,每邊有3個結點的應取二次完全多項式。若由于項數限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應具有坐標的對稱性；并且，一個坐標方向的次數不應超過完全多項式的次數，以保證相鄰單元交界面（線）上位移的協調性。

2）位移插值函數的建立

在選定廣義坐標有限元的位移模式以后，重要的步驟就是建立單元位移場的插值函數表達式。現給出廣義坐標有限元的一般步驟和表達式如下:

①以廣義坐標為待定參數，給出單元內位移u，則:

u=Φβ

其中，Φ為位移模式，表示位移作為坐標的函數中所包含的項數。

②用單元結點ae～位移表示廣義坐標β，慣用的單元結點位移排列是:

ae=[u1v1u2v2…]T

為便于求解廣義坐標β，可采用另一種表示方法，如

ae=[u1u2…v1v2]T

將單元結點坐標代入u=Φβ，得到

③將單元結點位移表示單元位移函數u，得到單元插值函數矩陣N。

u=ΦA-1ae～=～Nae～

將結點位移ae～改為一般排列順序ae，則有

u=Nae

④以單元結點位移ae表示單元應變，并得到應變矩陣B，則:

ε=Lu=Bae

1.3 有限元分析的執行步驟

1）對結構進行離散

按問題的幾何特點和精度要求等因素劃分單元并形成網格，即將原來的連續體離散為在結點處相互聯結的有限單元組合體。

2）形成單元剛度矩陣和等效結點荷載列陣

單元剛度矩陣的一般表達式為:

其中，B為應變矩陣，D為材料彈性矩陣，為單元體積。

考慮到單元存在初應力和初應變,單元等效結點荷載列陣的一般表達式為:

3）集成結構的剛度矩陣和等效結點荷載列陣

其中，PF為直接作用于結點的集中力。

4）引入幾何邊界條件

通常幾何邊界條件（變分問題中為強制邊界條件）的形式是在若干結點上給定場函數的值，即:

5）求解有限元方程，得到結點位移a

ε=Lu=Bae

6）計算單元應變和應力

ε=Bae

σ=D(ε-ε0)+σ0=DBae-Dε0+σ0

（7）進行必要的后處理。

2 結論

1）用有限元進行分析，可以很精確地得到各個截面的內力和變形,為設計提供參考，這是傳統方法不容易做到的。

2）對于更復雜的結構，傳統方法需要做大量的簡化，造成很大的近似，而有限元能輕松應付，得出比較符合實際的結論。

[1]王勖成.有限單元法[M].北京:清華大學出版社,2003

[2]曾攀編著.有限元分析及應用[M].北京:清華大學出版社,2004