相對拓撲中的分離性

曾曉旭

（汕頭大學數學系，廣東汕頭515063）

相對拓撲中的分離性

曾曉旭

（汕頭大學數學系，廣東汕頭515063）

根據X在Y上正則以及Y在X中局部緊的概念，分析了Y在X中超正則所要滿足的條件，探討了X在Y上正則與X在Y上正規的關系.

相對拓撲；X在Y上正則；X在Y上正規；Y在X中仿緊（1仿緊）；Y在X中緊（Lindelo¨f）

0 引言

相對拓撲的概念是Arhangel’skii[1]于1996年提出來的，之后國內外很多學者都對相對拓撲的性質加以更全面的刻畫，得到了很多有用的結果.汪賢華等人[2]對相對拓撲性質在完備映射下的像進行了分析.本文在前人研究的基礎上分析了超正則的充分條件，并且研究了相對正則與相對正規的聯系.

1 相關定義

設Y是X的子空間，在本文中n的取值范圍都是指自然數.下面的定義都來自參考文獻［1］.

定義1 稱Y在X中正則（超正則），如果對任意y∈Y和任意X中不包含y的閉集A，都存在X中不相交的開集U和V，使得y∈U且A∩Y?V（A?V）.

定義2 稱Y在X中強正則，如果對任意x∈X和任意X中不包含x的閉集A，都存在X中不相交的開集U和V，使得x∈U且A∩Y?V.

定義3 稱Y在X中局部緊，如果對任意y∈Y，存在X的一個緊子集C包含y在X中的一個鄰域U.

定義5 稱X在Y上正則，是指任意x∈X和任意一個收縮在Y上的閉集A，且x?A，都存在X中不相交的開集U和V將它們分開.

定義6 若X的任意一個開覆蓋α，都存在α的開加細β滿足β覆蓋Y（X），且β對Y中的點局部有限，則稱Y在X中仿緊（1仿緊）.

定義7 稱X在Y上正規，是指X的每一對不相交的收縮在Y上的閉集A，B，都存在X的不相交的開集U和V，使得A?U且B?V.

2 主要定理

定理1X是Hausdorff空間，Y在X中局部緊，則Y在X中超正則.

證明設y和A分別是Y中任意一點和X中任意一個閉集，且y?A，Y在X中局部緊，則存在X的一個緊子集C包含y在X中的一個鄰域U；X是Hausdorff空間，C是緊子集，則C是正則空間.U-A顯然是y的一個鄰域，于是存在y在C中的鄰域V，滿足?U-A（是V在C中的閉包），U-A是X的開集，則顯然V也是X的開集；X是Hausdorff空間，C是緊子集可知C是閉子集，故也是X中的閉子集.這樣就存在X中的開集V包含y且∩A=?，故V和X-分別就是X中不相交的開集將y和A分開，Y在X中超正則.

定理2X是Hausdorff空間，Y在X中1仿緊，則Y在X中超正則.

證明設y和A分別是Y中任意一點和X中任意一個閉集，且y?A.X是Hausdorff空間，則對任意a∈A，存在X的不相交開集Ua和Va使a∈Ua和y∈Va，于是{Ua}a∈A和X-A構成X的開覆蓋；Y在X中1仿緊，則對這個開覆蓋存在開加細β，滿足β覆蓋X且對Y中的點局部有限；將β中與A相交的記為βA，顯然βA是{Ua}a∈A的開加細，故任意B∈βA有y?，于是y?，故∪B和X-分別是A和y的不相交的鄰域，B∈βA則Y在X中超正則.

定理3Y在X中超正則且Y是Lindelo¨f空間，則Y在X中仿緊.

證明設α是X的任意一個開覆蓋，對任意y∈Y，存在A∈α使y∈A，又Y在X中超正則，則存在y的鄰域Uy滿足?A，顯然{Uy}y∈Y構成Y的開覆蓋；Y是Lindelo¨f空間，則存在可數子族覆蓋Y，設為{Un}，由{Uy}y∈Y的構成過程知α中存在可數子族{An}滿足?Ai.我們利用下面的辦法構造一個開集族.令C1=A1，C2=A2-，…，Cn=∈…，顯然{Cn}是開集族且是α的加細.下面證明{Cn}覆蓋Y.任意yY，{An}覆蓋Y，則必定存在最小的N使y∈AN，顯然y?Ai，i=1，…，N-1，而Ui?Ai，故∈即yCN，所以{Cn}覆蓋Y.

接著證明{Cn}對Y中的點局部有限.任意y∈Y，{Un}覆蓋Y，則存在最小的N使y∈UN，由{Cn}的構造知當n≥N+1時，UN∩Cn=?.于是{Cn}中與UN相交的元素最多只有N個，即{Cn}對y局部有限.

定理4X是Lindelo¨f空間，X在Y上正則，則X在Y上正規.

證明設A，B分別是X中收縮在Y上的不相交的閉集，X是Lindelo¨f空間，則A，B都是Lindelo¨f空間.X在Y上正則，則任意a∈A存在a的鄰域Ua使∩B=?，顯然{Ua}a∈A是A的開覆蓋，則存在可數子族覆蓋A，為了方便起見，不妨設為{Un}，對任意同理存在{Vn}覆蓋B且任意Vn滿足n∩A=?.

定理5X是仿緊空間，若X在Y上正則，則X在Y上正規.

證明設A和B分別是X中收縮在Y上的不相交的閉集，X在Y上正則，則任意a∈A存在a的鄰域Ua使∩B=?，{Ua}a∈A與X-A構成X的開覆蓋；X是仿緊空間，則此開覆蓋存在局部有限開加細覆蓋X，記為λ，將λ中與A相交的子族記為λA，顯然λA是{Ua}a∈A的開加細，故任意C∈λA，顯然有∩B=?；λA是局部有限的，則U和V顯然是X的開集且分別包含A和B，故X在Y上正規.

定理6設X是拓撲空間，Y在X中仿緊且Y在X中強正則，則Y在X中正規.

證明設A，B分別是X中任意兩個不相交的閉集，對于任意a∈A，Y在X中強正則，則存在X的不相交的開集Ua和V，滿足a∈Ua和B∩Y?V，于是{Ua}a∈A與X-A構成X的開覆蓋；Y在X中仿緊，則此開覆蓋存在開加細覆蓋Y且對Y中的點局部有限，記為β，而β中覆蓋A∩Y的集族顯然是{Ua}a∈A的加細，記為λ；任意C∈λ，有∩（B∩Y）=?，由于λ相對Y中的點局部有限，則顯然有U∩V=?且A∩Y?U，B∩Y?V，故Y在X中正規.

本文系統地描述了Y在X中超正則的充分條件，對X在Y上正則和X在Y上正規進行了研究，較全面地介紹了相對拓撲中的分離性.

[1] Arhangel’skii A V.Relative topological properties and relative topological space [J].Topology Appl，1996（70）：87-99.

[2] 汪賢華，王延庚，衛國.相對拓撲空間的一些性質[J].西北大學學報（自然科學版），2003，33（2）：133-136.

Separation Axioms in Relative Topology

ZENG Xiao-xu
（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063，Guangdong，China）

In this paper，some concepts are introduced as follow：X is regular on Y and Y is locally compact X.The conditions are described that make Y super-regular in X.A preliminary description is studied for thr relation between X is regular on Y and X is normal on Y.

relative topology；regular；paracompact；compact

O 189.11

A

1001-4217（2010）02-0023-04

2009-11-17

曾曉旭（1983-），男，廣東揭陽人，碩士研究生.研究方向：拓撲學.E-mail：xxzeng1@stu.edu.cn