類比法在相似對稱結構中的應用

危金菊 吳建明

類比法是根據事物的形態、屬性、結構、功能以及理論的原則、形式、方法、內容，在已有知識的基礎上，為進一步認識事物的一種有效的試探性的判斷方法。對于“對稱結構”，國內外專家、學者均有系統的論述，但對于這樣一種相似對稱結構[1，2]，即結構的一部分繞對稱中心旋轉180°與另一部分重合，研究甚少。針對這種未知的結構，本文將利用類比法，根據相似對稱結構與對稱結構在幾何上的某種相似性，利用已知的對稱結構來推導未知的相似對稱結構，從而揭示相似對稱結構內力和變形的基本規律。

1 結構比較——對稱結構與相似對稱結構

圖1a)為對稱結構，其上作用有對稱的荷載;圖1b)為對稱結構，其上作用有反對稱的荷載。相似對稱結構呈中心對稱，如圖1c)，圖1d)所示，結構的左半部分繞對稱中心 E旋轉 180°與右半部分重合。當左邊的荷載繞E點旋轉180°與右半部分荷載重合(大小、方向、作用點重合)時，稱之為相似對稱荷載[1];反之(大小重合、作用點重合、方向相反)則稱之為相似反對稱荷載[1]。

通過對上述圖形進行比較發現，對稱結構和相似對稱結構不僅在幾何上，而且在荷載作用上也具有相似性。鑒此，下文將采用類比法，根據對稱結構的半結構法來研究相似對稱結構的特性。

2 結論猜想——相似對稱結構的半結構法

2.1 內力與位移的對稱性

位于對稱軸處的水平力和彎矩是對稱的，而豎直力是反對稱的。位于對稱軸處的豎直位移是對稱的，而水平位移和轉角是反對稱的。各內力和位移的對稱性如表1所示。

表1 內力與位移的對稱性

2.2 對稱結構的半結構分析

如圖2a)所示，對稱結構上作用有對稱的荷載。根據半結構法，位于對稱軸處的E截面只有對稱的內力和位移，即水平力、彎矩和豎直位移(見表1)，其余內力和位移均為零。那么該結構的另一半，即 ECD部分，可用定向支座代替，見圖2b)。

2.3 內力與位移的相似對稱性

如圖3a)所示，O為對稱中心，向右的水平力繞 O點旋轉180°，與向左的水平力正好重合，則這對水平力相似對稱。同理，圖3b)的豎直力相似對稱。由于彎矩無論怎樣旋轉，均不改變方向，故圖3c)的彎矩相似反對稱。

如圖4a)所示，O為對稱中心，對稱中心處的水平位移 Δx可分解為左右兩個位移Δx/2，根據相似對稱性的定義，水平位移相似反對稱。同理，豎直位移相似反對稱，轉角相似對稱(見圖4b)，圖4c))。以上關于內力和位移的相似對稱性如表2所示。

表2 內力與位移的相似對稱性

2.4 相似對稱結構的半結構猜想

可以猜想，相似對稱結構在相似對稱荷載作用下內力和位移相似對稱;在相似反對稱荷載作用下內力和位移相似反對稱。因此，相似對稱結構也可采用半結構的簡化法。如圖5a)所示，各桿剛度均相同，E為對稱中心，則該結構為相似對稱結構，其上作用有相似對稱荷載。對稱中心E處應只有相似對稱的內力和位移。由表2可知，E處只有水平力、豎直力和轉角，其余內力和位移均為零，則ECD部分可用固定鉸支座代替，見圖5b)。

3 結論證明——相似對稱結構半結構法的證明

對稱結構半結構法是根據力法方程來證明的。同理，相似對稱結構也可以利用力法方程來證明。采用力法，對圖5結構選擇如圖6所示的基本體系，列力法方程:

則方程(1)可簡化為:

將方程(3)兩邊同時乘以1/2，有:

4 結語

1)類比法為研究相似對稱結構的規律提供了思路，是本文的一個主要方法。2)相似對稱結構在相似對稱荷載作用下，其對稱中心處只有相似對稱的內力和位移;相似對稱結構在相似反對稱荷載作用下，其對稱中心處只有相似反對稱的內力和位移。3)相似對稱結構在相似對稱荷載或相似反對稱荷載作用下，可以沿對稱中心切開，取結構的一半進行計算，同時切口處的內力與位移按照相似對稱性來判斷，從而設置相應的支承。

本文的證明是針對一個例子進行的，由于相似對稱結構是中心對稱結構，因此可以嘗試用矩陣變化的形式證明，這一點還有待研究。此外，相似對稱性還可進一步擴大，如結構的某一部分繞著一點旋轉任一角度與另一部分重合，這時結構的對稱中心會出現怎樣的變化有待進一步研究。

[1] 劉俊華，劉鳳利.相似對稱性在相似對稱結構分析中的應用[J].開封大學學報，2007，22(1):87-91.

[2] 金恩平，柯世玲.相似對稱性在相似反對稱結構的應用研究[J].湘潭大學自然科學學報，2007，29(3):108-113.

[3] 包世華.結構力學(上冊)[M].武漢:武漢理工大學出版社，2007.

[4] 趙更新.結構力學輔導:概念?方法?題解[M].北京:中國水利水電出版社，2001.

[5] 朱慈勉.結構力學(上冊)[M].北京:高等教育出版社，2009.