利用博弈思想對暗標投標的分析

張志剛

在招投標過程中，業主與投標人之間，投標人與投標人之間，投標人與監督機構之間存在信息不對稱的情況，因此招投標過程是眾多利益方的博弈過程。

1 博弈論

博弈論是20世紀40年代形成并發展起來的研究沖突對抗條件下最優決策問題的理論。博弈論認為:1)人是理性的，即人都會在約束條件下最大化自身的利益;2)人們在交往合作中有沖突，行為互相影響，而且信息不對稱。

1886年，法國經濟學家萊昂?瓦爾拉斯在其著作《純粹經濟學要義》中，第一次用數學方程式的形式表達了一般均衡的概念。具體說來，瓦爾拉斯隱含地假定存在一個投標人，他負責喊出所有商品的價格，所有的市場主體都在瞬間得到這些價格信息(即完全信息假定)，并很快根據對商品的需求函數和供給函數計算出他們對商品的需求和供給數量，假定這一切均無成本。如果在這一價格下，不能使所有商品市場出清，則沒有任何交易發生;或者供求雙方可以試簽合同，但如果發現市場尚未出清，則重新簽訂合同，直到投標人喊出均衡價格，這時交易都在此均衡價格下進行，所有商品市場全部出清。

2 招投標的博弈分析

2.1 招投標博弈特征分析

招投標是一種特殊的交易活動，在這種交易活動中，招標人與投標人各自的利益目標是不同的。招標人希望以最低的合理標底獲得最優的中標單位;而投標人則希望以最有競爭力的報價和最低的成本中標。招投標雙方在利益目標上既有一致性又有對立性，都希望交易成本最小化，價值最大化。

所謂不完全信息，是指每個投標商在開標前均知道自己對標的物的價值估量和自己的生產成本，而不知道其他投標商對標的物的價值估量和生產成本，但是他對其他投標人可能的價值估量和生產成本有一個主觀判斷概率。

所謂非合作博弈是指在博弈過程中，投標人之間無法達成具有約束力的協議，他們的決策是獨立做出的。招投標博弈是一種靜態博弈，因為招投標過程具有一次性特征，所有投標人的投標行為可以被認為是同時做出的，沒有先后之分。

2.2 招投標的博弈分析

假設以 AH和AL表示高報價和低報價，以DG和DB表示好的投標人和差的投標人的工程成本，以DOG和DOB表示好的投標人和差的投標人的未中標的損失，以 VG和VB表示好投標人和差投標人中標時業主的收益，若無投標人中標，則業主的收益為0。再假設:不管投標人是好的還是差的，承包工程后都努力工作，因而給業主創造的收益都大于投標價格。但差的承包人給業主創造的收益要小，即 VG＞VB＞AH＞AL;工程要達到預定的質量、工期、費用等方面的要求，差的承包人的努力成本要比好的承包人高，即DB＞DG;好的投標人未中標的損失要比差的投標人大，即DOG＞DOB;好的投標人和差的投標人類型各占1/2，即 p(G)=p(B)=1/2;好的承包人報低價的概率較大而差的承包人報高價的概率較大，即 p(H/G)≤p(L/G)，p(L/B)≤p(H/B)。

給定以上假設，博弈行為的順序如下:首先“自然 N”選擇投標人的類型是好還是差。然后，投標人根據自己的類型選擇高報價還是低報價。最后，業主根據投標人的報價來判斷投標人的類型從而選擇中標人。業主面臨三個選擇，即選擇高報價投標人中標還是低報價投標人中標或者不選擇投標人中標。

業主選擇中標的收益期望值要大于不中標的收益期望值;業主選擇低價中標的收益期望值要大于高價中標的收益期望值。因此，業主會采用低價中標的方式才能使自身利益最大化。

若有 n個投標人，給定投標人 i的成本d和其投標報價a，則其支付的期望值為 ui=(a-d)p(a＜ai)，這里 p(a＜ai)是 a＜ai的概率，ai是投標人i的報價，a-d是中標者的凈收益。可求得該博弈的貝葉斯均衡解為a*(d)=d(n-1)/n。

可以看出，當n→∞時，a*→d。投標人越多，各個標價就越接近實際成本。因此，業主應該采用公開招標的形式，使更多的投標人參與投標，這樣就能以更低的價格獲得承建商，實現業主利益最大化。而對投標人而言，報價越低，中標的可能性就越大。

