牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑數(shù)據(jù)處理方法的分析

摘 要:詳細介紹用逐差法、線性回歸法、加權(quán)平均法處理牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑數(shù)據(jù)的方法和過程。比較三種實驗數(shù)據(jù)處理方法的優(yōu)缺點，其中加權(quán)平均法既考慮了如何克服實驗的系統(tǒng)誤差，又能按照處理原則去對待非等精度測量，且建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上。該方法主要是比較相應(yīng)的權(quán)，進而求出加權(quán)平均值，利用Matlab軟件進行處理，得出加權(quán)平均法為牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理的最佳方法。

關(guān)鍵詞:牛頓環(huán); 逐差法; 線性回歸法; 加權(quán)平均法

中圖分類號:Q4361;TP274文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)08-0141-04

Analysis of Data Processing in Lens Curvature Radius Measured by Newton′s Ring

LI Xiao-li

(School of Science， Xi’an Shiyou University， Xi’an 710065， China)

Abstract: The methods and procedures of using interative differential method， linear recursive analysis， and weighted average method to process the data of lens curvature of Newton′s Rings are introduced in detail， three experimental dada processing methods are compared. The weighted average method can overcome the experimental systematic distortions， and make a nonprecision measurement according to processing priuciple， and build on the basis of mathematical statistical theory. This method mainly compared the corresponding rights， and then found out the weighted average， used Matlab software processing. It is proved that the weighted average method is optimal for this experiment by theoretic analysis.

Keywords: Newton′s rings; interative differential method; linear recursive analysis; weighted average method

0 引 言

“牛頓環(huán)”是牛頓在1675年制作天文望遠鏡時，偶然把一個望遠鏡的物鏡放在平板玻璃上發(fā)現(xiàn)的。牛頓環(huán)屬于用分振幅法產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，亦是典型的等厚干涉條紋。它為光的波動提供了重要的實驗證據(jù)。光的干涉現(xiàn)象廣泛地應(yīng)用于科學(xué)研究、工業(yè)生產(chǎn)和檢驗技術(shù)中，如利用光的干涉法進行薄膜等厚、微小角度、曲面的曲率半徑等幾何量的精密測量，也普遍應(yīng)用檢測加工工件表面的光潔度和平整度及機械零件的內(nèi)力分布等。

為了獲得真實可靠的數(shù)據(jù)，需要對實驗的全過程進行誤差控制。如果實驗原理、方法和采用的實驗裝置不同，實驗結(jié)果的精度也不同，這是因為采用了不同的物理模型和實驗條件[1]。即使當實驗原理、方法和采用的實驗裝置相同，如果采用不同的數(shù)據(jù)處理方法(如最小二乘法、逐差法等)，也會帶來精度不同的結(jié)果，這是因為采用了不同的數(shù)學(xué)模型。甚至對同一組實驗數(shù)據(jù)采用同一種數(shù)據(jù)處理方法，如果處理方式不同，其精度也會有很大的不同，這是因為采用了不同的算法。因此，如何利用有限的測量數(shù)據(jù)，發(fā)揮其最大效用，選擇適當?shù)臄?shù)據(jù)處理方法和算法，有效地減少誤差，在實驗結(jié)果的分析中就顯得非常重要。

牛頓環(huán)屬于用分振幅法產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，它是典型的等厚干涉條紋。下面以牛頓環(huán)干涉實驗為例，對實驗數(shù)據(jù)分別用逐差法、線性回歸法、加權(quán)平均法三種方法進行分析，然后比較三種方法的優(yōu)劣，并對結(jié)果進行討論。

1 實驗部分

1.1 實驗原理

最常見的牛頓環(huán)干涉結(jié)構(gòu)如圖1所示\\，把一塊曲率半徑相當大的平凸鏡放在一塊平板玻璃片上，在單色光的垂直照射下，用讀數(shù)顯微鏡可觀察到以接觸點為中心的一系列干涉圓環(huán)。其中亮暗環(huán)紋交替出現(xiàn)，隨著半徑增大而由稀變密，直至模糊一片。

