分數階Fourier域非均勻采樣Chirp信號的頻譜研究

（海軍航空工程學院 電子信息工程系，山東 煙臺 264001）

0 引言

目前數字信號處理理論大多建立在均勻、理想采樣信號模型的基礎之上，而實際中得到的數字信號一般是非均勻、非理想的采樣信號。隨著高速采樣技術的發展，對非均勻采樣信號的研究成為信號處理領域的一個重要的研究內容。非均勻采樣是相對于均勻采樣的一種采樣方法[1]。現實中，由于受到采樣設備和被采樣信號的限制，均勻采樣是相對的，而非均勻采樣是絕對的。針對工程實踐中經常遇到的Chirp信號，文獻[2-4]利用周期性非均勻采樣方法給出了非均勻采樣 Chirp信號在分數階Fourier變換下的頻譜表達式，分析了其在分數階域的頻譜的特點。本文提出了一種自適應非均勻采樣方法，利用此法得到了這類非均勻采樣信號在分數階域的頻譜表達式，進一步得到了非均勻采樣Chirp信號在分數階Fourier變換下的頻譜表達式，研究了非均勻采樣Chirp信號在分數階的頻譜的特點。

1 自適應非均勻采樣信號的分數階Fourier變換

1.1 分數階Fourier變換

近年來，一種新的時頻分析工具—分數階Fourier變換[5]，受到了信號處理界越來越多的關注。它作為Fourier變換的一種廣義形式，可以理解為信號的坐標軸在時頻平面上繞原點作逆時針旋轉。如果把信號的Fourier變換看成其由時間軸逆時針旋轉π/2后到頻率軸上的表示，則分數階Fourier變換可以看成將信號由時域逆時針旋轉一定的角度到分數階域上的表示。

信號 x (t)的角度為α的分數階Fourier變換定義為：

式中：α表示的是角度為α的連續分數階Fourier變換，變換核為：

有關分數階Fourier變換的詳細介紹，可以參考文獻[6-7]。

1.2 自適應非均勻采樣信號模型

設模擬信號 x (t)的分數階Fourier變換Xα(u)是分數階域中的帶限信號[3]，即

式中：α?是信號 x (t) 在分數階域的帶寬。

自適應非均勻采樣流程如圖1所示。首先，設定一個采樣頻率；然后，用此采樣頻率對信號進行采樣。由于信號是時變的，因此在采樣過程中必須判斷設定的采樣頻率是否滿足采樣定理[8]的要求。

圖1 自適應非均勻采樣流程圖

非均勻采樣信號模型如圖2所示。前n+ 1個采樣點的間隔相等，后m個采樣點的間隔也相等，即前n+ 1個點和后m個點是均勻采樣點，但采樣間隔不同，第n個點是分界點。采樣頻率 f1=1/T1，且使采樣頻率 f2=1/T2，同樣使即滿足采樣定理的要求。

圖2 非均勻采樣信號模型

由以上可知，這些非均勻采樣序列的采樣時刻可以表示為

此非均勻采樣序列可寫為s={s0,s1}的形式，其中：

將序列1s 右移n+1個位置，得到

式中：z?1表示的是單位延遲算子。

因此，原始的非均勻采樣序列可以表示為：

1.3 非均勻采樣序列的分數階Fourier變換

由均勻采樣信號的采樣定理可以得到[2]：

由分數階Fourier變換的性質可以得到：

最終可得

當 T1=T2時，

即為均勻采樣信號的數字譜表達式。

即變為Fourier 域中的均勻采樣頻譜表示。該式與文獻[9]所得結果一致。

2 非均勻采樣Chirp信號的分數階頻譜分析

在工程處理和應用中經常會遇到Chirp信號，如在雷達和聲納的回波信號中。處理Chirp信號的方法很多，其中分數階Fourier變換是比較理想的方法。

Chirp信號的模型可以表示為：

當 cotα + m0=0時，其分數階Fourier變換可以表示為：

將式(12)代入式(11)即可得到非均勻采樣Chirp信號的分數階數字頻譜：

3 仿真

仿真時選擇x (t)=ej(3t2+2t)作為初始信號，信號的觀測時間為[0.01 s,4.98 s]。首先，用采樣頻率f1=25 Hz 對信號進行均勻采樣，采樣時間為[0.01 s,3 s]，采樣點數為75個；再用采樣頻率 f2=50 Hz 對信號進行采樣，采樣時間為[3 s,4.98 s]，采樣點數為100個。對非均勻采樣Chirp信號進行分數階Fourier變換后如圖3所示（圖3中 p=2α / π，以下同）。該變換所用時間為38.92 s。若對該信號進行均勻采樣，設定信號的觀測時間仍為[0.01 s,4.98 s]，采樣頻率 f=100 Hz，采樣點數為498個，其分數階Fourier變換如圖4所示，所用時間為100.33 s。從采樣點數和所用時間可以看出，本文所提出的非均勻采樣方法和均勻采樣方法相比，既減少了存儲空間，又滿足了實時性要求。而且，對比圖3和圖4可以明顯看到，圖3中信號的幅度低于圖4中信號的幅度，這是由于信號的分數階Fourier變換具有能量聚集性，如果信號采樣點數少，那么經過分數階Fourier變換后，信號在分數階域的幅度必然低。

圖3 非均勻采樣信號的分數階Fourier變換

圖4 均勻采樣信號的分數階Fourier變換

4 結束語

本文提出了一種自適應非均勻采樣方法，并利用分數階Fourier變換對這類非均勻采樣信號在分數階域的頻譜進行了研究，得到了這類非均勻采樣信號在分數階域的數字譜表達式，進一步得到了非均勻采樣Chirp信號的分數階頻譜表達式。最后，仿真結果對結論進行了驗證。本文所提出的非均勻采樣方法，與均勻采樣方法相比，盡管信號在分數階域的幅度有所降低，但是該方法既節省了存儲空間，又滿足了實時性要求，利于工程上的實現。

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[3]RAN T,BING-ZHAO L,et al.Spectral analysis and reconstruction for periodic nonuniformly sampled signals in fractional fourier domain[J].IEEE Trans Signal Processing,2007,55(7):3541-3547.

[4]李炳照,陶然,王越.分數階Fourier 域上非均勻采樣信號的頻譜重構研究[J].電子學報,2008,36(6):1202-1205.

[5]OZAKTAS,H M KUTAY M A,ZALEVSKY Z.The fractional Fourier transform with applications in optics and signal processing[M].New York:John Wiley &Sons,2000:1-50.

[6]陶然,齊林,王越.分數階Fourier變換的原理與應用[M].北京:清華大學出版社,2004:1-20.

[7]TAO R,DENG B,WANG Y.Research process of the fractional Fourier transform in signal processing[J].Sci China Ser F-Inf Sci,2006,49(1):1-25.

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[9]張衛強,陶然.分數階傅里葉變換域上帶通信號的采樣定理[J].電子學報,2005,33(7):1196-1199.