3 博弈論思想對暗標投標的分析

基本的暗標投標規則是各投標人密封標書投標，統一時間開標，標價最高者中標。如果出現標價相同的情況，用拋硬幣或類似方法決定中標者。假設有兩個投標人，分別為1，2，投標人 i對商品的估價為vi，即如果投標人i付出價格p得到商品，則i的收益為vi-p。兩個投標人的估價相互獨立，并服從[0，1]區間上的均勻分布。投標價格不能為負，且雙方同時給出各自的投標價。出價較高的一方得到商品，并支付他報的價格;另一方的收益和支付都為0。投標方風險是中性的，所有以上都是共同信息。

為把這一問題化為標準式的靜態貝葉斯博弈，我們必須確定行動空間、類型空間、推斷及收益函數。參與者 i的行動是給出一個非負的投標價bi，其類型即他的估價 vi(在抽象博弈中表示為 G={A1，A2;T1，T2;p1，p2;u1，u2}，行動空間 Ai=[0，∞)，類型空間 Ti=[0，1])。由于估價是相互獨立的，參與者 i推斷服從[0，1]區間上的均勻分布，而不依賴于 vi的值。最后，參與者 i的收益函數為:

為推導這一博弈的貝葉斯納什均衡，我們首先建立參與者的戰略空間。在靜態貝葉斯博弈中，一個戰略是由類型到行動的函數。參與者 i的一個戰略為函數bi(vi)，據此可以決定i在每一種類型(即對商品的估價)下選擇的投標價格。在貝葉斯納什均衡下，參與者1的戰略b1(v1)與參與者 2的戰略 b2(v2)互相是對方的最優反應。若戰略組合[b1(v1)，b2(v2)]是貝葉斯納什均衡，那么每個類型 vi∈[0，1] ，bi(vi)滿足:

由于參與者的估價是均勻分布的，這樣的線性均衡解不僅存在，而且是唯一的。其結果為 bi(vi)=vi/2，也就是說，每一參與者以其對商品估價的1/2作為投標價。這樣，一個投標價格反映出投標方在投標中遇到的最基本的得失權衡:投標價格越高，中標的可能性越大;投標價格越低，一旦中標所得的收益就越大。

假設參與者 j采取戰略bj(vj)=aj+cjvj，對一個給定 vi的值，參與者i的最優反應為下式的解:

因為vj服從均勻分布，所以 bj(vj)=aj+cjvj服從均勻分布，P{bi=bj}=0。由于 i的投標價應高于參與者j最低的可能投標價格，否則沒有意義，同時應低于j最高的可能投標價格，我們有 aj≤bi≤aj+cj，于是，上式變為:

一階條件為bi=(vi+aj)/2。在 vi＜aj時，bi=(vi+aj)/2＜aj，這樣是根本不可能中標的，至少 bi=aj。綜上，參與者 i的最優反應為:

如果0＜aj＜1，則一定存在某些 vi的值，使 vi＜aj，這時bi(vi)就不可能是線性的了，而在開始時是一條直線，后半段開始向上傾斜，與假定的線性矛盾。而只討論 aj≥1及 aj≤0的情況。但前一種情況是不可能在均衡中出現的，因為估價較高一方對投標價的最優選擇是不低于估價較低一方的投標價，我們有 cj≥0，但這時aj≥1便意味著bj(vj)≥vj，而這對于參與人 j肯定不是最優的。因此，如果要求bi(vi)是線性的，則一定有 aj≤0，這時 bi(vi)=(vi+aj)/2=ai+civi，于是可得 ai=aj/2及 ci=1/2。

同樣對參與者j重復上面的分析，得到類似的結果aj=ai/2及ci=1/2。解這兩組結果構成的方程組，可得 ai=aj=0及ci=1/2，即 bi(vi)=vi/2。

4 結語

對于我國建筑市場，招投標制度建立時間不長，其中必然存在這樣或那樣的一些問題，建立業主與投標人之間的誠信機制是非常有必要的。至于在招標采購及投標、中標過程中出現的一些違背招投標制度初衷的現象，相信在今后的招投標機制的逐步完善中會有所控制，同時輔助以招投標博弈機制的建立和發展，招投標市場必將日臻完善。

[1] 焦銀禾.建筑工程招投標及博弈論應用[M].北京:中國鐵道出版社，2009.

[2] 陳海民，呂小軍.基于博弈論的招投標監督管理研究[J/OL].http://www.chinaem.cn/dzkw/03-15.htm.

[3] 博弈論在工程招投標中的應用[J/OL].http://www.80075.com/guanlihuiji/200807/26-268543.shtml.

[4] 江 偉，黃文杰.博弈論在工程招投標中的應用分析[J].工程技術經濟，2004(5):256-257.