設(shè)入射單色光的波長為λ，第k級干涉條紋的半徑為rk，該處空氣膜的厚度為e，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，產(chǎn)生明暗環(huán)的干涉條件為[3]:

明條紋:



δk=2ek+λ/2=kλ， k=1，2，3，…(1)

暗條紋:



δk=2ek+λ/2=(2k+1)λ， k=1，2，3，…(2)

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系可知，R2=r2k+(R-ek)2，則r2k=2ekR-e2k，R為透鏡的曲率半徑。由于Rek，上式近似表示為:



ek=r2k/(2R)(3)

將式(3)代入式(1)、式(2)中，則:

明環(huán)半徑:



r2k=(2k-1)R(λ/2)， k=1，2，3，…(4)

暗環(huán)半徑:



r2k=kλR， k=1，2，3，…(5)

若用兩個暗環(huán)或明環(huán)半徑和的平方差進行計算，可以消除因附加光程差產(chǎn)生的誤差，這時第m環(huán)暗環(huán)半徑為r2m=mλR，第n環(huán)明環(huán)半徑為r2n=nλR，兩式相減得曲率半徑為:



R=r2m-r2n(m-n)λ=D2m-D2n4(m-n)λ(6)



式中:D為牛頓環(huán)直徑。所以實驗中只要測量出第m環(huán)和第n環(huán)的直徑，根據(jù)上式就可以算出透鏡的曲率半徑R。

圖1 牛頓環(huán)裝置

1.2 實驗數(shù)據(jù)分析

實驗中測量牛頓環(huán)干涉條紋的數(shù)據(jù)記錄如表1所示。

表1 牛頓環(huán)干涉條紋的原始測量數(shù)據(jù)

k

51015202530

D左 /mm30.52231.27831.88032.38532.83233.240

D右 /mm26.32125.55724.96224.46924.01923.612

下面分別用逐差法、線性回歸法和加權(quán)平均法對實驗中測量牛頓環(huán)干涉條紋的數(shù)據(jù)進行分析。

1.2.1 逐差法

由于牛頓環(huán)裝置中玻璃接觸處的彈性形變會引起系統(tǒng)誤差，因而不能直接用牛頓環(huán)的直徑D(k)計算平凸透鏡的曲率半徑?？梢约僭O(shè)干涉條紋為均勻分布，采用逐差法，在計算機上利用Matlab軟件中的數(shù)值插值法處理實驗數(shù)據(jù)，處理結(jié)果如表2所示。

表2 采用逐差法分析實驗數(shù)據(jù)

kD左/mmD右/mmkD左/mmD右/mmD2(k+15)-D2(k)/mm2

130.52226.3211432.19224.65945.015

230.68826.1521532.29024.56345.058

330.84725.9911632.38524.46945.056

430.99825.8391732.47824.37645.058

531.14125.6941832.56924.28545.056

631.27825.5571932.65924.19545.026

731.40925.4262032.74624.10644.984

831.53425.3022132.83224.01944.939

931.65425.1842232.91623.93444.899

1031.76925.0712332.99923.85044.869

1131.88024.9622433.08123.76944.850

1231.98724.8582533.16123.68944.843

1332.09124.7572633.24023.61244.840

注:光源為鈉光燈λ= 589.3 nm

算術(shù)平均值的標準偏差為:



σ[D2(k+15)-D2(k)]=0.019 mm2



則曲率半徑的平均值為:



R1=D2(k+15)-D2(k)4mλ=1 271.0 mm

相對標準偏差為:



σR1R1=σ[D2(k+m)-D2(m)]D2(k+m)-D2(m)=0.04%，

平凸透鏡的曲率半徑的標準偏差為:



σR1 = 0.5 mm

所以實驗結(jié)果為:



