離散系統有限時域H∞濾波器設計

（海軍航空工程學院系統科學與數學研究所，山東 煙臺 264001）

0 引言

濾波是一種對信號的處理技術，它是指對所接收到的受到干擾因素影響的信號進行處理，得到相關信號的估計值。濾波問題出現在大量的工程問題中，具有重要的研究價值。傳統的Kalman 濾波器利用狀態估計的方法，使估計的均方誤差最小，Kalman 濾波器被成功應用到控制與信號處理的各個領域。但Kalman 濾波方法要求所研究的動力系統是適定的而且外部噪聲須是具有靜態特性的白噪聲。然而在實際應用中，這些條件并不能經常滿足，應用標準的Kalman 濾波器算法不能得到令人滿意的結果。為了拓廣濾波技術的應用范圍，1989年，A.Elsaye 引入H∞濾波概念[1]。H∞濾波就是設計一個濾波器使得從干擾輸入到估計誤差輸出的H∞范數最小。H∞濾波的主要優點在于無須假設干擾信號的統計特性，這樣更符合實際的應用。H∞濾波的這一優點使得它在雷達設計、故障檢測、信號處理等領域得到了廣泛的應用[2-4]。

無窮時域的H∞濾波問題一直備受關注并取得了一系列重要結果[5-7]。近年來，有限時域的H∞濾波問題也受到越來越多的學者的關注，由于很多控制任務都是在指定的有限時間內完成的，所以研究有限時域的H∞濾波問題不僅具有理論意義而且更具有實際意義。文獻[8]研究了連續和離散線性系統的有限時域H∞濾波問題，借助于伴隨系統，將H∞濾波器的求解問題轉化成對一個Riccati 微分（差分）方程的求解。文獻[9]用類似的方法研究了時變離散隨機系統的有限時域H∞濾波問題，并運用得到的結果解決了相應的輸出反饋控制問題。文獻[8-9]都通過求解Riccati 方程的方法來得到相應的H∞濾波器，Riccati 方程方法具有參數不易調整，求解困難等缺點。

本文研究一類離散系統的有限時域H∞濾波器的設計問題。提出了有限時域H∞濾波器存在的充分條件，同時利用線性矩陣不等式（LMI）給出了濾波器設計的一個構造性方法。該法可通過Matlab工具箱實現，易于求解操作。數值仿真實例表明，由這一方法設計的H∞濾波器具有良好性能。

本文使用符號說明：

1 問題描述和準備

考慮如下的離散系統：

式中：xk∈Rn是系統的狀態變量；yk∈Rm是測量輸出；wk∈ ?2([0,N?1];Rp)是能量有限的噪聲信號（包括過程和測量噪聲）；zk∈Rr是待估計的信號；A、B、C、D為具有相應維數的已知矩陣。

濾波的目的就是根據系統輸出 yk找出狀態向量的組合 zk=Lkxk的一個估計zk，使得估計誤差的信號能量與干擾能量的比小于預先指定的數γ 。在有限時間下，意味對于任何 wk∈ ?2([ 0, N?1]; Rp)，設計濾波器

滿足

式中：Af、Bf、Cf、Df是H∞濾波器(2)的待求系數矩陣。

由系統(1)、(2)可得增廣系統方程為

相應地，式(3)轉化為

本文的目的是對離散系統(1)研究滿足性能指標(5)的H∞濾波器的設計方法，給出了濾波器存在的充分條件，同時利用LMI方法給出了濾波器(2)的構造性的設計方法。

為了得到本文的主要結論，先給出一個重要引理，借助這個引理，可以推導出本文的主要結論。

引理1[10]給定適當維數的矩陣X、Y 和任意常數α＞0，其中X可逆，那么

2 主要結論

定理1考慮系統(4)。對于給定的常數γ ＞ 0，對所有的wk∈ ?2([0,N?1];Rp)，式(5)所定義的性能指標J＜0成立的充分條件是存在對稱正定矩陣Q 滿足

證明：定義李雅普諾夫函數并作差分將代入 Jk中，得

也就是

整理得到

令

則式(7)經過化簡整理可以得到

再令

則

將上式從k=0到 k=N? 1求和，可得

又由于

則

由式(6)，P (Q)＜0，可得到J＜0。即，若存在對稱正定矩陣Q 滿足式(6)，則性能指標J＜0 成立。證畢。

要通過式(6)求解濾波器是很困難的事情。為了克服這一困難，我們提出下面的定理2。定理2 借助于線性矩陣不等式給出了一個與定理1 等價的濾波器存在的充分條件，同時給出了濾波器的設計方法。

定理2考慮系統(1)。對于給定的常數γ ＞0，如果存在對稱正定陣?、Y 和矩陣E、F、G、H 使得線性矩陣不等式(10)和線性矩陣不等式(11)成立，則H∞濾波器(2)存在。

式中：

進一步，若?、Y、E、F、G、H是矩陣不等式(10)和(11)的可行解，則通過矩陣 I ???1Y的奇異值分解可以得到滿秩矩陣W、V，并可利用下式求得H∞濾波器(2)的系數矩陣：

證明：由定理 1可知，如果對所有的存在對稱正定陣Q 滿足式(6)，則性能指標J＜0 成立。

記

則式(6)變形為

式中：Θ=γ2I ? TTPT ＞0，

即

式中：Θ=γ2I ? TTPT ＞0。

進一步，利用引理1，可以將式(13)化簡為

利用矩陣Schur 補性質，式(14)成立當且僅當

即

令 Q=R?1，則上式變為

考慮到矩陣不等式(17)是矩陣變量R、Af、Bf、Cf、Df的一個非線性矩陣不等式，要直接從該矩陣不等式中求出可行的矩陣變量R、Af、Bf、Cf、Df是非常困難的。

在這種情況下，采用變量替換的方法，設法將矩陣不等式(17)轉化成一個線性矩陣不等式，從而可以應用LMI 工具箱中的求解線性矩陣不等式的有效方法來設計H∞濾波器。

對矩陣R 和逆矩陣 R?1進行以下分塊

式中：X ∈ Rn×n、Y ∈Rn×n是對稱正定矩陣。

從等式RR?1=I可得也就是VWT=I ?XY，VTY + UWT=0，據此，進一步可得

通過計算可以驗證 R＞0等價于

式中：

再次用 diag{X?1,I,I,X?1,I,I}左乘和右乘式(19)，則可得矩陣不等式

式中：

H=?Df，則矩陣不等式(20)變為

式中：

同時式(18)變為Y ? Δ ＞0。

進一步，若Δ、Y、E、F、G、H是矩陣不等式(10)、(11)的可行解，則通過矩陣 I ?Δ?1Y的奇異值分解可以得到滿秩矩陣W、V，進而可以利用下式給出H∞濾波器(2)的系數矩陣：

證畢。

3 仿真實例

考慮如下的離散系統

取γ=1，N=100。

利用Matlab 中的LMI 工具箱，求得H∞濾波器的系數矩陣如下

圖1 待估計信號 z (k)和估計信號的曲線

在圖1中，實線表示待估計信號 z (k)曲線，虛線表示估計信號曲線。通過仿真例子結合得到的仿真圖形，我們可以看出本文提出的H∞濾波器的設計方法不僅滿足性能指標，而且結果有效，說明該濾波器性能良好。

4 結語

本文針對受到外部干擾的離散系統，研究了有限時域H∞濾波問題。提出了有限時域H∞濾波器存在的充分條件，并且借助線性矩陣不等式，給出了H∞濾波器的設計方法。避免了用Riccati 方程求解濾波器參數時的困難。最后通過仿真實例說明了本文方法的有效性和可行性。

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