基于泊松方程的數字圖像無縫拼合

摘 要:無縫圖像拼合就是要消除待處理區域與背景之間存在的接縫。針對傳統淡入淡出漸變因子圖像拼接方法對重疊區域含有幾何錯位或復雜內容實現無縫拼接時存在局限性的缺陷，采用泊松圖像編輯方法，利用圖像融合技術，在Matlab 環境下仿真實現了彩色圖像的無縫拼合。試驗表明，泊松圖像編輯方法可以很好地實現插值區域周圍的背景顏色較為單一的彩色圖像的無縫拼合。

關鍵詞:圖像拼接; 泊松圖像混合; 圖像融合; 梯度場

中圖分類號:TN911.73-34文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)17-0139-03

Seamless Splicing of Digital Images Based on Poisson Equation

ZHANG Jian-qiao， WANG Chang-yuan

(Xi’an Technological University， Xi’an 710032， China)

Abstract: The purpose of seamless image splicing is to remove the seams between the mixed images. Aimming at the limitation of the traditional fade in/out algorithms used to mosaic the image overlapped region with complex content and geometry alignment error， Poisson image editing is adopted in this paper to implement the seamless splicing of the color images by the simulation under condition of Matlab. The test shows that the Poisson image editing method can realize the seamless splicing of the color images whose background color around the interpolation domain is simplex.

Keywords: image mosaic; Poisson image mixing; image fusion; gradient field

0 引 言

圖像拼接是計算機視覺領域的一個重要分支[1]。它是一種將同一場景相互有重疊部分的一系列圖片合成為一幅大的寬視角全景圖像技術。圖像拼接己在計算機視覺、醫學圖像、模式識別和遙感圖像等方面得到廣泛的應用。其中，圖像融合是最關鍵的步驟，圖像融合就是確定重疊區域內每一個像素點如何取值，以實現圖像間的平滑過渡和無縫拼接。圖像融合可以通過加權平均算法，多分辨率方法或基于梯度域的融合方法來實現。由于加權平均算法只對重疊區進行加權平均，因此只在重疊區實現融合過渡，很難消除合成鬼影，且對配準誤差很敏感。然而多分辨率拼接方法則通過將圖像分解成多幅尺度圖像再合成，不僅可實現整圖范圍內的融合過渡，并可降低對配準誤差的敏感度，他的不足是由于多次濾波會造成信號減弱，因此最終合成的圖像會變暗和模糊?；谔荻扔虻娜诤戏椒ㄊ抢锰荻葓鰧崿F合成，由于需要計算出重疊區的梯度場，因此合成的圖像不會出現多分辨拼接中存在的變暗和模糊的現象[2-3]。

Patrick P等人在2003年提出了Poisson圖像編輯法，該方法利用圖像梯度場對待融合區域進行引導插值，將圖像融合問題歸結為求目標函數的最小化問題，并利用Poisson方程求解這一變分問題。該方法被很多人運用和研究，取得了很好的效果[4-5]。本文運用該方法解決兩幅圖像間的融合問題，并在Matlab環境下仿真實現。

1 工作原理

1.1 泊松方程

該方法所用的核心數學工具是帶狄里克雷邊界條件的泊松偏微分方程，狄里克雷邊界條件指定了在影響域內未知函數的拉普拉斯算子，以及在區域邊界上的未知函數值的拉普拉斯算子。由數學知識可知，泊松方程的基本表達式如下:

2ux2+2uy2=φ(x，y)

(1)

根據狄里克雷(Dirichlet)邊界條件，可給出u+S上的值，如圖1所示。

圖1 相關概念

1.2 離散實現

由式(1)的有限微分離散化得到如下離散的二次最優化問題:對所有p∈Ω的點而言，且fp  = f*p 。

minf|Ω∑[p，q]∩Ω≠(fp-fq-vpq)2

(2)

式中:vpq是vp+q2在導向邊界[p，q]上的投影，即vpq=vp+q2#8226;pq，它的解同時滿足下面的線性方程:

|Np |fp -∑q∈Np ∩Ωfq  = ∑q∈Np ∩Ωf*q  + ∑q∈Np vpq 

(3)

當Ω包含S邊界上的像素時(例如當Ω擴展至像素網格的邊緣時可能發生這種情況)，這些像素擁有的上限鄰域|Np|<4。注意到對于Ω之內的像素p，有Np∈Ω，則式(3)可化為:

|Np|fp-∑q∈Npfq=∑q∈Npvpq

(4)

方程(3)建立了一個經典的、稀松(帶狀)的、對稱的、正定的系統。由于邊界Ω的任意形狀，必須使用迭代解法。應用較多的是連續超松弛的Gauss-Seidel迭代法，或是V-循環的多重網格法。

1.3 Gauss-Seidel迭代法

對于給定的Ax=b，如果矩陣A的對角元素是非零的，則矩陣A可以表示為:

A=UADALA

(5)

