剛架結構振動特性分析的精細傳遞矩陣法

李 慧

固有振動特性是結構的重要性能，它決定了結構的地震反應行為和抗震性能。本文運用微分方程和矩陣分析理論，將傳遞矩陣法與精細積分法相結合[1，2]，利用轉折處的坐標變換矩陣和分支點處的傳遞矩陣，滿足了位移的協調條件和力的平衡條件，最終將剛架這類結構的動力分析演化成一鏈式的矩陣相乘過程，從而求得其自振時的各階頻率。本方法具有較高的精確度，而且力學概念清晰，適于在微機上加以應用。

1 橫向自由振動的傳遞矩陣

直梁在橫向的自由振動如圖1所示，其振動微分方程[3]為:

其中，E為彈性模量;I為慣性矩;ˉm為梁單位長度上的質量。

由結構的幾何、物理條件[4]得:

將式(2)寫成矩陣的形式為:

式(3)的一般解為:

將梁總長離散成步長為Δx的距離間隔，則任一位移 xk=kΔx(k=1，2，3…)，而 xk+1=xk+Δx，根據式(4)可得 S(xk+1)和S(xk)之間的轉換關系:

其中，Ti(Δx)=eAΔx。

根據指數矩陣的精細算法[5]即可得到直梁橫向振動的傳遞矩陣Ti:

2 轉折處的傳遞矩陣

在轉折處如圖2所示，左右狀態向量存在如下的轉換關系:

其中，ˉTi為轉折處的傳遞矩陣。

3 自振頻率的求解

各段梁的傳遞矩陣確定之后，任一段的狀態向量可由式(8)求得:

如全梁劃分成 n段，則有:

其中，T為梁的總體傳遞矩陣。

將結構的兩端邊界條件引入式(9)得到頻率方程:f(ω)=0，運用頻率搜索法即可求出各階振動頻率 ωj(j=1∶n)。

4 算例分析

某大跨徑結構的簡化模型[6]如圖3所示。計算中，以相對值表達取EI1=1，EI2=2，EA1=1，EA2=2，l1=1，l2=2，ˉm=5。該模型有3個場矩陣和2個坐標轉換矩陣。傳遞矩陣式為Sn=T3ˉT2T2ˉT1T1S0。其前4階自振頻率列于表1。作為比較，表 1還列出了該模型的理論解及有限元軟件ANSYS的計算結構。由表1可知，精細傳遞矩陣法的計算結果與理論解法的計算結果完全一致，有限元法計算的結果偏小，但是在相同的有效數內，結果也是一致的。可見本文的方法是正確的，而且具有較高的精度。

表1 結構的自振頻率 rad/s

5 結語

1)結合了精細積分法的高精度和傳遞矩陣法的力學概念清晰等優點，能有效控制傳遞矩陣的精度，理論上可以達到任意精度，可以精確求解結構的自振頻率，進而可以求解結構的振型，分析結構的振動特性等問題。

2)算例分析證實了本文的精細傳遞矩陣法的高精度與高效率。

[1] 孫建鵬，李青寧.結構地震反應的頻域精細傳遞矩陣法[J].世界地震工程，2009，25(2):140-145.

[2] 孫建鵬，李青寧.基于傳遞矩陣法的曲線橋的振動特性分析[J].西安建筑科技大學學報(自然版)，2009，41(4):518-523.

[3] 張榮山.工程振動與控制[M].北京:中國建筑工業出版社，2003.

[4] 劉慶潭，倪國榮.結構分析中的傳遞矩陣法[M].北京:中國鐵道出版社，1997.

[5] 王一凡.直接積分法與精細積分法結合求解結構動力方程[J].工業建筑，2006，36(sup):554-566.

[6] 李建波.大跨徑結構多點激勵抗震分析的時頻域數值轉換算法[J].沈陽建筑大學學報，2007，23(5):756-763.