DDS合成信號的頻譜雜散性分析

摘 要:直接數字式頻率合成技術作為一種全數字系統，在硬件方面具有許多優點。但是受奈奎斯特定理、自身的結構缺陷以及目前數字器件工作速度的限制，DDS輸出頻率較低、雜散性能不夠理想，在應用上受到了一定程度的限制。對DDS進行誤差分析對于提高系統性能具有重要意義。介紹直接數字頻率合成技術的原理，針對相位截斷誤差，對DDS合成信號的頻譜雜散性進行了詳細的理論分析，得到采樣點數N與截斷部分分母M與信噪比的關系曲線，給出了定量分析結果。并結合應用實踐，討論了不同因素對信噪比的影響，提出提高信噪比的方法和思路。

關鍵詞:直接數字頻率合成;相位截斷;雜散;信噪比

中圖分類號:TP274文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)06-140-03

Spurious of Spectrum of DDS Signal

WANG Ying，CAO Naochang，XIANG Xin，WANG Jiaxiang

(Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi′an，710038，China)

Abstract:The invention of Direct Digital Synthesis (DDS) is a wholly digital structure circuit with various advantages.For the limitation of digital hardware operating speed，Nyquist theorem and DDS structure，the spurious performance of DDS′ output is bad and the output frequency can′t reach a high level.Its error analysis has a great significance to improve the dynamic performance.The principle of Direct Digital Synthesizer(DDS)is introduced，the reason of DDS phase noise is analysed，the results of quantitative analysis are given，the influence of different factors on its SNR are discussed，and the way to heighten the performance is proposed.

Keywords:direct digital synthesis;phase truncation;spur;SNR

直接數字頻率合成(Direct Digital Synthesis，DDS)，與傳統的頻率合成技術相比，具有易于程控，相位連續，輸出頻率穩定度高，輸出頻率范圍寬、頻率轉換速度快和頻率分辨率高等一系列優異性能，作為產生信號和頻率的一種理想方法，發展前景十分廣闊。同時，DDS作為一種全數字系統，頻譜雜散是其固有的特性，這一直是限制DDS應用的主要因素。為了獲取低雜散的信號輸出，提高DDS的系統精度，對DDS進行頻譜分析就顯得尤為必要。這里對由相位截斷誤差引起的頻譜雜散性做了詳細分析，并給出了改善合成信號頻譜純度的方法。

1 DDS的基本原理

DDS技術是建立在采樣定理的基礎上的，它首先對需要產生的波形進行采樣，將采樣值數字化后存入存儲器作為查找表，然后再通過查表將數據讀出，經過D/A轉換器轉換成模擬量，把存入的波形重新合成出來。以正弦信號輸出為例，其系統框圖如圖1所示。

圖1 DDS原理框圖

圖1中的系統時鐘即參考頻率源，為高穩定度的晶體振蕩器，其輸出用于同步DDS的各個組成部分。DDS工作時，頻率控制字(Frequency Control Words，FCW) K在每一個時鐘周期內與相位累加器累加一次，相位累加器的輸出相應地增加一個步長的相位增量。同時相位累加器的輸出連接在波形存儲器(ROM)的地址線上，隨著累加器輸出的改變就可對存儲器進行查表，把存儲在ROM內的波形抽樣值(二進制編碼)依次查出。ROM的輸出送到D/A轉換器，經D/A轉換器轉換成階梯序列波，最后通過低通濾波器(LPF)平滑后得到一個純凈的模擬量輸出。

由于相位累加器字長的限制，相位累加器累加到一定值后，其輸出將會溢出，這樣波形存儲器的地址就會循環一次，即意味著輸出波形循環一周。因此改變頻率字即相位增量，就可以改變相位累加器的溢出時間，在時鐘頻率不變的條件下就可以改變輸出頻率。另外還可根據所需的輸出頻率來反算出對應的頻率控制字K。

可以推出DDS系統的輸出頻率fOUT與系統時鐘頻率fCLK之間的關系為:

fOUT=(K/2N)fCLK(1)

可以看出，當K=1時，輸出頻率fOUT最小，即DDS系統的頻率分辨率為:

ΔfOUT=fCLK/2N(2)

2 相位截斷誤差的來源

為了達到較高的輸出頻率，DDS系統的時鐘頻率一般都比較高。根據式(2)，在較高的時鐘頻率下，為了獲得較高的頻率分辨率，則只有增加相位累加器的字長N，故一般N都取值較大。但是受存儲器容量的限制，存儲器地址線的位數W不可能很大，一般都要小于N。這樣存儲器的地址線一般都只能接在相位累加器輸出的高W位，而相位累加器輸出余下的(N-W)個低位則只能被舍棄，這就是相位截斷誤差的來源。

