數學,教材之外的解讀亦精彩

很多人包括不少小學數學老師，認為:小學數學的內容比較簡單。這種用成人已完成的認知結構分析得出的所謂“簡單”結論，帶來的直接后果是，很多教師放棄了從兒童未知者的角度來加工數學知識的自覺意識，而是把數學教材中的知識結論簡單地搬運給學生，并反復加以訓練，以期鞏固。這樣的數學課堂，教師講授的內容學生通過自學課本完全能夠獲得，呈現的知識發展過程早為學生所知悉。除了知識和技能的累加，不只無益學生數學素養的培養，還會損害其對數學學習的好奇心和求知欲。

有的老師為了改變這種“教得單調、學得無趣”的現狀，在課堂上增加題目難度，或者干脆補充奧數題目，美其名曰是發展學生的數學思維能力。但這種改變只是單純增加了解題步驟，或強化了特定解題技巧的訓練，而不是我們所需要的對數學知識本質的觀照、數學思想的體驗和數學價值的領悟。這樣的教學，我們發展的是學生的解題技巧，而非孩子的靈性。

兒童視角下的數學教學，不是單純的知識的傳授和接受，而是兒童生命成長的一段歷程。我們給學生的不能只是“1+1=2”之類的規定性內容，還要讓學生領略數學的美妙、神奇和巨大價值，感受數學知識本身散發出的獨特魅力。因此，我們對于數學知識的加工不能只局限于教材中的知識和技能層面，還要用一種更為廣泛和聯系的眼光來加工教材，讓學生獲得更為豐富、深刻和靈動的體驗。下面是筆者的幾點嘗試:

一、用歷史的眼光解讀:追溯數學知識的源頭

蘇霍姆林斯基說過:接近和深挖事物的本質及其因果聯系的實質，這一過程本身就是興趣的主要源泉。數學知識是人類文明在漫長跋涉的進程中，經歷了無數人嘗試、抽象、概括和提煉的發展歷程，最后形成了符號化、體系化的概念、法則、公式和方法。這一發展過程以及過程背后的發展規律是數學知識最大的魅力所在。數學教師不能以已知者的身份來看待學生，只關注知識的記憶和運用，而忽略知識是怎樣產生的。數學教學需要還原知識本身的“血肉”，而不只是熟記“骨架”。當然這一過程，不同于數學家發明過程的簡單復制，也不是數學發展史的濃縮，數學教師應當敏銳地感受到知識發展中的一些內在規律，即知識發展的“內核”，進而從某一知識發展的“內核”引導學生感受知識的“創造”“發現”的過程。

例如數學教學中有很多的規定，為什么會有這樣的規定，而不是其它的可能呢?教師要用一種歷史的眼光來解讀這些現象:為什么正數前面的正號可以省略?就是因為生活中正數用的比負數多，規定正號可以省略，可以更方便些。為什么加號寫成“+”?據說，中世紀的酒商在售出酒后，曾用橫線標出酒桶里的存酒，而當桶里的酒又增加時，便用豎線條把原來畫的橫線劃掉，于是出現了表示減少的“-”和用來表示增加的“+”。為什么厘米用字母“cm”?就是因為厘米的英文單詞是centimeter，取它的縮寫就是“cm”。很多單位的字母表示都是源自其英文單詞的縮寫。為什么時間(時、分、秒)的進率選擇了60呢?史學家通過考證認為，這是因為“在100以內的自然數中，60的因數最多”，這樣可以使許多有關時間的運算(特別是古代有關歷法計算)變得十分簡便。

很多數學知識探尋其源頭，其實并不復雜和神秘。相反，卻能感受到一種親切和溫情:很多時候，數學知識只是數學家根據生活常識進行合理的提煉和總結、創造而已。當孩子擁有這樣的數學學習經歷，數學在他的眼里，一定不是枯燥和深奧的，相反，數學是一種思維的樂趣，是一種創造的啟迪，當我們的認知積累到一定程度時，我們也可以用自己的理解去創造屬于自己的知識。

二、用理性的眼光解讀:透視現象背后的本質

每一門學科，都有其獨特的教育價值。每一門學科，在教給孩子基礎的知識和技能后，也必然自覺或不自覺地影響著孩子認識世界的思維方式、行為態度，使得孩子擁有一種新的看清世界的眼光。數學教學要引導學生用一種用理性的眼光觀察現象，用辯證的頭腦思考問題，讓學生的數學視野更為深遠。

例如教學“素數和合數”時，筆者引進這樣一個數學背景:1634年，來自歐洲的殖民者在美洲大陸田納西地區經歷了一場恐怖:大量的蟬(達到每公頃數百萬只)仿佛一夜之間從地底冒出，幾個星期之后，又銷聲匿跡。時隔17年，這一現象再次出現，直到1991年，共出現了22次，周期非常準確?？茖W家發現，蟬的生命周期大都為質數，比如在北美洲北部地區周期為17年，而在北美洲南部地區周期為13年，為什么是17和13，而不是其它數字呢?科學家解釋說，蟬在進化的過程中選擇質數為生命周期，可以大大降低與天敵遭遇的概率。比如它的生命周期是12年，則與那些生命周期為1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敵都可能遭遇，而使得種群生存受威脅。