R1=R1±σR1=(1 271.0±0.5) mm



1.2.2 線性回歸法

根據(jù)牛頓環(huán)實驗的基本原理，設(shè)第m條暗紋的干涉級次為(m+j)，則D2k = 4Rλ(m+j)，可以看出D2k與m成線性關(guān)系，只要測量得到各m級(自變量x)所對應(yīng)的D2k(應(yīng)變量y)，用最小二乘法擬合線性函數(shù)(直線)可以得到[4]:y=A+Bx。

所以要確定R，只需要確定系數(shù)B即可，依據(jù)最小二乘法處理實驗數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)整理后用Matlab軟件計算線性擬合系數(shù)B為[5]:



B=n∑i(xiyi)-∑ixi∑iyin∑ix2i-(∑ixi)2=2.999 0 mm



式中:xi=m，yi=D2m。

為了檢驗直線擬合的好壞，并確定測量的不確定度，求出相關(guān)系數(shù)[6]:



r=xy-xy(x2-x2)(y2-y2)=0.999 984 57

平凸透鏡的曲率半徑為:



R2=B/(4mλ)=1 272.7 mm

相對不確定度為:



ur(R2)=u(R2)R2=u(B)B=1/r2-1n-2=0.000 8

平凸透鏡的曲率半徑的不確定度為:



u(R2)=0.000 8×1 272.7=1.0 mm

所以實驗結(jié)果為:



R2 =R2 ±u(R2 )=(1 272.7±1.0) mm



1.2.3 加權(quán)平均法

實驗中，牛頓環(huán)的直徑為D(k)=D左(k)-D右(k)，其中D左(k)，D右(k)是第k級牛頓環(huán)左、右兩端位置坐標。由于D左(k)，D右(k)只做單次測量，其精度為儀器精度，而讀數(shù)裝置最小刻度為0.01 mm，則有σ=0.01 mm=D左(k)=D右(k)，由誤差傳遞知牛頓環(huán)直徑的測量精度為[7]:



σ2D(k)=σD2左(k)+D2右(k)=2σ2(7)

從而m個相鄰牛頓環(huán)直徑平方差的測量精度為:



σ2[D2(k+m) -D2(k) ]=[σD2(k+m) ]2+[σD2(k)]

=σ2D2(k+m)+σ2D2(k)

= 4D2(k+m)σ2D(k+11)+4D2(k)σ2D(k)

=8σ2\\(8)



所以:



σ2[D2(k+m) -D2(k)]=0.000 8[D2(k+m)+D2(k)](9)

令yk=D2(k+m)-D2(k)，相應(yīng)的權(quán)\\為ωk=1σ2(yk)，采用加權(quán)平均法分析測量數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 加權(quán)平均法分析實驗數(shù)據(jù)

kyk/mm2精度/mm2權(quán)ωk/mm-2ωkyky-yk/mm2ωk(y-yk)2/ mm2

145.0150.064 215.56700.62-0.071 20.078 9

245.0580.069 014.50653.21-0.114 80.190 9

345.0560.073 813.56610.75-0.112 30.171 1

445.0260.078 612.72572.84-0.082 60.086 8

544.9840.083 511.98539.01-0.040 90.020 0

644.9390.088 311.32508.830.004 30.000 2

744.8990.093 210.73481.860.044 90.021 6

844.8690.098 010.20457.730.074 50.056 6

944.8500.102 99.72436.050.093 40.084 9

1044.8430.107 79.29416.510.100 80.094 4

1144.8400.112 48.89398.770.103 80.095 8

計算可得加權(quán)平均值為:



y=∑11i=1ωiyi/∑11i=1ωi=44.957 mm2

標準偏差為:



σy=∑11i=1(y-yi)2〗/(n-1)∑11i=1ωi=0.078 mm2



從而得曲率半徑的平均值為:



R3=y/(4mλ)=1 271.1 mm

相對標準偏差為:



σR3R3=σyy=0.02%



則實驗結(jié)果的測量精度為:



σR3=0.2 mm

所以實驗結(jié)果為:



R3=R3±σR3=(1 271.1±0.2) mm



1.3 實驗結(jié)果與討論

對于實驗數(shù)據(jù)分別用逐差法、線性回歸法和加權(quán)平均法進行處理后，實驗結(jié)果可分別表示為:

逐差法:



R1 = R1 ±σR1 =(1 271.0±0.5) mm

線性回歸法:



R2 =R2 ±σR2 =(1 272.7±1.0) mm

加權(quán)平均法:



R3=R3±σR3=(1 271.1±0.2) mm

下面對這三種數(shù)據(jù)處理方法進行檢驗，選擇最優(yōu)的數(shù)據(jù)處理方法，檢驗方法較多，現(xiàn)選擇采用t分布檢驗[9]:



t=x1-x2(n1-1)σ21+(n2-1)σ22ν(1/n1+1/n2)(10)

式中:n1和n2分別為凸透鏡球面的上、下兩面的折射率，由于凸透鏡球面周圍都為空氣薄膜，故n1=n2，則令ν=n1+n2-2=2(n-1)，從而有:



t=\\-R2)\\〗/(σ2R1+σ2R2)(11)

方法1與方法2比較計算，可得:t1=0.350;方法2與方法3比較計算，可得:t2=0.340。

若取顯著水平σ=10%，則置信率p=90%，ν=18，查t分布表可得[10]tζ=1.734，則|t1|=0.354<1.734，|t2|=0.340<1.734。

若取σ= 50 %，則p=50%，ν=18，查表得tζ=0.688，則|t1|=0.354<0.688，|t2|=0.340<0.688。

通過上面分析可以看出三種數(shù)據(jù)處理方法有如下特點:

(1) 逐差法主要是圍繞如何克服實驗的系統(tǒng)誤差來進行的，是建立在算術(shù)計算的基礎(chǔ)上，但并不滿足非等精度測量實驗數(shù)據(jù)處理的條件，而牛頓環(huán)干涉實驗是非等精度測量，故逐差法對于牛頓環(huán)實驗來說并不是一種理想的數(shù)據(jù)處理方法。

(2) 線性回歸法主要是為了避免非等精度測量的困難，但未考慮該次實驗中的系統(tǒng)誤差，所以線性回歸法對于牛頓環(huán)實驗來說也不是理想的數(shù)據(jù)處理方法。

(3) 加權(quán)平均法既考慮了如何克服實驗的系統(tǒng)誤差，又能按照處理原則去對待非等精度測量，且建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上，所以加權(quán)平均法是處理牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)的最佳方法。

2 結(jié) 語

本文對牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)分別采用逐差法、線性回歸法和加權(quán)平均法進行分析。逐差法在牛頓環(huán)干涉實驗中是一種常用的實驗處理方法，其原理簡單且便于理解，對它的實驗原理不用再做過多的敘述，但由于逐差法不滿足非等精度測量實驗數(shù)據(jù)的條件，而牛頓環(huán)干涉實驗就是一種非等精度測量，故該方法對于牛頓環(huán)干涉實驗并不是一種理想的實驗處理方法;線性回歸法先利用數(shù)值插值法對實驗數(shù)據(jù)進行處理，再利用最小二乘法將實驗數(shù)據(jù)擬合成一條直線函數(shù)，最后用Matlab軟件計算出線性擬合系數(shù)B及相關(guān)系數(shù)r，進而算出凸透鏡的曲率半徑R和測量的相對不確定度;加權(quán)平均值法主要是比較相應(yīng)的權(quán)，進而求出加權(quán)平均值，利用Matlab軟件處理較為方便，在優(yōu)化模型中應(yīng)用較廣。經(jīng)過分析與討論可知應(yīng)用加權(quán)平均值法為牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理的最佳方法。

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