3 相位截斷噪聲分析

3.1 非均勻采樣信號的頻譜分析

由于相位截斷，頻率字的值K就將被分為兩部分，其最高的W位將被看作整數部分，而余下的將被看為小數部分，只有頻率字的整數部分才對存儲器的地址有影響。同時，由于小數的存在，將會造成DDS系統在查表時相位的步進值不再是均勻的，使得對波形的采樣為非均勻采樣。

設模擬信號f(t)，其傅里葉變換為F(ω)。對f(t)在(-1/(2T)，1/(2T))范圍內進行采樣，得到離散函數(t)。假設在0~M-1個采樣點之間采樣間隔不均勻，但是每個采樣點與其后的第M個采樣點之間的間隔相等，即存在一個總周期MT，T為平均采樣周期。通過采樣可以得到數列S=，將數列S分成如下一組數列:

S0=

S1=

Sm=

SM-1=

定義:

m=

m=0，1，2，…，M-1

mz-m=

可得:

S=∑M-1m=0mz-m

由此可得，非均勻采樣信號的數字頻譜為:

F(ω)=1MT#8226;

∑M-1m=0∑∞k=-∞Fω-k2πMT〗ejω-k(2π/MT)〗tme-jmωT(3)

以正弦函數f(t)為例，設其頻率為f0，角頻率為ω0=2πf0，則其傅立葉變換為:

F(ω)=2πδ(ω-ω0)

代入式(3)，可得正弦波非均勻采樣時的幅值為:

A(k)=∑M-1m=01Me-j2πf0(mT-tm)e-jkm(2π/M)(4)

頻譜表達式為:

F(ω)=1T∑∞k=-∞A(k)2πδ(5)

由式(4)可知，非均勻采樣后周期信號的基波分量在頻率軸上位于f0處，幅值為|A(0)|。根據Parseval定理，得:

∑M-1k=0A(k)2=1

由此可得上述非均勻采樣頻譜的信噪比為:

S/N=10lgA(0)21-A(0)2 dB(4)

3.2 DDS合成信號的相位截斷噪聲分析

設DDS系統中波形存儲器內的采樣點數為N，時鐘周期為T，時鐘頻率fS=1/T，相位累加器的累加值為K，其整數部分為W，小數部分為D/M，且D和M互質，即:

K=W+D/M

由于相位截斷誤差的存在，DDS合成信號符合上述非均勻采樣的原理。仍以正弦波為例，因為MK=M(W+D/M)為整數，相位累加器的輸出將是以MT為周期的周期函數，由式可得輸出波形的頻譜為:

F(ω)=1T∑∞k=-∞A(k)2πδ(7)

幅值為:

A(k)=∑M-1m=01Me-j2π(mT-tm)f0〗e-jkm(2π/M)(8)

根據DDS系統的原理，經整理得到:

2π(mT-tm)f0=2πMMN(9)

式中:M表示mD以M為模的余數，將式(8)代入式(9)，可得:

A(k)=∑M-1m=01Me-j2πM/MN〗e-jkm(2π/M)(10)

即A(k)是k，M，N和D的函數，可以用A(k，M，N，D)來表示A(k)。

由式(6)可推出DDS系統的信噪比:

S/N=10lg|A(0，M，N，D)|21-|A(0，M，N，D)|2 dB(11)

由式(10)可得:

|A(0，M，N，D)|2=sin2(π/N)(π/N)2〗#8226;(π/MN)2sin2(π/MN)〗(12)

圖2是M分別取最小值M=2和最大值M=∞時，N和信噪比的關系曲線。表1是M取最小值M=2時，信噪比隨N的取值變化的量化表格。由圖2和表1可見，當M固定時，|A(0，N，D)|2是N的遞增函數，只要N足夠大就可以得到足夠高的信噪比。由此增大波形存儲器的長度可以提高DDS系統的信噪比。

圖2 信噪比的關系曲線

表1 存儲容量與信噪比關系的量化表格

N2122232425

S/N/dB2.108.1214.1420.1626.18

N26272829210

S/N/dB32.2038.2244.2450.2756.29

圖2是以N=1 024為例，M和信噪比的關系曲線。當N固定時，雖然|A(0，M，D)|2是M的遞減函數，信噪比隨著M的增大而減少。但是從圖2中可明顯看出，M的變化對于信噪比的影響并不大，信噪比在55.04 dB和56.29 dB之間。

4 結 語

綜上所述，針對相位截斷誤差，可以得出改善DDS系統頻譜質量的可行性方法:盡量增大波形存儲器ROM的容量N，即可顯著提高信噪比。

增大N可以有兩種方法:

(1) 直接增大波形存儲器的絕對容量N;

(2) 通過壓縮存儲數據來等效增大存儲器的數據尋址位。

實際應用中，由于第一種方法受到硬件條件的限制，不可能無限制的增大，所以第二種方法更加具有實效性，限于篇幅，在此對具體實現方式不作討論。另外，結合上述結論，從減小M值的角度考慮，增大波形存儲器的容量N，減少相位累加器輸出舍棄的位數，客觀上也起到減小M的作用。

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