三個著名無理數的有理表達式

廖紅菊

（恩施職業技術學院，湖北 恩施 445000）

三個著名無理數的有理表達式

廖紅菊

（恩施職業技術學院，湖北 恩施 445000）

π、е、φ是數學上三個著名的無理數，在初等數學看來，無理數與有理數是不相容的。但用高等數學的極限、級數思想方法，π，е，φ三個無理數卻能用有理數表達，這說明二者既對立又統一。

無理數；有理數；表達式

初等數學實數的分類中，有{有理數}∪{無理數}＝{實數}，而{有理數}∩{無理數}＝Ф，所以有理數與無理數既對立又統一。有理數可表成（p，q為互質的整數，0除外）的形式；無理數是無限不循環的小數，它不能表成（p，q為互質的整數）的形式，即在初等數學中，無理數與有理數不能互相表示，二者也是不相容的。但在高等數學中，用極限、級數的思想方法，無理數與有理數卻能相互表示。本文主要介紹三個著名無理數π，е，φ的有理表達式。

1 圓周率π

π是一個非常重要的數，它是指平面上圓周長與直徑的比值。1600年，英國威廉·奧托蘭特首先使用π表示圓周率；公元前200年間，古希臘數學家阿基米德首先用圓外切與內接多邊形的周長從大、小兩個方向上同時逐步逼近圓的周長，從理論上給出π值的求法；公元200年間，我國數學家劉徽用極限方法——割圓術，提供了求圓周率π的科學方法；萊布尼茨、歐拉等數學家也找到了求圓周率的其它方法。π架起了三角與代數的橋梁，在初等數學和高等數學中是出現頻率最多的無理數。

π是無理數，它不能表示成兩個整數之商，但它能用無窮個有理數既有規律又簡明地表達。

2 自然對數的底數е

無理數е也能用有理數有序而和諧地表達。

如在еx的麥克勞林級數：

3 黃金分割數φ

公元前500年，古希臘學者發現了“黃金”長方形，即長方形的寬和長之比φ＝0.618時，看起來令人賞心悅目，這個比叫黃金比（也稱黃金數）。

這神奇的黃金數，為什么能使數學家和藝術家都對它“情有獨鐘”呢？古希臘數學家、哲學家柏拉圖說：“美就是恰當。”德國數學家、哲學家笛卡爾說：“美是一種恰到好處的協調和適中。”

黃金數φ仍能僅用數“1”完整地表達。

有理數也能用無理數表達，如著名的裴波那契數列的每一項都是自然數，但其通項公式為：

有理數與無理數在高等數學的思想方法中達到了和諧統一，正如數學中的加與減、乘與除、指數與對數、微分與積分等運算一樣，是一分為二成對出現的，二者既對立又統一。

1 易南軒著.數學美拾趣［M］.北京：科學出版社，2004

2 李雍等著.數學和諧美［M］.大連：大連理工大學出版社，2009

3 劉玉鏈等著.數學分析講義［M］.北京：高等教育出版社，2008

Rational Expression of Three Famous Irrational Num ber

Liao Hongju

π, е, φ are three famous irrational numbers in mathematics. In elementary mathematics view, irrational and rational numbers are incompatible. However, π, е, φ can use rational expression to present the limit of advanced mathematics and Series thinking. It shows that they are both opposite and unified.

irrational number; rational number; expression

O156.1

A

1000－8136（2010）33－0127－02