再如學習了圓周長之后，筆者這樣引思:假設在地球赤道上纏一根橡皮筋，同時在一只西瓜的最大橫截面上也纏一根橡皮筋。如果將地球和西瓜的半徑都加長1米，那么纏在地球和西瓜上的橡皮筋都將拉長，請問:哪根橡皮筋被拉長得多一些?學生想象中當然是纏在地球上的橡皮筋拉得長，但實際上是一樣的。經過計算，地球和西瓜都增加2?仔米 。

數學學習要讓知識的學習伴隨著豐富的數學思考，讓方法的滲透伴隨著理性精神的培育。數學可以掃除現象上面的迷霧和障礙，幫助我們直接抵達問題的本質。數學學習的價值不只是計算和解題，要讓學生在思辨中體會到數學的巨大力量，獲得心靈上的震撼。

三、用智慧的眼光解讀:把脈兒童思維的節點

數學教學不能停留于無須智慧努力只須聽講和記憶就能掌握的那種程度，這實際上是對學生智慧的扼殺和個性的摧殘。數學教學為學生提供的不應是支零破碎、細枝末葉的數學知識，而是作為結構的數學、智慧的數學。教師要注重揭示“方法背后的方法”，提煉出知識內容本身的策略思想，提高學生的控制能力，達到“聞一知十”的效果。

例如著名特級教師徐斌老師教學“用轉化的策略解決實際問題”時，注重在品味每個轉化個例中進行凝練提升。在比較兩個不規則圖形的面積大小時，通過平移和旋轉，兩個不規則圖形都轉化成同一個規則的長方形，最終輕松比較面積大小相等，教師歸結為:復雜→簡單;在回憶平行四邊形、三角形、梯形、圓面積計算公式和圓柱、圓錐體積計算公式的推導過程時，教師讓學生發現它們的共同之處:新問題→舊知識……在此基礎上，徐老師提出了如何獲知一張紙的厚度、一枚硬幣的體積、一個燈泡的容積等生活中富有挑戰性的問題，這些在平?？赡茏寣W生冥思苦想而難得其解的問題，在徐老師的課堂上卻表現異?；钴S，解決問題的方法層出不窮。原因就在于教師找到了兒童思維的節點，當教師亮出“薄→( )”的方法提示時，學生很快就能想到“厚”，進而考慮增加同樣的紙張進行轉化的策略，由此，再聯想到“小→大”“浸入→排除”的轉化策略也就水到渠成。

數學教材不只提供知識結論，也設計了知識的形成過程，但這不能替代教師的引領。兒童數學知識的累加并不總是對應能力的發展、智慧的提升，教師要站在系統的高度，善于抓到學生思維獲得突破的節點，畫龍點睛，在不改變問題總量的情況下提升思維的含量，發展學生的數學思考能力。

四、用幽默的眼光解讀:創設輕松理解的氛圍

蘇霍姆林斯基認為，學生要能牢固地記憶概念、結論、規則及其他概括，他就必須閱讀和思考許多并不需要識記的材料。這些材料是應當保持在記憶里的那些概括的基礎。事實上，在數學學習活動中，當學生面對抽象的數學知識時，支撐著學生理解數學知識的還有更為豐富和感性的數學事實知識體系。教師要善于找到這些能夠幫助學生獲取抽象性知識的學習材料。

例如筆者教學圓周率時，為了形象地說明圓周率是無限不循環小數，筆者介紹1996年初，數學家利用電腦將?仔值已算到42億多位，數字排列也沒有出現重復。日本一個數學家專門將算出的?仔值出了一本書，厚達幾百頁，但還沒有算完。

卡特金說過:“未經過人的積極感情強化和加溫的知識，將使人變得冷漠。由于它不能撥動人的心弦，很快就會遺忘?！庇薪涷灥臄祵W教師會讓學生學會由數學事實中發現(或者是頓悟)而不是灌輸概括性知識。只有這樣，才能讓這些關鍵知識有效地保持在記憶里，并及時地獲得提取。

總之，其實數學符號、幾何圖形、公式、定理等這些數學的構成要素都源于人們的生活，原本是田野的、質樸的和有感情的，只不過把它們抽象成數學知識，負載于教材后這些鮮活的內容就被固化。數學教師要能夠超越教材，致力于還原其人文的本真面目，這不只是數學學習的需要，更是學生生命成長的需要。

(作者單位:江蘇翔宇教育集團寶應縣實驗小學)

本欄責任編輯李淳