管狀橡膠支座徑向剛度的非線性有限元分析

高劍虹 陳佳彬

1 概述

管狀橡膠支座在工程中有廣泛的應用，如汽車、火車、橋梁以及工廠機器設備等等，它由橡膠與內外兩層曲率相同的同心鋼管粘合而成。管狀橡膠支座通常受到軸向、扭轉、徑向和彎曲載荷的影響。由于受到內外兩層鋼管的約束，管狀橡膠支座受載時可以提供較大的剛度，而剛度與支座的形狀、尺寸(包括支座長度、內外直徑)、變形以及工作環境等因素有關。由于橡膠的非線性超彈性變形特性，小變形的分析并不能滿足實際的需求，因此對支座進行非線性分析是實際橡膠應用的需求。本文主要針對橡膠的大變形特點，利用ANSYS有限元分析軟件，對不同形狀尺寸的支座受徑向載荷的情況(如圖1所示，a，b分別為內外鋼管的半徑，l為支座的長度，F為徑向載荷)進行有限元剛度分析，并回歸出支座的剛度方程。

2 徑向剛度分析的理論基礎

如圖1所示，管狀橡膠支座受徑向載荷作用時，其剛度的計算見下式:

其中，K為徑向剛度;F為徑向載荷;y為徑向位移。徑向應變ε計算如下:

在大變形的情況下，橡膠的本構關系通常采用Mooney模型[3]，其應變能為:

其中，I1和 I2分別為第一、第二應變不變量;C1和 C2均為橡膠的材料常數，可取 C1=7E/48，C2=E/48[4]，E為橡膠材料的初始彈性模量。典型的橡膠彈性模量可取2 M Pa～10 MPa[5]。

3 有限元分析及結果討論

3.1 有限元分析

由于結構的軸對稱特性，故有限元采用軸對稱模型，在縱向上取一截面進行分析。如圖2所示，采用軸對稱182號四節點單元劃分橡膠，對橡膠外層的節點施加徑向、環向、軸向三向約束來模擬橡膠外層粘結的鋼，在支座內徑為a的面上施加徑向位移來反求徑向載荷。對于橡膠材料取 E=3 MPa，即C1=0.437 5 MPa，C2=0.062 5 MPa。

外徑b=15 mm，內徑 a=10 mm，長度 l=10 mm的模型在10%的變形下網格疏密與結果的關系如表1所示。從表1中可以看出，網格的疏密對徑向剛度值有一定的影響，隨著網格的逐漸變密，剛度的差值越來越小，說明結果趨于穩定。考慮到精度及時間要求，對于外徑 b=15 mm，內徑a=10 mm，長度l=10 mm的模型選用網格數為橫向16，縱向32的網格，變形結果見圖3。

表1 網格密度對計算結果影響

3.2 有限元結果分析

3.2.1 剛度與載荷的關系

橡膠初始彈性模量 E=3 MPa，內徑 a=10 mm，外徑 b=15 mm，長度 l分別為10 mm，20 mm，30 mm，40 mm的管狀橡膠支座在徑向載荷作用下剛度隨應變的關系如圖4所示。從圖4中可以看出，管狀橡膠支座的徑向剛度隨著徑向應變的增大而增大，呈非線性變化。應變較小時，剛度的變化較小，隨著應變的增加，剛度增加的幅度也增大。有限元結果顯示，其他尺寸的支座徑向剛度隨應變的變化趨勢類似圖4。分析原因是由于橡膠具有大變形的特征，橡膠層受徑向載荷的擠壓使得橡膠的彈性模量增大，即產生相同的應變所需要的載荷大小增大，從而使支座的剛度增大。

3.2.2 剛度與支座長度的關系

理論表示小變形下管狀橡膠支座徑向剛度隨支座長度呈線性變化[2]。有限元結果見圖 5，圖5中表示了外徑a=10 mm，內徑b=15 mm的支座在各種應變下剛度隨支座長度的變化曲線。圖5中表示，應變(5%～30%)一定時，支座的徑向剛度隨支座長度的增大而增大，且接近于線性變化。

3.2.3 剛度與支座內外徑的關系

內徑a一定時，把支座的徑向剛度與內外徑的關系描述成與內外徑比 x即a/b關系，圖6為不同長度的支座在應變30%情況下徑向剛度隨支座內外徑變化曲線。從圖6中可以看出，隨著x的增大，剛度也逐漸增大，并且剛度隨支座內外徑呈非線性變化。分析原因是因為內外徑比小時，即b大時，受相同徑向載荷，橡膠層受到的擠壓變化小，彈性模量的變化也小，因此在相同的應變，相同的內徑情況下，b大的支座剛度小。

3.2.4 管狀橡膠支座徑向剛度的經驗計算式

根據以上數據，利用Excel中的多元回歸工具可得到橡膠初始彈性模量 E=3 MPa，內徑 a=10 mm支座徑向剛度的經驗計算公式，見式(4)，模型能在誤差小于6.4%范圍內再現有限元結果且在30%的變形內都可適用。為了比較，按式(4)計算了長度分別為15 mm和25 mm尺寸下的徑向剛度，并通過與有限元值比較得出，近似計算的結果與有限元結果吻合很好。另外，對于長度為15 mm和25 mm的支座剛度，可分別通過式(5)和式(6)得到近似計算結果，其值與有限元結果比較，誤差小于1.8%。

4 結語

本文通過ANSYS有限元分析軟件，對管狀橡膠支座的徑向剛度進行了非線性有限元分析，得知支座的徑向剛度隨應變增大而增大，應變較大時剛度變化較大，徑向剛度隨支座長度和內外徑比呈非線性關系，且隨著它們的增加而增大。同時，回歸出的徑向剛度經驗公式可以在誤差小于1.8%的范圍內再現有限元結果。

[1] 詹 特.橡膠工程——如何設計橡膠配件[M].北京:化學工業出版社，2003.

[2] Busfield J J C，Davies C K L.Stiffness of simple bonded elastomer bushes[J].Plastics，Rubber and Composites，2001，30(5):20-21.

[3] Gent A N，Park B.Compression of rubber layers bonded between two parallel rigid cylinders or between two rigid spheres[J].Rubber Chem.Technol.，1986，59(1):77-83.

[4] O.H.Yeoh.Relation between crack surface displacements and strain energy release rate in thin rubber sheets[J].Mechanics of Materials，2002(4):315.

[5] A.N.Gent，Y.C.Hwang.Elastic behavior of rubber layer bonded between two rigid spheres[J].Rubber Chem.Technol，1988(61):630.