式中，DA是矩陣A的對角陣，而LA和UA分別是矩陣A的上三角和下三角部分。

設D=0DA0，E=00LA，F=UA00，則Gauss-Seidel迭代法基于下列分解:P=D+E，N=-F，對應的迭代矩陣是:

BGS=-(D+E)-1F

(6)

由Householder-John定理可以推出，當矩陣A是對稱、正定的，且可以分解為式(6)，迭代矩陣滿足其譜半徑小于任意范數，即此時Gauss-Seidel迭代方法收斂。

2 系統實現

Matlab是一種廣泛應用于工程計算及數值分析領域的新型高級語言，有著強大的數值計算功能和繪圖功能，且具有豐富的圖像處理函數[6]。在Matlab環境下的圖像無縫拼合系統能夠實現彩色圖像的無縫拼合，且可以改變待處理區域內景物的色彩、光照等因素，使拼合后的圖像更加真實、自然[7-8]。

本系統主要包含4個步驟:

步驟1:選取待處理區域并將其拷貝到目標圖像上，得到直接拼合后的圖像，此時所得圖像存在明顯的拼接贗像，如圖2~圖4所示。

圖2 目標圖像

圖3 待處理矩形區域

圖4 直接拼合后結果

步驟2:求指導矢量場V的散度值。

令引導矢量場為穩定場，取它為函數g的梯度。對于離散的數字圖像來說，梯度可以寫作:

Ii=Ii+1，j-Ii，j(i+1)-i=Ii+1，j-Ii，j

(7)

Ij=Ii，j+1-Ii，j(j+1)-j=Ii，j+1-Ii，j

(8)

式中:i，j分別是數字圖像I的行坐標和列坐標(圖像坐標以左上角為整個坐標空間的原點)，且i，j不可超過圖像的高度和寬度。

步驟3:建立泊松方程(式(1))，并求泊松方程的解向量。

泊松圖像編輯方法中指出彩色圖像各個顏色通道是相互獨立的，可以對每一個顏色通道分別求解泊松方程，然后進行綜合即可得到最終結果。在Matlab中彩色圖像的顏色模型是RGB顏色模型，所以對彩色圖像的RGB三個顏色通道分別解泊松方程得到最終結果。

步驟4:進行拉普拉斯插值。

所謂拉普拉斯插值是指插值區域內部滿足拉普拉斯方程。因此，僅需要將拉普拉斯方程的解向量賦值給插值區域內部，泊松方程的解向量賦值給其邊界即可[9]。

3 試驗結果分析

經過拉普拉斯插值，解泊松方程之后所得的最終拼合圖像，消除了圖4中人工拼接的痕跡，使拼合后的圖像顏色過渡更加自然。同時，目標矩形區域內景物的顏色等會隨目標圖像的顏色而產生相應的變化，得到了非常理想的效果，如圖5所示。

圖5 結果圖

由圖5可知，泊松圖像編輯方法可以很好地實現圖像的無縫拼合。泊松圖像編輯方法還可以根據目標圖像的背景色對目標景物的顏色、光照等進行相應的改變，使最終的合成圖更具真實效果。

4 結 論

由于泊松圖像編輯方法采用的是L2范數，不能很好地估計圖像顏色的連續性，所以只有待處理的矩形區域背景色與其相對應的目標圖像都沒有顏色突變時，才可以取得理想的結果。若存在顏色突變，所得合成圖像中不可避免的存在一點拼接贗像。

2006年Zome等人證明出L1范數比L2范數更能估計圖像顏色的連續性[10]。由此可以推知，如果采用L1范數可以得到更好的結果，即便是在顏色突變區域也能實現圖像的無縫拼合。

參考文獻

[1]張垚垚.全景圖拼接技術的研究[D].南京:解放軍信息工程大學，2005.

[2]戴芬.基于數字蒙太奇的圖像編輯方法研究[D].杭州:浙江大學，2006.

[3]葛仕明，程義民，曾丹，等.基于梯度場整體變分模型的無縫圖像處理方法[J] .中國科學院研究生院學報，2006，23(5):665-670.

[4]PEREZ P， GANGNET M， BLAKE A. Poisson image editing[J]. ACM Transactionon Graphics， 2003，22(3): 313-318.

[5]FATTAL R， LISCHINSKI D， WERMNAN M. Gradient domain high dynamic range compression[J]. ACM Transactionon Graphics，2002， 21(3): 249-256.

[6]劉衛國，陳昭平，張穎，等.Matlab程序設計與應用[M].北京:高等教育出版社，2002.

[7]劉直芳，王運瓊，朱敏.數字圖像處理與分析[M].北京:清華大學出版社，2006.

[8]楊新，李俊，杜嘯曉.圖像偏微分方程的原理與應用[M].上海:上海交通大學出版社，2003.

[9]劉大衛，高明.正方形環域Laplace方程的簡明數值解法[J].沈陽師范大學學報，2006，24(2):166-169.

[10]ZOMET A，LEVIN A，PELEG S，et al. Seamless image stitching by minizing 1 edges[J]. IEEE Transaction in Image Processing，2006，15(4): 969-977.